مساحت سطح حاصل از دوران — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

همانطور که می‌دانید، زمانی که یک منحنی حول محوری دوران کند، سطحی به وجود می‌آید که برای محاسبه مساحت سطح ایجاد شده نیاز به استفاده از روابط و محاسبات مختلفی وجود دارد. بنابراین در این مطلب به دنبال یافتن یک فرمول برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران یک تابع حول محور مشخصی هستیم.

مساحت سطح حاصل از دوران

برای به دست آوردن یک فرمول برای مساحت سطح حاصل از دوران تابع، یک تابع پیوسته $${ y = f \left ( x \right ) }$$ در بازه $${ \left [ { a , b } \right ] }$$ را در نظر می‌گیریم. این تابع حول محور x در حال دوران است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

نکته مهمی که باید به آن توجه کرد این است که در شرایط بیان شده، مشتق تابع در بازه $${ \left [ { a , b } \right ] }$$ به صورت پیوسته در نظر گرفته می‌شود. شکل زیر نمایی از یک تابع را نشان می‌دهد که حول محور x در حال دوران است.

در ادامه ما می‌توانیم مشابه با روشی که در مبحث «طول قوس منحنی»، بیان شد، رابطه‌ای را برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران به دست بیاوریم. بنابراین در ابتدا، منحنی تابع را به n قسمت مساوی با عرضی برابر با $${ \Delta x }$$ تقسیم می‌کنیم. در ادامه، هرکدام از این قسمت‌ها را توسط یک خط مستقیم تقریب می‌زنیم. نمونه‌ای از این کار که با $${ n = 4 }$$ انجام شده، در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.

حال، خط‌هایی که تقریبی از منحنی تابع هستند را حول محور x دوران می‌دهیم. این موضوع در رابطه زیر به تصویر کشیده شده است. با دوران این منحنی حول محور x، سطح جامدی مشابه با شکل زیر به وجود خواهد آمد.

همانطور که مشاهده می‌شود، هرکدام از قسمت‌های تابع، یک سطح جامد مجزا را ایجاد کردند و برای مشخص شدن این موضوع، این قسمت‌ها را با یک رنگ مشخص به تصویر کشیده‌ایم. توجه کنید که هرکدام از این بخش‌ها یک مخروط ناقص نامیده می‌شوند و ما رابطه مشخصی برای محاسبه مساحت سطح جانبی آن‌ها در اختیار داریم. مساحت سطح جانبی یک مخروط ناقص را می‌توان با استفاده از رابطه زیر به خوبی بیان کرد.

$${ \large A = 2 { \pi } r l }$$

در این رابطه، r میانگین شعاع مقطع سمت چپ و راست یک مخروط ناقص است و می‌توان آن را با استفاده از رابطه زیر مورد محاسبه قرار داد.

$${ \large \begin {align*} r = \frac { 1 } { 2 } \left ( { { r _ 1 } + { r _ 2 } } \right ) \hspace { 0.25 in } \end {align*} }$$

$$l$$ نیز در رابطه مساحت، طول شیب و قسمت شیب‌دار مخروط ناقص را نشان می‌دهد. این پارامترها را برای یک مخروط ناقص در محدوده $${ \left [ { { x _ { i - 1 } } , { x _ i } } \right ] }$$ می‌توان با استفاده از روابط زیر به دست آورد.

$${ \large \begin {align*} { r _ 1 } = & f \left ( { { x _ i } } \right ) \\ { r _ 2 } = & f \left ( { { x _ { i - 1 } } } \right) \\ l = & \left | { { P _ { i - 1 } } \ ,\, { P _ i } } \right | \end {align*} }$$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

نکته مهم دیگری که از مطلب «طول قوس منحنی» به یاد داریم این است که طول هرکدام از بخش‌های منحنی یعنی $${ \left | { { P _ { i - 1 } } \ ,\, { P _ i } } \right | }$$ را می‌توان به شکل زیر مورد محاسبه قرار داد.

$${ \large \left | { { P _ { i - 1 } } \, \, { P _ i } } \right | = \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, \, \, \Delta x }$$

توجه کنید که در این رابطه $${ x _ i ^ * }$$ یک نقطه دلخواه در بازه $${ \left [ { { x _ { i - 1 } } , { x _ i } } \right ] }$$ در نظر گرفته می‌شود. یکی از فرض‌های مهم دیگر که قبل از بیان فرمول مساحت سطح باید بیان کرد این است که $${ \Delta x }$$ به صورت یک پارامتر کوچک فرض می‌شود و با توجه به پیوستگی تابع $${ f ( x ) }$$، دو رابطه زیر در بازه بیان شده برقرار هستند.

$$ { \large f \left ( { { x _ i } } \right ) \approx f \left ( { x _ i ^ * } \right ) \hspace { 0.25 in } \hspace { 0.25 in } { \mbox { and } } \hspace { 0.25 in } \hspace { 0.25 in } f \left ( { { x _ { i - 1 } } } \right ) \approx f \left ( { x _ i ^ *} \right ) } $$

بنابراین با توجه به روابطی که تاکنون بیان شد، مساحت سطح یکی از قسمت‌ها و مخروط‌های ناقص که در بازه $${ \left [ { { x _ { i - 1 } } , { x _ i } } \right ] }$$ قرار دارد را می‌توان به صورت تقریبی با استفاده از رابطه زیر مورد محاسبه قرار داد.

$${ \large \begin {align*} { A _ { \, i } } & = 2 \pi \left ( { \frac { { f \left ( { { x _ i } } \right ) + f \left ( { { x _ { i - 1 } } } \right ) } } { 2 } } \right ) \left | { { P _ { i - 1 } } \, \, { P _ i } } \right | \, \, \\ & \approx 2 \pi f \left ( { x _ i ^ * } \right ) \sqrt {1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, \, \, \Delta x \end {align*} }$$

بنابراین مساحت سطح کل را می‌توان به صورت مجموع مساحت سطح هرکدام از بخش‌ها بیان کرد. این موضوع در رابطه زیر به خوبی نشان داده شده است.

$${ \large S \approx \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { 2 \pi f \left ( { x _ i ^ * } \right ) \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, \, \, \Delta x } }$$

زمانی که تعداد این قسمت‌های منحنی، بیشتر شود، مساحت محاسبه شده نیز دقیق‌تر خواهد بود. بنابراین با میل کردن تعداد این تقسیم‌بندی‌ها به سمت بینهایت، مساحت سطح حاصل از دوران دقیق به شکل زیر قابل محاسبه خواهد بود.

$${ \large \begin {align*} S & = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { 2 \pi f \left ( { x _ i ^ * } \right ) \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, \, \, \Delta x } \\ & = \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { 2 \pi f \left ( x \right ) \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, d x } } \end {align*} }$$

به صورت مشابه می‌توان یک رابطه برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران منحنی $${ x = h \left ( y \right ) }$$ در بازه $${ \left [ { c , d } \right ] }$$ و حول محور $${ y }$$ بیان کرد. این رابطه به شکل زیر قابل بیان است.

$${ \large S = \int _ { { \, c } } ^ { { \, d } } { { 2 \pi \, h \left ( y \right ) \sqrt { 1 + { { \left [ { h ^ \prime \left ( y \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, d y } } }$$

بنابراین دو رابطه بالا را می‌توان به شکل کلی و خلاصه شده زیر بیان کرد.

$$ { \large \begin {array} { l l } \begin {align*} d s = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } \, d x \,\hspace { 0.25 in } { \mbox { if } } y = f \left ( x \right ) , \, \, a \le x \le b \\ d s = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d x } } { { d y } } } \right ) } ^ 2 } } \, d y \, \hspace { 0.25 in } { \mbox { if } } x = h \left ( y \right ) , \, \, c \le y \le d \end {align*} \end {array} } $$

زمانی که دوران حول محور x انجام شود، مساحت سطح حاصل از دوران با توجه به رابطه زیر محاسبه می‌شود.

$${ \large S = \int { { 2 \pi y \, d s } } }$$

و زمانی که دوران حول محور y صورت گیرد، مساحت سطح حاصل از دوران با توجه به رابطه زیر محاسبه می‌شود.

$${ \large S = \int { { 2 \pi x \, d s } } }$$

در ادامه به کمک چند مثال، کاربرد روابط ارائه شده به صورت دقیق مورد مطالعه قرار خواهند گرفت.

مثال 1

مساحت سطح حاصل از دوران منحنی تابع $${ y = \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } }$$ در بازه $${ - 2 \le x \le 2 }$$ حول محور $${ x }$$ را بیابید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به اطلاعاتی که در صورت سوال داده شده، رابطه محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران به شکل زیر خواهد بود.

$${ \large S = \int { { { 2 } \pi { y } \, d s } } }$$

در واقع از آنجایی که دوران این منحنی حول محور x است، برای محاسبه مساحت سطح از رابطه به شکل بالا استفاده می‌کنیم. همچنین برای محاسبه ds و با توجه به آن‌که رابطه y بر حسب x داده شده، می‌توان از رابطه زیر استفاده کرد.

$${ \large \begin {array} { l l } \begin {align*} d s = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } \, d x \end {align*} \end {array} }$$

بنابراین ابتدا به محاسبه $${ \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) }$$ با استفاده از رابطه زیر می‌پردازیم.

$${ \large \frac { { d y } } { { d x } } = \frac { 1 } { 2 } { \left ( { 9 - { x ^ 2 } } \right ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \left ( { - 2 x } \right ) = - \frac { x } { { { { \left ( { 9 - { x ^ 2 } } \right ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } }$$

در ادامه، عبارت رادیکالی موجود در رابطه ds به شکل زیر محاسبه می‌شود.

$${ \large \begin {align*} \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } & = \sqrt { 1 + \frac { { { x ^ 2 } } } { { 9 - { x ^ 2 } } } } \\ & = \sqrt { \frac { 9 } { { 9 - { x ^ 2 } } } } \\ & = \frac { 3 } { { \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } \end {align*} }$$

با توجه به روابطی که در بالا محاسبه شدند، انتگرال موجود برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران به شکل زیر نشان داده می‌شود.

$${ \large S = \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, 2 } } { { 2 \pi y \frac { 3 } { { \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } \, d x } } }$$

توجه کنید که با توجه به اینکه انتگرال‌گیری روی dx انجام می‌شود، بنابراین در عبارت جلوی انتگرال نباید هیچ ترم y وجود داشته باشد. بنابراین عبارت y را از صورت سوال در این رابطه جایگذاری می‌کنیم و در نهایت به محاسبه انتگرال مربوطه می‌پردازیم.

$${ \large \begin {align*} S & = \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, 2 } } { { 2 \pi \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } \frac { 3 } { { \sqrt { 9 - { x ^ 2 } } } } \, d x } } \\ & = \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, 2 } } { { 6 \pi \, d x } } \\ & = 2 4 \pi \end {align*} }$$

مثال 2

مساحت سطح حاصل از دوران تابع $${ y = \sqrt [ 3 ] { x } }$$ در محدود $${ 1 \le y \le 2 }$$ و زمانی که حول محور y دوران می‌کند را بیابید. در این مثال برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران از هر دو رابطه ds استفاده کنید و روند محاسبه مساحت در این دو رابطه را با یکدیگر مقایسه کنید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

راه حل اول

در ابتدا برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران از رابطه زیر برای محاسبه ds استفاده می‌کنیم.

$${ \large \begin {array} { l l } \begin {align*} d s = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } \, d x \end {align*} \end {array} }$$

برای استفاده از این رابطه، ابتدا عبارت $${ \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) }$$ را محاسبه می‌کنیم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

$${ \large \frac { { d y } } { { d x } } = \frac { 1 } { 3 } { x ^ { - \frac { 2 } { 3 } } } }$$

بنابراین، عبارت انتگرالی در رابطه ds به شکل زیر محاسبه خواهد شد.

$${ \large \begin {align*} \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } & = \sqrt { 1 + \frac { 1 } { { 9 { x ^ { \frac { 4 } { 3 } } } } } } \\ & = \sqrt { \frac { { 9 { x ^ { \frac { 4 } { 3 } } } + 1 } } { { 9 { x ^ { \frac { 4 } { 3 } } } } } } \\ & = \frac { { \sqrt { 9 { x ^ { \frac { 4 }{ 3 } } } + 1 } } } { { 3 { x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } } \end {align*} }$$

نکته مهمی که باید به آن توجه کنید، این است که در صورت سوال، محدوده تغییرات $${ y }$$ داده شده است و برای محاسبه انتگرال فوق، نیاز به تعیین محدوده تغییرات $${ x }$$ داریم. بنابراین با قرار دادن مقادیر $${ y }$$ در رابطه تابع، محدوده تغییرات $${ x }$$ برابر با $${ 1 \le x \le 8 }$$ محاسبه می‌شود. برای آشنایی بیشتر با مفهوم دامنه و برد به مطلب «دامنه و برد تابع — به زبان ساده» مراجعه کنید.

