اعداد طبیعی چیست و چه اعدادی هستند؟ — به زبان ساده و با مثال

انسان‌ها با توجه به افزایش قدرت تفکر در دوره رشد ذهنی خود، قادر به نام‌گذاری بر روی اشیاء می‌شوند. اعداد نیز به نوعی نام‌گذاری و نمایش کمّی ویژگی‌هایی است که انسان در طبیعت با آن برخورد می‌کند. از آنجایی که در ابتدا بشر احتیاج به شمارش اشیاء پیرامون خود داشت، اعدادی که اختراع کرد، وابسته به طبیعت بودند و براین اساس این اعداد را با نام مجموعه اعداد طبیعی می‌شناسیم. واضح است که چنین مجموعه اعدادی برای شمارش هویت‌های طبیعی به کار گرفته می‌شود که البته بسیار ملموس نیز هستند.

در نظریه اعداد، با توجه به ویژگی‌های دسته‌ای از عددها، آن‌ها را به مجموعه‌هایی متفاوت، طبقه‌بندی کرده‌اند. در دیگر نوشتارهای فرادرس با مجموعه اعداد حقیقی، گویا و مختلط آشنا شدید. در این نوشتار به سراغ اعداد طبیعی خواهیم رفت و ویژگی‌هایی این مجموعه از اعداد را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

به منظور آشنایی بیشتر با مجموعه‌ها بهتر است، نوشتار مجموعه ها در ریاضیات – مفاهیم پایه و اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها — به زبان ساده از مجله فرادرس را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتار قواعد بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده  به منظور آشنایی بیشتر با ویژگی‌های بخش‌پذیری اعداد طبیعی ضروری به نظر می‌رسد.

مجموعه اعداد طبیعی و خصوصیات آن

نظریه اعداد، در اوایل قرن شانزدهم و هفدهم بوسیله دانشمندان ریاضی بخصوص «پیِر دو فرما» (Pierre de Fermat) و «لئونارد اویلر» (Leonhard Euler) توسعه پیدا کرد. یکی از اصلی‌ترین بخش‌های نظریه اعداد مربوط به اعداد طبیعی و خصوصیات آن‌ها است.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

با مجموعه اعداد طبیعی قادر هستیم یک تناظر یک به یک (One to One) بین اشیاء در طبیعت و مجموعه اعداد طبیعی برقرار کنیم. به این ترتیب می‌توان اعداد طبیعی را مجموعه مقادیر زیر در نظر گرفت.

$$\large {\displaystyle \operatorname{N}=\{1,2,...\}}$$

البته گاهی عدد صفر را نیز به عنوان یکی از اعضای مجموعه اعداد طبیعی در نظر می‌گیرند تا بتوانند خواص دیگری نیز برای این مجموعه اعداد تعریف کنند. ما هم در این نوشتار این قاعده را رعایت می‌کنیم و صفر را عضوی از اعضای مجموعه اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم.

$$\large {\displaystyle \operatorname{N}=\{0,1,2,...\}}$$

مجموعه اعداد طبیعی

همانطور که دیده می‌شود، در ریاضیات این مجموعه را با نماد N که ابتدای کلمه Natural است نشان می‌دهند. این مجموعه، نامتناهی بوده ولی شمارش‌پذیر است. به این معنی که انتهایی برای این مجموعه نمی‌توان در نظر گرفت ولی اعضای بین هر دو عضو دلخواه آن، شمارش‌پذیر است.

در این تعریف از مجموعه اعداد طبیعی، یک رابطه ترتیبی نیز در نظر گرفته شده است. بزرگی و کوچکی اعداد در این مجموعه باعث بوجود آمدن یک ترتیب در آن می‌شود.

ترتیب در اعداد طبیعی

عدد $$a$$‌ را از $$b$$ کوچکتر می‌گوییم اگر تفاضل $$b-a$$ مثبت باشد. به این ترتیب هر چند در مشخص کردن یک مجموعه، ترتیب قرارگیری اعضا مهم نیست ولی اغلب برای نمایش مجموعه اعداد طبیعی، اعضای آن را به ترتیب از کوچک به بزرگ، کنار یکدیگر می‌نویسند.

