آماره بسنده (Sufficient Statistic) و بسنده مینیمال – به زبان ساده

۱۹۸۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۷ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
دانلود PDF مقاله
آماره بسنده (Sufficient Statistic) و بسنده مینیمال – به زبان سادهآماره بسنده (Sufficient Statistic) و بسنده مینیمال – به زبان ساده

در تئوری آمار، موضوع برآوردیابی از اهمیت خاصی برخوردار است. منظور از برآوردیابی، بدست آوردن تابعی از نمونه تصادفی است که بتوان به کمک آن پارامتر جامعه را مشخص کرد. به نظر می‌رسد برای رسیدن به این منظور آماره نباید تابعی از پارامتر باشد. در این حالت فرض کنید Tn(X)T_n(X) تابعی از نمونه تصادفی n تایی باشد، علاقمند هستیم که این آماره بتواند بیشترین اطلاعات را در مورد پارامتر مجهول جامعه در اختیارمان قرار دهد، بطوری که هر آماره دیگر، قادر به ارائه این میزان اطلاعات در مورد پارامتر نباشد. چنین تابعی از نمونه تصادفی را به عنوان «آماره بسنده» (Sufficient Statistic) می‌شناسیم.

997696

به نظر می‌رسد بهترین پاسخ برای چنین وضعیتی می‌تواند خود نمونه تصادفی X1,X2,,XnX_1,X_2, \cdots , X_n باشد. ولی در بعضی از مواقع می‌توان توابعی دیگر مانند حاصل جمع یا میانگین نمونه تصادفی را هم به عنوان آماره بسنده برای پارامتر جامعه در نظر گرفت. به این ترتیب این آماره‌ها میزان اطلاعات یکسانی از پارامتر جامعه در خود دارند. همانطور که مشخص شد، آماره بسنده یکتا نیست و ممکن است آماره‌ها مختلفی پیدا کرد که در مورد پارامتر، اطلاعات یکسانی داشته باشند. به این منظور به دنبال آماره بسنده‌ای هستیم که بتواند همه آماره‌های بسنده دیگر را تحت پوشش قرار دهد. چنین آماره‌ای را «آماره بسنده مینیمال» (Minimal Sufficient Statistic) می‌نامیم.

در این نوشتار به معرفی و بررسی خصوصیات آماره بسنده و بسنده مینیمال خواهیم پرداخت و البته دستورالعمل‌هایی به منظور شناسایی آن ارائه خواهیم داد. به کمک آماره بسنده و بسنده مینیمال می‌توان ابعاد یک مسئله استنباط آماری را کوچک کرد و مثلا از میانگین به جای کل نمونه تصادفی برای برآورد پارامتر یا انجام آزمون فرض استفاده کرد. برای مطالعه بیشتر در زمینه برآوردگرها و برآوردگرهای فاصله‌ای به مطلب‌های تابع درستنمایی (Likelihood Function) و کاربردهای آن — به زبان ساده و فاصله اطمینان (Confidence Interval) — به زبان ساده مراجعه کنید. البته خواندن نوشتار آزمون های فرض و استنباط آماری — مفاهیم و اصطلاحات نیز خالی از لطف نیست.

آماره بسنده (Sufficient Statistic)

اگر X={X1,X2,,Xn}X=\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} یک نمونه تصادفی مستقل و هم توزیع با توجه به پارامتر ثابت ولی ناشناخته θ\theta باشد، آماره بسنده را به صورت T(X)T(X) نشان داده که تابعی از نمونه تصادفی محسوب شده و شامل بیشترین اطلاعاتی است که برای برآورد پارامتر θ\theta لازم است.

مفهوم و تعریف اولیه برای آماره بسنده توسط دانشمند بزرگ آمار «رونالد فیشر» (Ronald Fisher) در سال ۱۹۲۰ ارائه شد. این تعریف بعدها به عنوان یک مبنا برای شناسایی آماره‌های مناسب به منظور برآورد پارامتر نامعلوم جامعه بدل شد. در ادامه پژوهش‌های فیشر، قضیه‌هایی که برمبنای آماره بسنده ساخته شده (مانند قضیه Rao-Blackwell)، روش‌هایی برای ایجاد بهترین برآوردگرها (با کمترین واریانس) در کلاس برآوردگرهای نااریب معرفی شد که همه مرهون تحقیقات فیشر در این زمینه بودند.

ronald fisher
«رونالد فیشر» (Ronald Fisher)

تعریف رسمی آماره بسنده

با توجه به اطلاعاتی که از احتمال شرطی یا توزیع شرطی در دیگر مطالب فرادرس داریم، می‌توانیم تعریف رسمی برای آماره بسنده را به صورت زیر بیان کنیم.

آماره T(X)T(X) بسنده برای پارامتر θ\theta است اگر توزیع احتمال نمونه تصادفی به شرط آماره T(X)T(X) مستقل از پارامتر θ\theta باشد. 

این گزاره نشان می‌دهد که اگر آماره بسنده در اختیارمان باشد، برای محاسبه تابع احتمال نمونه تصادفی دیگر احتیاجی به پارامتر نیست و اطلاعاتی که T(X)T(X) در خود دارد می‌تواند جایگزین پارامتر برای محاسبه احتمال شود.

مثال 1

فرض کنید X1X_1 و X2X_2 دو متغیر تصادفی (یک نمونه دو تایی) از توزیع برنولی با پارامتر pp باشند. در این صورت مشاهدات ما از این دو متغیر تصادفی به صورت زوج مرتب و به شکل زیر نوشته می‌شوند.

χ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}\large \chi =\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}

فرض کنید در این میان T(X)=X1+X2T(X)=X_1+X_2 آماره بسنده باشد. باید مطابق تعریفی که از آماره بسنده داشتیم تابع احتمال شرطی نمونه تصادفی به شرط T(X)T(X) شامل پارامتر pp‌ نباشد. می‌دانیم مجموع دو متغیر تصادفی برنولی مستقل و هم توزیع (با پارامتر pp) دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای 2 و pp است.

T(X)=X1+X2B(2,p)\large T(X)=X-1+X_2 \sim B(2,p)

بنابراین می‌توان تابع احتمال آن‌ها را به صورت زیر نمایش داد.

P(T(X))=P(X1+X2=x)=(2x)px(1p)(2x),    x=0,1,2\large P(T(X))=P(X_1+X_2=x)={2 \choose x}p^x(1-p)^{(2-x)},\;\;x=0,1,2

حال احتمال شرطی نمونه تصادفی را به شرط آماره بسنده محاسبه می‌کنیم.

P(X1=x1,X2=x2T(X))=P(X1=x1,X2=x2X1+X2=x)\large P(X_1=x_1,X_2=x_2|T(X))=P(X_1=x_1, X_2=x_2|X_1+X_2=x)

همانطور که می‌بینید این احتمال شبیه تابع درستنمایی است که برحسب آماره بسنده شرطی شده است. اطلاع دارید که تابع درستنمایی نیز از ابتکارات و ابداعات دانشمند بزرگ «رونالد فیشر» است. در ادامه محاسبات مربوط به رابطه بالا را پی می‌گیریم.

={0xx1+x2px1(1p)(1x1)px2(1p)(1x2)(2x)x=x1+x2={0xx1+x2px1+x2(1p)(1x1+1x2)(2x)x=x1+x2={0xx1+x2px(1p)(2x)(2x)px(1p)(2x)x=x1+x2={0xx1+x21(2x)x=x1+x2\large= \begin{cases} 0& x\neq x_1+x_2\\ \large \dfrac{p^{x_1}(1-p)^{(1-x_1)}p^{x_2}(1-p)^{(1-x_2)}}{{2 \choose x}}&x=x_1+x_2\end{cases}\\ \large= \begin{cases} 0& x\neq x_1+x_2\\ \large \dfrac{p^{x_1+x_2}(1-p)^{(1-x_1+1-x_2)}}{{2 \choose x}} & x =x_1+x_2\end{cases}\\ \large= \begin{cases} 0& x\neq x_1+x_2\\ \large \dfrac{p^{x}(1-p)^{(2-x)}}{{2 \choose x}p^{x}(1-p)^{(2-x)}} & x =x_1+x_2 \end{cases}\\ \large = \begin{cases} 0& x\neq x_1+x_2\\ \large \dfrac{1}{{2 \choose x}} & x =x_1+x_2 \end{cases}

همانطور که دیده می‌شود، تابع احتمال شرطی وابسته به پارامتر θ\theta نیست. بنابراین T(X)=X1+X2T(X)=X_1+X_2 به درستی به عنوان آماره بسنده انتخاب شده است.

قضیه فاکتورگیری فیشر-نیمن (Fisher-Neyman Factorization Theorem)

فرض کنید XX نمونه‌ای تصادفی مستقل و هم توزیع با پارامتر θ\theta باشند. می‌توان نشان داد که توزیع توام این نمونه تصادفی برحسب آماره بسنده T(X)T(X) به صورت زیر قابل تفکیک است:

fX(x)=h(x)g(θ,T(x))\large f_X(x)=h(x)g(\theta,T(x))

در رابطه بالا h(x)h(x) تابعی از نمونه تصادفی است که شامل پارامتر جامعه نیست و از طرفی دیگر g(θ,T(x))g(\theta,T(x)) تابعی نامنفی از نمونه تصادفی و پارامتر جامعه است.

به این ترتیب می‌توان گفت که تابع احتمال را می‌توان به دو بخش تقسیم کرد. بخشی که فقط وابسته به نمونه تصادفی یعنی XX است و بخشی که به صورت ترکیبی از نمونه تصادفی و پارامتر جامعه است. در اینجا T(X)T(X) آماره بسنده نامیده می‌شود. این قضیه با نام تفکیک یا «فاکتورگیری فیشر-نیمن» (Fisher-Neyman Factorization Theorem) معروف است.

factorization ehtorem

با توجه به این قضیه مشخص است که نمونه تصادفی XX خود یک آماره بسنده محسوب می‌شود. در بیشتر مواقع برای پیدا کردن آماره بسنده از این قضیه استفاده می‌شود زیرا تعریف ارائه شده برای آماره بسنده، روشی برای پیدا کردن آن مشخص نمی‌کند و فقط شرایطی که یک آماره را بسنده می‌کند، در تعریف مطرح شده است.

نکته: اگر T(X)T(X) آماره بسنده باشد، به راحتی با استفاده از این قضیه می‌توان نشان داد به ازاء مقدار ثابت غیر صفر cc، هر تابعی مثل T(X)=cT(X)T^*(X)=cT(X) نیز آماره بسنده است. بنابراین آماره بسنده یکتا نیست. ولی می‌دانیم مقدار اطلاعاتی که T(X)T(X) و T(X)T^*(X)‌ در مورد پارامتر به همراه دارند یکسان است. در غیر اینصورت آماره بسنده محسوب نمی‌شدند.

مثال 2

فرض کنید می‌خواهیم برای توزیع نمایی با پارامتر θ\theta، آماره بسنده پیدا کنیم. به این منظور نمونه تصادفی n تایی به صورت X1,X2,XnX_1, X_2, \cdots X_n تهیه کرده‌ایم. طبق قضیه فاکتورگیری فیشر- نیمن عمل می‌کنیم.

از آنجایی که این نمونه تصادفی مستقل و هم توزیع (iid) هستند می‌توانیم آن‌ها را به صورت  X1n=(X1,,Xn)X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n}) نشان دهیم. با توجه به تابع احتمال این متغیرهای تصادفی، توزیع احتمال توام (همزمان) آن‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود.

fX1n(x1n)=i=1n1θe1θxi=1θne1θi=1nxi\large {\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{1 \over \theta }\,e^{{-1 \over \theta }x_{i}}={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\end{aligned}}}

حال می‌توانید طبق قضیه فاکتورگیری توابع h(X)h(X) و g(θ,T(X))g(\theta, T(X)) را به صورت زیر در نظر گرفت.

h(x1n)=1,g(θ,x1n)=1θne1θi=1nxi\large {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g(\theta,x_{1}^{n})={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\end{aligned}}

مشخص است که hh فقط به نمونه تصادفی و gg نیز به پارامتر و نمونه تصادفی از طریق i=1nXi\sum_{i=1}^nX_i وابسته است، بنابراین می‌توان آماره بسنده را T(X)=i=1nXiT(X)= \sum_{i=1}^nX_i در نظر گرفت.

مثال 3

فرض کنید X1,X2,XnX_1, X_2, \cdots X_n نمونه تصادفی مستقل و هم‌توزیع از نرمال با میانگین نامعلوم θ\theta و واریانس معلوم σ2\sigma^2 باشند. نشان می‌دهیم که میانگین نمونه‌ای، آماره بسنده برای میانگین جامعه θ\theta محسوب می‌شود.