در نهایت با توجه به توضیحات داده شده، انتگرال موجود برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران به شکل زیر محاسبه خواهد شد.

$${ \large \begin {align*} S & = \int _ { { \, 1 } } ^ { { \, 8 } } { { 2 \pi x \frac { { \sqrt { 9 { x ^ { \frac { 4 } { 3 } } } + 1 } } } { { 3 { x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } } \, d x } } \\ \\ & = \frac { { 2 \pi } } { 3 } \int _ { { \, 1 } } ^ { { \, 8 } } { { { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \sqrt { 9 { x ^ { \frac { 4 } { 3 } } } + 1 } \, d x } } \end {align*} }$$

برای محاسبه انتگرال فوق باید از روش تغییر متغیر برای محاسبه انتگرال استفاده کنیم. این تغییر متغیر در رابطه زیر نشان داده شده است.

$${ \large u = 9 { x ^ { \frac { 4 } { 3 } } } + 1 \hspace { 0.25 in } \hspace { 0.25 in } \hspace { 0.25 in } d u = 1 2 { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \, d x }$$

بر این اساس انتگرال فوق را می‌توان به شکل زیر مورد محاسبه قرار داد.

$${ \large \begin {align*} S & = \frac { \pi } { { 1 8 } } \int _ { { \, 1 0 } } ^ { { \, 1 4 5 } } { { \sqrt u \, d u } } \\ & = \left. { \frac { \pi } { { 2 7 } } { u ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \right | _ { 1 0 } ^ { 1 4 5 } \\ & = \frac { \pi } { { 2 7 } } \left ( { { { 1 4 5 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - { { 1 0 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \right ) = 1 9 9 . 4 8 \end {align*} }$$

راه حل دوم

در این قسمت از رابطه دیگری برای محاسبه ds استفاده می‌کنیم. این رابطه به شکل زیر نشان داده شده است.

$${ \large { \begin {align*} d s = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d x } } { { d y } } } \right ) } ^ 2 } } \, d y \end {align*} } }$$

برای محاسبه این انتگرال، ابتدا پارامتر x بر حسب y و سایر عبارات موجود در انتگرال فوق را به شکل زیر محاسبه می‌کنیم.

$${ \large x = { y ^ 3 } \hspace { 0.25 in } \hspace { 0.25 in } \hspace { 0.25 in } \frac { { d x } } { { d y } } = 3 { y ^ 2 } }$$

$${ \large \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d x } } { { d y } } } \right ) } ^ 2 } } = \sqrt { 1 + 9 { y ^ 4 } } }$$

بنابراین، رابطه مربوط به مساحت سطح حاصل از دوران را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

$${ \large \begin {align*} S & = \int _ { { \, 1 } } ^ { { \, 2 } } { { 2 \pi { y ^ 3 } \sqrt { 1 + 9 { y ^ 4 } } \, d y } } \end {align*} }$$

برای محاسبه این انتگرال از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم.

$${ \large u = 1 + 9 { y ^ 4 } }$$

در نهایت مساحت سطح حاصل از دوران به شکل زیر محاسبه می‌شود.

$${ \large \begin {align*} S & = \int _ { { \, 1 } } ^ { { \, 2 } } { { 2 \pi { y ^ 3 } \sqrt { 1 + 9 { y ^ 4 } } \, d y } } \\ & = \frac { \pi } { { 1 8 } } \int _ { { \, 1 0 } } ^ { { \, 1 4 5 } } { { \sqrt u \, d u } } \\ & = \frac { \pi } { { 2 7 } } \left ( { { { 1 4 5 } ^ { \frac { 3 }{ 2 } } } - { { 1 0 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \right ) = 1 9 9 . 4 8 \end {align*} }$$

همانطور که نشان داده شد، با استفاده از هر دو رابطه مربوط به ds، مساحت سطح جانبی را می‌توان مورد محاسبه قرار داد و تفاوت این دو رابطه تنها در نحوه محاسبه انتگرال نهایی است. نکته دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که در برخی از حالات و مسائل، انتخاب رابطه اشتباه ds می‌تواند منجر به انتگرال‌گیری پیچیده و یا حتی غیر ممکن شود. بنابراین پیشنهاد می‌شود در صورتی که با انتخاب یکی از روابط ds به پیچیدگی در محاسبه انتگرال رسیدید، حتما رابطه دیگر را نیز مورد بررسی قرار دهید.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی ۱
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• تغییر متغیر — به زبان ساده
• طول قوس منحنی (کاربرد انتگرال) — به زبان ساده
• اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده
• دامنه و برد تابع — به زبان ساده

^^