اصل خوش‌ترتیبی

برای اعداد طبیعی می‌توان ترتیب در نظر گرفت. این امر مطابق با آنچه که در تعریف این مجموعه در نظریه مجموعه‌ها گفته شد، انجام می‌شود. اصل خوش‌ترتیبی (well-ordering principle) نیز به همین موضوع اشاره دارد. اصل خوش‌ترتیبی برای اعداد طبیعی به این شکل بیان می‌شود: برای هر زیر مجموعه ناتهی از مجموعه اعداد طبیعی، کوچکترین عضو وجود دارد.

 به بیان ریاضی این گزاره به صورت زیر نوشته و توصیف می‌شود.

$$\large \emptyset \neq S\subset N \rightarrow \exists s_0 \in S; \forall s\in S, s_0 \leq s$$

این گزاره ریاضی را می‌توان به این صورت توجیه کرد که کوچکترین مقدار در مجموعه $$S$$ وجود داشته و برابر است با $$s_0$$. پس می‌توان نوشت: $$s_o = \min(s)$$.

نکته: طبق اصل خوش‌ترتیبی برای هر زیر مجموعه از اعداد طبیعی می‌توان کوچکترین عنصر را معرفی کرد در حالیکه برای مجموعه اعداد حقیقی به جای کوچکترین عضو، از بزرگترین کران پایین (infimum) استفاده می‌شود که ممکن است در آن مجموعه وجود نداشته باشد. همینطور برای نشان دادن بزرگترین عضو یک زیر مجموعه از اعداد حقیقی ممکن است از کوچک‌ترین کران بالا (Supremum) کمک بگیریم آن هم ممکن است درون مجموعه نباشد.

به همین دلیل ممکن است بعضی از زیرمجموعه‌های اعداد حقیقی دارای مقدار حداکثر (Maximum) یا حداقل (Minimum) نباشند. برای مثال در بازه $$(0,1)$$ مقدار $$0$$ بزرگترین کران پایین یا Infimum است. همچنین $$1$$ نیز کوچکترین کران بالا یا Supremum است و مشخص است که هیچکدام از این دو مقدار در مجموعه یا بازه $$(0,1)$$ قرار ندارند. این گونه مثال‌ها نشان می‌دهند که اصل خوش‌ترتیبی برای مجموعه اعداد حقیقی صادق نیست.

نمایش اعداد طبیعی روی محور

یکی از شیوه‌های قدیمی و البته موثر برای نمایش اعداد، ترسیم آن‌ها روی یک محور جهت دار است. طبق اصل خوش‌ترتیبی و تعریف مدرن از اعداد طبیعی، می‌توانیم آن‌ها را به ترتیب قرار دهیم. در نتیجه اگر روی یک پیکان (خط جهت‌دار)، نقاطی را با فاصله واحد از یکدیگر مشخص کنیم، می‌توانیم آن‌ها را به نحوی، شکل نمایشی برای اعداد طبیعی در نظر بگیریم.

فیلم آموزش ریاضی 3 – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

در تصویر زیر اعداد طبیعی، مقادیر بزرگتر یا مساوی با ۱ در نظر گرفته شده‌اند که در انگلیسی به آن (Natural Numbers) گفته می‌شود. در صورتی که عدد صفر را نیز منظور کنیم، مجموعه همه اعداد (Whole Numbers) ساخته خواهد شد که البته منظور ما از اعداد طبیعی در این نوشتار این مجموعه اعداد است.

نکته: به این علت طبق قرار داد صفر را در مجموعه اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم که بتوانیم برای جمع، در این مجموعه عضو خنثی ایجاد کنیم. از آنجایی که مجموعه اعداد طبیعی براساس اصل خوش‌ترتیبی، دارای کوچکترین عضو است، این عضو را می‌توانیم صفر بنامیم. در نتیجه سمت چپ محور به نقطه صفر محدود شده ولی سمت راست آن تا بی‌نهایت ادامه خواهد داشت.

چهار عمل اصلی برای اعداد طبیعی

قوانین زیر را برای جمع دو عدد طبیعی به کار می‌بریم.

