قضایای حد چیست؟ – به زبان ساده + مثال

قضایای حد چیست؟

در ابتدا لازم است فرض کنیم که حد $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$$ و $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)$$ موجود است و c یک عدد ثابت هست.

جداسازی عدد ثابت از حد تابع

می‌توانیم عدد ثابت ضرب شده در تابع را بیرون بکشیم و فقط از تابع حد بگیریم یا برعکس.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {cf\left( x \right)} \right] = c\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)$$

حد جمع و تفریق توابع

برای محاسبه حد جمع یا تفریق دو تابع فقط کافی است تا حد هر تابع را جداگانه حساب کنیم و سپس حاصل آن‌ها را جمع یا تفریق کنیم. این ویژگی می‌تواند برای بیش از دو تابع به کار گرفته شود.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)$$

حد ضرب توابع

برای محاسبه ضرب دو یا چند تابع در هم کافی است تا ابتدا حد هر تابع را جداگانه حساب کنید و حاصل آن‌ها را در هم ضرب کنید.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)$$

حد تقسیم توابع

برای محاسبه حد تقسیم دو تابع نیز باید ابتدا حد صورت و حد مخرج به صورت جداگانه محاسبه شود و بعد حاصل آن‌ها را تقسیم کرد. ذکر این نکته ضروری است که نباید حد در مخرج صفر شود چون مخرج صفر تعریف نشده است.

$$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)}}{\rm{,}}\,\,\,\,\,{\rm{provided }}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) \ne 0$$

حد توابع توان‌دار

در اینجا $$n$$ هر عدد حقیقی می‌تواند باشد (مثبت، منفی، صحیح، کسری، گنگ، صفر و غیره). اگر $$n$$ در اینجا یک عدد صحیح باشد همان ویژگی ضرب حد دو تابع که در قبل اشاره شد را شامل می‌شود. در رابطه زیر n هر عدد حقیقی می‌تواند باشد.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n} = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]^n},\,\,\,\,{}$$

برای مثال فرض کنید $$n=2$$ است، خواهیم داشت: