روش های مشتق گیری — به همراه مثال

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس و در مطلبی تحت عنوان مفاهیم مشتق، به معرفی این مفهومِ مهم از ریاضیات پرداختیم. در این مطلب از مجله فرادرس قصد داریم تا در مورد قوانین حاکم بر مشتق گیری صحبت کنیم و مثال‌هایی نیز از کاربرد این قوانین ارائه خواهیم داد. این قوانین هم در محاسبه مشتق ضمنی و هم در محاسبه مشتق صریح کاربرد خواهند داشت.

قوانین حاکم در مشتق گیری

برای محاسبه راحت‌تر مشتق،‌ قوانینی وجود دارند که می‌توان از آن‌ها استفاده کرد. برای نمونه شیب یک تابع ثابت برابر با صفر است. یا این‌که شیب تابع 2x برابر با ۲ و تابع 3x برابر با ۳ است. این استدلال را می‌توان به همین شکل ادامه داد و گفت شیب تابع nx برابر با n است.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

در نمودار‌های زیر می‌توانید شیب مرتبط با هر کدام از این توابع را مشاهده کنید.

در بخش مفاهیم مشتق، جداولی را ارائه دادیم که قادریم  با استفاده از قوانین معرفی شده در آن‌ها، مشتق گیری بسیاری از توابع را انجام دهیم. این جداول به صورت زیر هستند.

جدول بالا نشان دهنده مشتق توابع مختلف است. اگر دقت کنید همواره می‌توان الگویی را برای این مشتقات مشخص کرد. برای نمونه می‌توان از جدول این استدلال را کرد که توابع سینوس و کسینوس در مشتق گیری به یکدیگر تبدیل می‌شوند. یا این‌که یک تابع نمایی خودش را تکرار می‌کند. یافتن این الگوها در به خاطر سپردن مشتق یک تابع، بسیار موثر است. البته در مطلبی جداگانه در مجله فرادرس مشتق توابع لگاریتمی و نمایی توضیح داده شده است.

از طرفی می‌توان این سوال را مطرح کرد که آیا با دانستن مشتق تابع sin x و cos x، می‌توان مشتق تابع f(x)=sinx × cosx را یافت؟ پاسخ این سوال مثبت است. با استفاده از قوانینی که در جدول زیر ارائه شده‌اند می‌توان مشتق هر تابعی را محاسبه کرد.

لطفا موارد ذکر شده در جدول بالا را به دقت مطالعه فرمایید،‌ چرا که در مثال‌های پایین از آن‌ها استفاده خواهیم کرد.

توجه داشته باشید که مشتق تابع (y=f(x را به یکی از شکل‌های زیر نشان می‌دهند.

$$y'(x), \enspace f'(x), \enspace {dy \over dx},\enspace {df \over dx}$$

روش‌های نشان دادن مشتق یک تابع

در مثالی که در ادامه آمده، ادبیات استفاده شده در فرآیند مشتق گیری را بیان خواهیم کرد. هم‌چنین روش‌های نشان دادن مشتق یک تابع ارائه خواهد شد.

فیلم آموزش ریاضی 3 – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱: مشتق تابع (y=sin (x ؟

در جدول بالا بیان شده که مشتق تابع sin x برابر با cos x است. توجه داشته باشید که می‌توان این عملیات را به شکل‌های زیر نشان داد.

استفاده از قانون توانی در محاسبه مشتق

قانون توانی در محاسبه مشتق بیان می‌کند که مشتق تابع xⁿ برابر با nx^n-1 است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۲: مقدار عبارت $${d \over dx} x^3$$ را محاسبه کنید

این عبارت بیان کننده مشتق تابع x³ نسبت به متغیر x است. با استفاده از قانون توانی، می‌توان مشتق تابع مذکور  را به شکل زیر محاسبه کرد:

بنابراین می‌توان گفت: «مشتق تابع x³ برابر با 3x² می‌شود.» در ادامه شماتیک نحوه محاسبه این مشتق نمایش داده شده.

مثال ۳: مشتق تابع $$f(x)={1 \over x}$$ را بدست آورید

این تابع در حقیقت برابر با f(x)=x^-1 است. بنابراین می‌توان با استفاده از قانون توان، حاصل این مشتق را محاسبه کرد. از این رو می‌توان گفت:

در حقیقت برای محاسبه این مشتق، به ترتیب زیر عمل کرده‌ایم.

