ماتریس افزوده – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

ماتریس افزوده

بدیهی است که برای سیستمی از دو یا چند معادله خطی، حل کردن سیستمی از معادلات به نسبت یک معادله، مشکل‌تر به‌نظر می‌رسد. ماتریس افزوده برای سیستمی از معادلات، به آرایه‌ای از اعداد گفته می‌شود که هر ردیف ضرایب یک معادله و هر ستون ضرایب یک متغیر را نشان می‌دهند. برای نمونه دستگاه معادلات زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \begin {align*} x - 2 y + 3 z & = 7 \\ 2 x + y + z & = 4 \\ - 3 x + 2 y - 2 z & = - 10 \end {align*}$$

ماتریس افزوده مربوط به معادلات بالا به صورت زیر بیان می‌شود.

$$\large \left[ { \begin {array} { r r r | r } 1 & { - 2 } & 3 & 7 \\ 2 & 1& 1 & 4 \\ { - 3 } & 2 & { - 2 } & { - 10 } \end {array} } \right]$$

توجه داشته باشید که ستون قرار گرفته در سمت راست خط جداکننده، ستون مربوط به پاسخ‌های معادلات هستند. در قدم بعدی باید ماتریس را تا حد ممکن ساده کرده، سپس معادلات را حل کرد. در ادامه در قالب ماتریس ارائه شده در بالا، قوانین حاکم بر ساده‌سازی ماتریس را توضیح می‌دهیم.

۱. تعویض دو ردیف

برای یک ماتریس می‌توان بدون تغییر دادن ماهیت ضرایب ماتریس‌ها، دو ردیف از ماتریس را با هم جابجا کرد. جابجا کردن ردیف $$i$$ام و  $$j$$ام را به صورت $${ R _ i } \leftrightarrow { R _ j }$$ نشان می‌دهند. برای نمونه ردیف اول و سوم ماتریس فوق را می‌توان به صورت زیر جابجا کرد.

$$ \left [ {\begin {array} { r r r | r } 1 & { - 2 } & 3 & 7 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ { - 3 } & 2 & { - 2 } & { - 10 } \end {array} } \right] \begin {array} {*{20} { c } } { { R _1 } \leftrightarrow { R _ 3 } } \\ \to \end{array}\left[ {\begin{array} { r r r | r } { - 3 } & 2 & { - 2 } & { - 10 } \\ 2 & 1& 1 & 4 \\ 1 & { - 2 } & 3 & 7 \end {array}} \right]$$