شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
معادله دیفرانسیل اویلر مراتب بالاتر – به زبان ساده
۱۰۷۵ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۲۱ تیر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۴ دقیقه
دانلود PDF مقاله
پیشتر در وبلاگ فرادرس انواع مختلف معادلات دیفرانسیل را توضیح دادیم. همچنین در مطلبی دیگر نوعی از معادله دیفرانسیل، تحت عنوان معادله دیفرانسیل اویلر را مورد بررسی قرار دادیم. در این مطلب قصد داریم تا مراتب بالاتر این نوع از معادلات را بررسی کرده و روش حل آنها را توضیح دهیم.
معادلهای همچون معادله بالا را با استفاده از تغییر متغیر y=xr میتوان حل کرد. حال فرض کنید معادله فوق دارای مشتق مراتب بالاتر نیز باشد. در حقیقت معادلهای به صورت زیر را در نظر بگیرید.
xny(n)+a1xn–1y(n–1)+⋯+an–1xy′+any=0,x>0
معادله فوق، معادله دیفرانسیل اویلر با مرتبه n محسوب میشود. توجه داشته باشید در این رابطه، ضرایب an، اعدادی ثابت هستند. البته در حالت کلی میتوان از روشهای بسیاری به منظور حل معادله دیفرانسیل اویلر مراتب بالاتر استفاده کرد، اما در این مطلب سه مورد از روشهای پرکاربرد را توضیح خواهیم داد.
حل معادله دیفرانسیل اویلر مراتب بالا با فرض x=et
در این روش با فرض x=et، معادله دیفرانسیل مرتبه n را میتوان به معادلهای با ضرایب ثابت تبدیل کرد. در این حالت مشتق y را بر حسب پارامتر جدیدی تحت عنوان t بیان میکنیم. به منظور انجام این کار میتوان از عملگر ریاضی D استفاده کرد. در رابطه ارائه شده در پایین، D نشان دهنده مشتق اول y نسبت به t است. بنابراین عملگر D را میتوان به شکل زیر تعریف کرد.
Dy=dtdy
با استفاده از فرض فوق، مشتق اول y را میتوان نسبت به t، به صورت زیر محاسبه کرد.
به همین طریق مشتق مرتبه nام را میتوان به صورت زیر بیان کرد.
y(n)=e–nt[D(D–1)(D–2)⋯(D–n+1)]y
در نتیجه تغییر متغیر در نظر گرفته شده، معادله به صورت مرتبه n در آمده و با استفاده از روشهای استاندارد میتوان آن را حل کرد. توجه داشته باشید که عبارت ent از طرفین معادله بدست آمده، حذف شده و به صورت معادلهای با ضرایب ثابت در میآید.
نهایتا پاسخ بدست آمده با استفاده از رابطه t=lnx بر حسب x قابل بیان است. به مثال ارائه شده در ادامه توجه فرمایید.
مثال ۱
پاسخ کلی معادله دیفرانسیل اویلر زیر را برای مقادیر x>0 بیابید.
عبارت فوق نشان میدهد که پاسخهای معادله برابر با k=1,2,2 هستند. همانطور که میبینید پاسخِ ۲ به صورت ریشه مضاعف است. بنابراین پاسخ معادله برابر با عبارت زیر بدست میآید.
y(t)=C1et+(C2+C3t)e2t
در رابطه فوق Cها اعدادی ثابت هستند. در مرحله آخر باید پاسخ را از فضای t به فضای x ببریم. بدین منظور از t=lnx استفاده میکنیم. با جایگذاری این عبارت به جای t، پاسخ نهایی معادله به صورت زیر بدست خواهد آمد.
رابطه فوق را میتوان به صورت زیر و در قالب سیگما بیان کرد.
s=0∑n–1as[k(k–1)⋯(k–n+s+1)]+an=0wherea0=1
با حل معادله مشخصه فوق، مقادیر k بدست آمده و پاسخ نهایی را میتوان بر حسب آنها بیان کرد. در نهایت با استفاده از رابطه t=lnx، شکل نهایی پاسخ بر حسب x بدست خواهد آمد. در ادامه مثالی با استفاده از این روش حل شده است.
مثال ۲
پاسخ عمومی معادله زیر را بیابید. توجه داشته باشید که علامت IV به معنای مشتق مرتبه چهارم است.
رابطه فوق چهار ریشه دارد که تمامی آنها به صورت مختلط هستند. در حقیقت هریک از ریشههای k=±i دو بار تکرار میشوند. با توجه به این ریشهها پاسخ نهایی به صورت زیر بدست میآید.
y(t)=(C1+C2t)cost+(C3+C4t)sint
در آخر نیز با استفاده از t=lnx، پاسخ را بر حسب x بیان میکنیم. پاسخ نهایی این معادله برابر است با:
y(x)=(C1+C2lnx)cos(lnx)+(C3+C4lnx)sin(lnx)
معادلات ناهمگن مراتب بالاتر
شکل عمومی یک معادله دیفرانسیل اویلرِ ناهمگن به صورت زیر است.
در چنین مواردی استفاده از تغییر متغیر y=et معادله را به صورت خطی در خواهد آورد. البته گفتنی است که اگر f(x) به صورت زیر باشد، میتوان از روش ضرایب نامعین به منظور حل معادله اویلر استفاده کرد. در ادامه مثالی از این نوع از معادله ارائه شده است.
مثال ۳
پاسخ کلی معادله دیفرانسیل زیر را بدست آورید.
x3y′′′–2x2y′′=x(2lnx+1)
عبارت فوق معادله اویلری ناهمگن از مرتبه ۳ را نشان میدهد. با فرض تغییر متغیر x=et داریم:
y′=e–tDy
y′′=e–2tD(D–1)y
y′′′=e–3tD(D–1)(D–2)y
در رابطه فوق، D نشان دهنده عملگر دیفرانسیل نسبت به متغیر t است. پس از جایگذاری در معادله اولیه، معادلهای خطی و ناهمگن به صورت زیر بدست خواهد آمد.
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.