محاسبه مشتق تابعی با ضریب ثابت

همان‌طور که احتمالا حدس زده‌اید، به‌منظور محاسبه مشتق تابعی که در عددی ثابت ضرب شده، می‌توان عدد مذکور را از عملگر مشتق بیرون کشید. یعنی فرض کنید تابعی به صورت زیر داشته باشیم.

$$cf(x)$$

که در آن، c ضریبی ثابت و (f(x یک تابع است.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با این فرضیات مشتق این تابع برابر با مقدار زیر است.

 $${d \over dx}cf(x)=c{d \over dx}f(x)$$

برای نمونه مشتق (5f(x برابر با 5f^'x است.

مثال 4: مشتق  $${d \over dx}5x^3$$ را بدست آورید

برای محاسبه این مشتق در ابتدا ضریب ثابت ۵ را بیرون کشیده و پس از آن با استفاده از قانون توان، مشتق x³ را محاسبه می‌کنیم. بنابراین می‌توان گفت:

قانون جمع و تفریق

دو تابع (f(x و (g(x را تصور کنید. فرض کنید می‌خواهیم مشتق تابع (f(x)+g(x را بیابیم. برای انجام این‌کار از هر کدام از این توابع به تنهایی مشتق گرفته و سپس با یکدیگر جمع می‌کنیم. بنابراین می‌توان گفت:

مشتق { f(x)+g(x) } = مشتق f + مشتق g

 و یا به بیان ریاضیاتی:

$${d \over dx} (f(x)+g(x))= {d \over dx} f(x)+{d \over dx} g(x)= f'(x)+g'(x)$$

مثال 5: مشتق x²+x³ برابر با چه تابعی است؟

همان‌طور که در بالا نیز بیان کردیم، برای محاسبه مشتق جمع دو تابع، از هر کدام از آن‌ها مشتق گرفته و با یکدیگر جمع می‌کنیم. همان‌طور که در عنوان مثال نیز می‌بینید، دو تابعی که با یکدیگر جمع شده‌اند، به شکل توانی هستند؛ بنابراین در ابتدا بایستی با استفاده از قانون توان، مشتق هر کدام از آن‌ها را محاسبه کرد. در نتیجه با استفاده از این قانون و قانون جمع می‌توان حاصل این مشتق را به شکل زیر محاسبه کرد.

بر همین مبنا می‌توان مشتق توابعی که از یکدیگر کم شده‌اند را نیز بدست آورد. برای درک بهتر به مثال زیر توجه فرمایید.

مثال 6: حاصل عبارت $${d \over dv} {(v^3-v^4)}$$ را بیابید.

توجه داشته باشید که متغیر وابسته یک تابع را به هر اسمی می‌توان صدا زد. برای مثال ما می‌گوییم گربه و در استرالیا به همین موجود Cat گفته می‌شود! در این مثال نیز اتفاق خاصی نیفتاده و فقط به جای اسم x از v استفاده شده.

مشابه با قانون جمع، به منظور محاسبه مشتق تفریق دو تابع، می‌توان از هر کدام از آن‌ها مشتق گرفت و از هم کم کرد. بنابراین مشتق این تابع به صورت زیر محاسبه می‌شود:

حال می‌توان به شکل زیر این مشتقات را از یکدیگر کم کرد. در نتیجه:

مثال 7: حاصل عبارت $${d \over dz} {(5z^2+z^3-7z^4)}$$ را بیابید.

برای محاسبه عبارت بالا می‌توان از قوانین بیان شده استفاده کرد. بنابراین با استفاده از قوانین توان، ضریب ثابت، جمع و تفریق داریم:

در نتیجه مشتق این تابع برابر است با:

قانون ضرب

به جرأت یکی از پرکاربردترین قوانین، به‌منظور محاسبه مشتق توابع، قانون ضرب است. برای درک مفهوم این قانون، دو تابع (f(x و (g(x را فرض کنید. هدف ما محاسبه  مشتق تابع (f(x)×g(x است. قانون ضرب، بیان می‌کند:

 (f×g) مشتق تابع =  f مشتق تابع × g + g مشتق تابع × f

به بیان ریاضی، گذاره بالا معادل است با:

$${d \over dx} {(f(x)×g(x))}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \enspace \enspace \enspace *$$

مثال 8: حاصل مشتق تابع (sin(x)cos(x چیست؟

در ابتدا بایستی مشتق هر کدام از دو تابعی که در هم ضرب شده‌اند را به صورت جداگانه محاسبه کرد. بنابراین می‌توان گفت:

در نتیجه با استفاده از رابطه * می‌توان گفت:

قانون عکس تابع

تابع (f(x را تصور کنید. فرض کنید می‌خواهیم مشتق تابع $$1 \over {f(x)}$$ را محاسبه کنیم. این مشتق را می‌توان با استفاده از قانون عکسِ تابع و به صورت زیر محاسبه کرد.

در مطلب مشتق‌ ضمنی در مجله فرادرس نیز روشی ارائه خواهد شد که با استفاده از آن‌ می‌توانید مشتق توابع معکوس را به‌صورتی بسیار ساده‌تر بدست آورید.

فیلم آموزش الگوریتم سینوس کسینوس SCA و پیاده سازی آن در متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

مثال 9: مشتق تابع $$1 \over {sin(x)}$$ را بیابید.

این تابع در حقیقت عکس sin x است. در نتیجه در ابتدا بایستی مشتق تابع sin x را داشته باشیم. سپس با استفاده از قانون عکس تابع، مشتق $$1 \over {sin(x)}$$ را یافت. با توجه به اطلاعات جدول، مشتق تابع sin x برابر با cos x است. در نتیجه با استفاده از این قانون داریم:

قانون مشتق گیری زنجیره‌ای

تابع (g(x و (f(x را در نظر بگیرید. تصور کنید می‌خواهیم مشتق ( (f( g(x را محاسبه کنیم. قانون مشتق گیری زنجیره‌ای بیان می‌کند که مشتق این تابع برابر است با:

مشتق تابع ((f(g(x را می‌توان بترتیب مراحل زیر محاسبه کرد:

۱. مشتق تابع (g(x را محاسبه کنید.

۲. در تابع ( (f (g(x به جای (g(x، متغیر وابسته را قرار دهید و مشتق گیری کنید.

۳. در تابع بدست آمده در قدم دوم، به جای متغیر وابسته، تابع (g(x را قرار دهید.

۴. عبارت حاصل شده در مرحله سوم را در عبارت بدست آمده در قدم اول، ضرب کنید.

به‌منظور درک بهتر مشتق گیری زنجیره‌ای، به مثالی که در ادامه آمده توجه فرمایید.

مثال 10: حاصل عبارت $${d \over dx}{sin x^2}$$ چیست؟

اگر دقت کنید این تابع حاصل قرار گرفتن x² در sin x است. بنابراین اگر تابع f(x)=sin x و g(x)=x² در نظر بگیریم، می‌توان گفت:

f(g(x))=sin (x²)

مراحل بالا را برای مشتق گیریِ تابع ( (f ( g(x، به شکل زیر پیاده سازی می‌کنیم:

۱. مشتق گیری از تابع (g(x

تابع داخلی برابر با g(x)=x² است. بنابراین مشتق آن برابر با g'(x)=2x است.

۲. به جای تابع (g(x، متغیر وابسته - که در این‌جا x است - قرار دهید و مشتق گیری کنید.

با قرار دادن x به جای (g(x، عبارت sin x حاصل شده و با مشتق گیری از آن به تابع cos x می‌رسیم.

۳. در تابع بدست آمده در قدم دوم، به جای متغیر وابسته، تابع درونی را قرار دهید.

در قدم دوم، تابع cos x بدست آمد. بنابراین با قرار دادن g(x)=x² به جای x در تابعِ cos x، عبارت (cos (x² حاصل می‌شود.

۴. تابع حاصل شده در مرحله سوم را در عبارت بدست آمده در قدم اول ضرب کنید.

با ضرب تابع بدست آمده در مرحله سوم و تابع بدست‌ آمده در مرحله اول، به تابع (2xcos(x² می‌رسیم.

بنابراین نهایتاً می‌توان گفت:

$${d \over dx}{sin x^2}=2x (cos x^2)$$

مشتق گیری زنجیره‌ای تکنیکی کاربردی به‌منظور حل بسیاری از مسائل مربوط به مشتق است که با تمرین بسیار می‌توانید به این روش مسلط شوید. در ادامه مثالی به نسبت مشکل‌تر را مطرح کرده‌ایم.

مثال ۱1: مشتق تابع $$1 \over cosx$$ را بیابید.

اگر دقت کنید این تابع متشکل از دو تابع cosx  و $$1 \over x$$ است. در حقیقت اگر f(x)=1/x و g(x)=cos x باشد، تابع ((f(g(x برابر با $$1 \over cosx$$ می‌شود.

مثال ۱2: مشتق تابع $$(5x-2)^3$$ برابر با چه مقداری است؟

قبل از مطالعه ادامه حل در مورد این‌که f و g چه هستند، فکر کنید. بله درست حدس زدید تابع f برابر با x³ و تابع g برابر با 5x-2 هستند. در نتیجه مشتق این تابع برابر است با:

به منظور ارزیابی خود می‌توانید به سوالات زیر پاسخ دهید.