• با توجه به به اینکه صفر عضو خنثی عمل جمع است، واضح است که جمع هر عدد طبیعی با صفر برابر با خود عدد خواهد بود.

$$\large m +0 =m$$

• جمع هر عدد طبیعی با ۱ نیز اشاره به عددی دارد که بعد از آن در مجموعه اعداد طبیعی قرار دارد.

$$\large m+1=(m+1)$$

برای جمع دو عدد طبیعی نیز می‌توانیم از محاسبات تکراری کمک گرفته و برای مثال جمع $$m+n$$ را به صورت یک رابطه بازگشتی بنویسیم:

$$\large m+n = \overbrace{((((m+1)+1)+1+\ldots)+1}^{n \text{  times}})$$

عمل جمع روی اعداد طبیعی را با توجه به محور اعداد نیز می‌توان نشان داد. در این حالت عمل جمع $$m$$ با $$n$$ به معنی حرکت $$n$$ واحد به سمت راست از محل قرارگیری عدد $$m$$ روی محور اعداد است.

به منظور آشنایی با شیوه تفریق و تقسیم اعداد طبیعی نیز بهتر است نوشتار تقسیم عدد صحیح — به زبان ساده را مطالعه کنید.

خصوصیات عمل جمع و ضرب در مجموعه اعداد طبیعی

بعضی از خصوصیات جالب عمل جمع و ضرب روی اعداد طبیعی در ادامه معرفی می‌شوند.

• عمل جمع و ضرب دارای خاصیت جابجایی در مجموعه اعداد طبیعی هستند، یعنی برای $$m$$ و $$n$$‌ متعلق به مجموعه اعداد طبیعی خواهیم داشت:

$$\large m+n = n+m$$

$$\large m \times n = n\times m$$

به عنوان مثال مشخص است که $$2+3=3+2=5$$ و $$2\times 3 = 3\times 2 = 6$$.

• عمل جمع و ضرب دارای خاصیت شرکت‌پذیری در مجموعه اعداد طبیعی است. به این معنی که برای سه عدد طبیعی $$n$$، $$m$$ و $$o$$ داریم:

$$\large m+(n+o) = (m+n)+o$$

$$\large m\times (n\times o) = (m\times n)\times o$$

به عنوان مثال، مشخص است که $$1+(2+3)= (1+2)+3=5$$ و همچنین $$1\times(2\times 3)=(1\times 2)\times 3=6$$.

• صفر عضو خنثی عمل جمع و یک، عضو خنثی عمل ضرب در مجموعه اعداد طبیعی است.

$$\large m+0 = m$$

$$\large m\times 1 = m$$

طبق این خاصیت می‌دانیم که $$2+0=2$$ و $$2\times 1=2$$.

• ضرب نسبت به جمع دارای خاصیت توزیع‌پذیری است.

$$\large m\times(n+o) = (m\times n)+(m \times o)$$

بنابراین مثلا $$1\times(2+3)=(1\times2)+(1\times3)=5$$.

ولی جمع نسبت به ضرب خاصیت توزیع‌پذیری ندارد.

$$\large m+ (n\times o) \neq (m+ n)\times(m+o)$$

زیرا برای مثال

$$\large 7=1+(2\times3) \neq (1+2)\times(1+3)=3\times 4=12$$

بررسی این تساوی‌ها با توجه به تعریف جمع به صورت بازگشتی، به راحتی صورت می‌گیرد.

ویژگی‌های مجموعه اعداد طبیعی

برای مجموعه اعداد طبیعی خصوصیات جالبی وجود دارد که برمبنای آن‌ها می‌توانیم برای مجموعه اعداد دیگر مانند اعداد حقیقی نیز این ویژگی‌ها را تعمیم داده یا بررسی کنیم. در ادامه به بررسی بعضی از این خصوصیات خواهیم پرداخت. برای مثال یکی از این ویژگی‌ها بسته بودن مجموعه اعداد طبیعی نسبت به جمع و ضرب است در حالیکه نسبت به تفریق و تقسیم این مجموعه از اعداد بسته نیستند. در اینجا بهتر است ابتدا به موضوع بسته بودن (Closure) یک مجموعه نسبت به یک عملگر توجه کنیم.

فیلم آموزش ریاضی 2 – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

تعریف: مجموعه $$A$$‌ را نسبت به عملگر $$\Delta$$ بسته (Close) می‌گویند اگر برای هر عضو از مجموعه $$A$$ داشته باشیم.

$$\large x,y \in A \rightarrow x\Delta y \in A$$

به بیان دیگر اگر عملگر $$\Delta$$ را روی هر عضوی از مجموعه $$A$$ به کار بریم، نتیجه نیز متعلق به مجموعه $$A$$ خواهد بود.

نکته: توجه دارید که تعریف‌ها و اصول احتیاجی به اثبات ندارند ولی هر عقل سلیمی به صحت این گزاره رای می‌دهد.

مثال: مجموعه اعداد طبیعی نسبت به عملگر جمع بسته هستند. اگر $$m$$ و $$n$$ را در مجموعه اعداد طبیعی در نظر بگیریم، واضح است که مجموع آن‌ها نیز یک عدد طبیعی است و در مجموعه $$N$$ جای خواهد گرفت.

بیان مجموعه اعداد طبیعی در نظریه مجموعه‌ها

تعریفی که در نظریه مجموعه‌ها با استفاده از ترتیب‌ها، برای اعداد طبیعی ارائه شده است در ادامه مورد بررسی قرار می‌گیرد.

• مجموعه 0 = {}، این مجموعه همان تهی است که دارای هیچ‌عضوی نیست.
• تابع $$s(m)$$ که به آن تابع پسین (Successor Function) گفته می‌شود به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\large s(m) = m \cup \{m\}$$

• هر عدد طبیعی را می‌توان به صورت یک مجموعه شامل آن عدد و اعداد کوچکتر از آن مشخص کرد.

به این ترتیب روش بیان اعداد طبیعی به صورت زیر مشخص می‌شود.

• 0 = {}، که همان مجموعه تهی است.
• 1= {0}={ {} }، این مجموعه دارای یک عضو است.
• 2 = {0,1}={{},{ {} } }، این مجموعه دارای دو عضو است.
• 3= {0,1,2}= { {}, { {} }, { { {} }}، این مجموعه دارای سه عضو است.
• ...
• $$n = n−1 \cup \{n−1\} = \{0, 1,\ldots, n−1\} = \{\;\{\}, \;\{\;\{\}\;\}, …, \{\;\{ \},\; \{\;\{ \}\;\}, …\}\;\}$$

نکته: در این تعریف صفر نیز در مجموعه اعداد طبیعی قرار می‌گیرد.

طبق تعریف مدرن از اعداد طبیعی، برای دو عدد طبیعی مثل $$m$$ و $$n$$ با شرط $$m\subseteq n$$ آنگاه خواهیم داشت: $$m\leq n$$ و در صورتی که $$m \subseteq n$$ و $$n \subseteq m$$ آنگاه $$m=n$$ خواهد بود.

این شیوه بیان اعداد طبیعی طبق نظریه ترتیب‌های «جان فن نویمن» (Von Neumann) صورت گرفته است که در آن هر ترتیب، یک مجموعه خوش‌ترتیب از ترتیب‌های کوچکتر است.

خلاصه و جمع‌بندی

یکی از مجموعه‌هایی که در ریاضیات در اکثر مواقع با آن سروکار داریم، مجموعه اعداد طبیعی است. در آموزش‌های اولیه ریاضیات در مقاطع دبستان، مجموعه اعداد طبیعی و خصوصیات آن آموزش داده می‌شود. هر چند نظریه اعداد به زبان مجموعه‌ها، به نظر مشکل می‌رسد ولی بسیاری از قضیه‌های مطرح شده در آن، راهگشای حل بسیاری از مسائل آینده ریاضی شده و شاخه‌های جدیدی در ریاضیات را بوجود آورده‌اند. در این نوشتار به بررسی اعداد طبیعی و خصوصیاتی که مجموعه اعداد طبیعی نسبت به چهار عمل اصلی دارند پرداختیم.