توزیع توام این نمونه تصادفی را با توجه به توزیع نرمال به صورت زیر می‌نویسیم. طی مراحلی که در ادامه قابل مشاهده است، از قضیه فاکتورگیری به این نتیجه می‌رسیم که میانگین نمونه‌ای، آماره بسنده برای میانگین جامعه θ\theta است.

fX1n(x1n)=i=1n12πσ2exp((xiθ)22σ2)=(2πσ2)n2exp(i=1n(xiθ)22σ2)=(2πσ2)n2exp(i=1n((xix)(θx))22σ2)=(2πσ2)n2exp(12σ2(i=1n(xix)2+i=1n(θx)22i=1n(xix)(θx)))=(2πσ2)n2exp(12σ2(i=1n(xix)2+n(θx)2))\large {\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)-\left(\theta -{\overline {x}}\right)\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(\theta -{\overline {x}})^{2}-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})\right)\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+n(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\right)\end{aligned}}}

با توجه به رابطه i=1n(xix)(θx)=0\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})=0 می‌توان محاسبات قبل را به صورتی که در ادامه قابل مشاهده است ساده‌تر کرد.

(2πσ2)n2exp(12σ2i=1n(xix)2)exp(n2σ2(θx)2)\large \begin{aligned} (2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right) \end{aligned}

بنابراین تابع hh و gg به صورت زیر نوشته خواهند شد.

h(x1n)=(2πσ2)n2exp(12σ2i=1n(xix)2)g(θ,x1n)=exp(n2σ2(θx)2)\large {\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\\ \large g(\theta,x_{1}^{n})&=\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}

به این ترتیب مشخص است که تابع gg از طریق x\overline{x} به نمونه تصادفی مرتبط است. بنابراین میانگین نمونه‌ای X\overline{X}، آماره بسنده برای پارامتر میانگین جامعه محسوب می‌شود.

T(X1n)=X=1ni=1nXi\large {\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

آماره بسنده مینیمال

همانطور که در مطالب قبل گفته شد، آماره بسنده یکتا نیست. بنا به تعریف، آماره بسنده‌ای که تابعی از همه آماره‌های بسنده باشد، بسنده مینیمال (Minimal Sufficient) نامیده می‌شود. به این ترتیب می‌توان آماره بسنده مینیمال را به نوعی موثرترین آماره بسنده برای پارامتر جامعه θ\theta در نظر گرفت که عین اینکه بیشترین اطلاعات را به همراه دارد، از همه آماره‌های بسنده نیز خلاصه‌تر و ساده‌تر است.

به طور رسمی آماره بسنده مینیمال را به صورت زیر تعریف می‌کنند.

آماره بسنده S(X)S(X) را بسنده مینیمال می‌نامند اگر برای هر آماره بسنده دیگر مثل T(X)T(X) و تابع دلخواه ff داشته باشیم:

S(X)=f(T(X))\large S(X)=f(T(X))

برای مشخص کردن آماره بسنده از قضیه فاکتورگیری فیشر استفاده می‌کنیم. به این ترتیب اگر S(X)S(X) آماره بسنده مینیمال باشد باید در رابطه زیر به صورت دو طرفه برقرار باشد.

fθ(x)fθ(y)  is  independent  of  θ:S(x)=S(y){\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(y)}}\; is\; independent\; of\;\theta : \Longleftrightarrow S(x) = S(y)

این رابطه به این معنی است که اگر نسبت توابع توزیع توام دو نمونه تصادفی xx و yy بستگی به پارامتر θ\theta نداشته باشد، بتوان نتیجه گرفت که آماره بسنده SS برای هر دو نمونه تصادفی یکسان است و البته برعکس. با این کار می‌توان بررسی کرد آیا یک آماره بسنده، می‌تواند بسنده مینیمال هم باشد یا خیر. این روش به نام قضیه «لهمن-شفه» (Lehmann–Scheffé theorem) معروف است.

lehmann portrait
لهمن، آمار شناس آمریکایی
Henry Scheffe
هنری شفه آمارشناس آمریکایی

به منظور روشن‌تر شدن موضوع به بررسی دو مثال می‌پردازیم.

مثال 4

فرض کنید X1X_1 و X2X_2 دو متغیر تصادفی (یک نمونه دو تایی) از توزیع برنولی با پارامتر pp باشند. در این صورت میانگین این دو آماره بسنده مینیمال است.

برای نشان دادن این موضوع کمی به عقب برمی‌گردیم. مطابق با مثال ۱ می‌دانیم مجموع این دو متغیر تصادفی، آماره بسنده است. برای سنجش صحت گزاره مثال ۴، کافی است نشان دهیم رابطه بالا برای این آماره بسنده برقرار است و می‌توان آن را به عنوان آماره بسنده مینیمال در نظر گرفت. با توجه به مثال ۱، تابع احتمال توام این نمونه تصادفی به صورت زیر است.

fp(x1,x2)=P(X1=x1,X2=x2)=px1(1p)(1x1)px2(1p)(1x2)=px1+x2(1p)(2(x1+x2))\large f_{p}(x_1,x_2)=P(X_1=x_1,X_2=x_2)= p^{x_1}(1-p)^{(1-x_1)}p^{x_2}(1-p)^{(1-x_2)}\\\large =p^{x_1+x_2}(1-p)^{(2-(x_1+x_2))}

با توجه به تعریف ارائه شده برای آماره بسنده مینیمال،اگر y1y_1 و y2y_2 دو نمونه تصادفی دیگر باشند خواهیم داشت:

fp(x1,x2)fp(y1,y2)=px1+x2(1p)(2(x1+x2))py1+y2(1p)(2(y1+y2))\large \dfrac{f_{p}(x_1,x_2)}{f_{p}(y_1,y_2)}=\dfrac{p^{x_1+x_2}(1-p)^{(2-(x_1+x_2))}}{p^{y_1+y_2}(1-p)^{(2-(y_1+y_2))}}

برای آنکه طرف راست این تساوی به پارامتر pp بستگی نداشته باشد باید S(x1,x2)=x1+x2=y1+y2=s(y1,y2)S(x_1,x_2)=x_1+x_2=y_1+y_2=s(y_1,y_2) باشد و اگر این تساوی برقرار باشد، نسبت بالا به pp بستگی ندارد. بنابراین مجموع این دو متغیر تصادفی آماره بسنده مینیمال است.

نکته: آماره بسنده مینیمال نیز یکتا نیست. ولی اگر دو آماره بسنده مینیمال برای پارامتر جامعه (θ\theta) وجود داشته باشد، مطمئن هستیم که بینشان یک تابع یا رابطه یک به یک برقرار است. به این ترتیب می‌توان میانگین این دو متغیر تصادفی (X1+X22\dfrac{X_1+X_2}{2}) را هم به عنوان آماره بسنده مینیمال در نظر گرفت.

مثال ۵

فرض کنید X1,X2,XnX_1, X_2, \cdots X_n نمونه تصادفی مستقل و هم‌توزیع از نرمال با میانگین نامعلوم θ\theta و واریانس معلوم σ2\sigma^2 باشند. نشان می‌دهیم که میانگین نمونه‌ای، آماره بسنده مینیمال برای میانگین جامعه θ\theta محسوب می‌شود.

مطابق با مثال ۳ می‌دانیم که تابع چگالی احتمال توام این نمونه تصادفی به صورت زیر نوشته می‌شود.

f(X;θ)=(2πσ2)n2exp(12σ2i=1n(xix)2)exp(n2σ2(θx)2)\large f(X;\theta)=\begin{aligned} (2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right) \end{aligned}

حال اگر نمونه تصادفی دیگری مانند Y1,Y2,YnY_1,Y_2, \cdots Y_n در نظر بگیریم با استفاده از قضیه لهمن-شفه خواهیم داشت:

f(X;θ)f(Y;θ)=(2πσ2)n2exp(12σ2i=1n(xix)2)exp(n2σ2(θx)2)(2πσ2)n2exp(12σ2i=1n(yiy)2)exp(n2σ2(θy)2)\large \dfrac{f(X;\theta)}{f(Y;\theta)}=\dfrac{(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)}{(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {y}})^{2}\right)}

برای آنکه این نسبت به پارامتر θ\theta بستگی نداشته باشد باید داشته باشیم:

(θx)2(θy)2=1x=y\large \dfrac{(\theta -{\overline {x}})^{2}}{(\theta -{\overline {y}})^{2}}=1\rightarrow \overline{x}=\overline{y}

در نتیجه X\overline{X} آماره بسنده مینیمال است.

نکته: اغلب آماره بسنده‌ای که از طریق فاکتورگیری فیشر ساخته می‌شود، بسنده مینیمال نیز هست.

اگر به فراگیری مباحث مشابه مطلب بالا علاقه‌مند هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
دانلود PDF مقاله
۱ دیدگاه برای «آماره بسنده (Sufficient Statistic) و بسنده مینیمال – به زبان ساده»

توضیحات واقعا عالیه /دمتون گرم
ممنون از سایت خوبتون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *