سرعت نور و محاسبه آن از معادلات ماکسول — به زبان ساده

بنابر اصل دوم نسبیت خاص آلبرت اینشتین، نهایت سرعت اجسام مادی محدود بوده و نمی‌توانند به سرعتی بیشتر از سرعت نور دست پیدا کنند. در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به محاسبه سرعت نور یا به طور کلی سرعت امواج الکترومغناطیسی توسط معادلات ماکسول بپردازیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

‌بر اساس متون تاریخ علم، می‌توان گفت اولین نفری که سرعت نور را محاسبه کرد، ستاره‌شناسی دانمارکی به نام اوله رومر (Ole Christensen Roemer) بود. رومر در حدود سال 1676 میلادی سرعت نور را بر اساس محاسبات نجومی خود از قمر سیاره مشتری، حدود ۱۴۰ کیلومتر در ثانیه اندازه‌گیری کرد. امروزه می‌دانیم که سرعت نور به طور تقریبی برابر با ۲۹۹٬۷۹۲٬۴۵۸ متر بر ثانیه است.

محاسبه سرعت نور

در این بخش قصد داریم تا سرعت نور را به کمک فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول به دست آوریم. در واقع معادله موج الکترومغناطیسی را از معادلات ماکسول به دست آورده و سپس از جواب عمومی معادله موج، سرعت نور را محاسبه می‌کنیم.

فیلم آموزش الکترومغناطیس مهندسی در فرادرس

کلیک کنید

جهت یادآوری معادلات مذکور به فرم زیر هستند:

$$\large \triangledown . E = 0$$
(1)

$$\large \triangledown . B = 0$$
(2)

$$\large \triangledown \times E =\ - \frac{\partial B}{\partial t}$$
(3)

$$\large \triangledown \times B = \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$$
(4)

توجه داشته باشید که در اینجا محاسبات را در محیط خلأ (نهایت سرعت نور) انجام می‌دهیم. از این حیث چگالی بار $$\rho$$ و چگالی جریان $$J$$ را در معادلات فوق صفر فرض کردیم. دو پارامتر ضریب گذردهی الکتریکی $$\varepsilon$$ و مغناطیسی $$\mu$$ به طور کلی خواص الکترومغناطیسی محیط را مشخص می‌کنند. اندیس صفر، مقدار این دو پارامتر را در خلأ که عددی ثابت است، بیان می‌کند.

$$\large \varepsilon_{0} = 8.854787 \times 10^{-12}\ \ \ (\frac{ C^{2} }{ N . m^{2} })$$
(5)

$$\large \mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7}\ \ \ (\frac{ H }{ m })$$
(6)

معادله موج

در ادامه از فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول به معادله موج خواهیم رسید. با گرفتن کرل از دو طرف قانون فارادی (معادله ۳)، روند محاسبه سرعت نور را آغاز می‌کنیم. با گرفتن کرل از رابطه (۳) داریم:

$$\large \triangledown \times ( \triangledown \times E ) = \triangledown \times - \frac{\partial B}{\partial t} = - \frac{\partial }{\partial t} (\triangledown \times B)$$
(7)

حال با استفاده از رابطه ریاضی زیر که به BAC-CAB معروف است، سمت چپ رابطه (7) را بازنویسی می‌کنیم.

$$\large \triangledown \times ( \triangledown \times E ) = \triangledown ( \triangledown . E) - \triangledown^{2}E$$
(8)

در اینجا با توجه به رابطه (۱)، جمله $$\triangledown . E = 0$$ صفر می‌شود. در نتیجه رابطه (۷) با استفاده از رابطه (4) برای سمت راست تساوی، به صورت زیر در می‌آید:

$$\large \triangledown ( \triangledown . E ) - \triangledown^{2}E = - \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}$$
(9)

$$\large \Rightarrow \triangledown^{2}E = \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}$$
(10)

اگر دقت کرده باشید، با انجام روند فوق، به معادله موج الکترومغناطیسی رسیدیم. به عبارت دیگر، رابطه (10) معادله موج مولفه میدان الکتریکی امواج الکترومغناطیسی را در ۳ بعد تشریح می‌کند. معادله موج مولفه مغناطیسی نیز به صورت مشابه با روند فوق، با گرفتن کرل از دو سمت معادله قانون آمپر - ماکسول (رابطه ۴) به فرم زیر به دست می‌آید.

$$\large \triangledown^{2} H = \varepsilon \mu \frac{ \partial{^2} H }{ \partial t^{2} }$$
(11)

جهت سادگی کار فرض می‌کنیم که موج یک بعدی است. در نتیجه رابطه (10) به صورت زیر نتیجه می‌شود:

$$\large \frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}} = \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}$$
(12)

جواب عمومی معادله دیفرانسیل فوق،‌ به صورت زیر است:

$$\large f ( k ( x - v t ) ) + g ( k ( x - v t ) )$$
(13)

که در رابطه فوق، متناسب با فیزیک مسئله، $$v$$ سرعت و λ طول موج است. دو تابع $$f$$ و $$g$$ نیز جهت حرکت موج به سمت مثبت یا منفی محور را توصیف می‌کنند.

پاسخ معادله موج

از آنجایی که پاسخ فوق، عمومی است، می‌توانیم رایج‌ترین فرم، یعنی موج سینوسی را که در جهت مثبت حرکت می‌کند، انتخاب کنیم. در نتیجه:

$$\large E = E_{0} \sin [ \frac{ 2 \pi }{ \lambda } (x - vt) ]$$
(14)

پارامتر $$E_{0}$$، دامنه میدان الکتریکی است. حال دو سمت رابطه (12) را با گرفتن مشتق زمانی و مکانی از رابطه (14) به دست می‌آوریم.

$$\large \frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}} = - E_{0} (\frac{ 2 \pi }{ \lambda })^{2} \sin [ \frac{ 2 \pi }{ \lambda } (x - vt) ]$$
(15)

$$\large \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = - E_{0} (\frac{ 2 \pi }{ \lambda })^{2} \sin [ \frac{ 2 \pi v }{ \lambda } (x - vt) ]$$
(16)

با جایگذاری روابط فوق در رابطه (12)، نتیجه می‌شود:

$$\large - E_{0} (\frac{ 2 \pi }{ \lambda })^{2} \sin [ \frac{ 2 \pi }{ \lambda } (x - vt) ] = - \mu_{0} \varepsilon_{0} E_{0} (\frac{ 2 \pi v }{ \lambda })^{2} \sin [ \frac{ 2 \pi }{ \lambda } (x - vt) ]$$
(17)

$$\large \Rightarrow (\frac{ 2 \pi }{ \lambda })^{2} = \mu_{0} \varepsilon_{0} (\frac{ 2 \pi v }{ \lambda })^{2}$$
(18)

$$\large \Rightarrow 1= \mu_{0} \varepsilon_{0} v^{2}$$
(19)

حال با تنها کردن پارامتر سرعت $$v$$ و جایگذاری مقادیر عددی ضریب گذردهی الکتریکی و مغناطیسی خلأ مقدار سرعت زیر به دست می‌آید:

$$\large \Rightarrow c \equiv v = \frac{ 1 }{ \sqrt{ \mu_{0} \varepsilon_{0}} } \cong 299,792,458 \cong 3 \times 10^{8}\ \ (\frac{ m }{ s })$$
(20)

سرعت به دست آمده در بالا، نهایت سرعتی است که امواج الکترومغناطیسی یا فوتون وابسته به آن‌ها می‌تواند داشته باشد. در فیزیک اغلب سرعت نور را با پارامتر $$c$$ نمایش می‌دهند. رابطه (19) به صورت کلی زیر نیز بیان می‌شود. با توجه به رابطه زیر، سرعت به دست آمده کمتر از سرعت نور ($$3 \times 10^{8}\ (\frac{ m }{ s })$$) می‌شود.

$$\large v = \frac{ 1 }{ \sqrt{ \mu \varepsilon} }$$
(21)

ضریب شکست

دقت داشته باشید که سرعت نور یا امواج الکترومغناطیسی همواره مقدار ثابت به دست آمده در رابطه (20) نیست. بازهم تاکید می‌کنیم که مقدار عددی مذکور، تنها نهایت سرعت ممکن برای امواج الکترومغناطیسی است. به عبارت دیگر، اگر امواج الکترومغناطیسی در محیط خلأ منتشر شوند، سرعتشان برابر با مقدار ($$3 \times 10^{8}\ (\frac{ m }{ s })$$) است. اجازه دهید این مقدار را با پارامتر $$c$$ نمایش دهیم.

فیلم آموزش ریاضی فیزیک ۲ در فرادرس

کلیک کنید

سرعت امواج الکترومغناطیسی در سایر محیط‌های مادی، همواره کمتر از مقدار $$c$$ است. جهت سنجش و بررسی سرعت نور یا امواج الکترومغناطیسی در محیط‌های مادی، پارامتری موسوم به ضریب شکست معرفی می‌‌شود. به بیانی ساده، ضریب شکست که آن را با نماد $$n$$ نمایش می‌دهند، نسبت سرعت نور در خلأ ($$c$$) به سرعت نور در آن محیط ($$v$$) تعریف می‌شود. یعنی:

$$\large n = \frac{ c }{ v } = \frac{ 3 \times 10^{8}\ (\frac{ m }{ s })}{ v\ (\frac{ m }{ s }) }$$
(22)

بنابر تعریف فوق، ضریب شکست خلأ برابر با یک در نظر گرفته می‌شود. چرا که سرعت امواج الکترومغناطیسی در خلأ برابر با مقدار $$c = 3 \times 10^{8}\ (\frac{ m }{ s })$$ است. حال در نظر داریم تا با استفاده از رابطه فوق و رابطه سرعت موج (21)، رابطه دیگری را برای ضریب شکست به دست آوریم. از رابطه (22) نتیجه می‌شود:

$$\large v = \frac{ c }{ n }$$
(23)

حال از رابطه فوق و (21)، می‌توان نسبت سرعت موج در دو محیط با خواص الکترومغناطیسی مختلف را به شکل زیر نوشت:

$$\large \frac{ v_{1} }{ v_{2} } = \frac{ n_{2} }{ n_{1} } = \sqrt{ \frac{ \varepsilon_{2} \mu_{2} }{ \varepsilon_{1} \mu_{1} } }$$
(24)

در صورتی که دو محیط مغناطیسی نباشند، می‌توان ضریب نفوذپذیری (تراوایی) مغناطیسی را برای هر دو آن‌ها $$\mu=\mu_{0}$$ در نظر گرفت. در نتیجه:

$$\large \frac{ v_{1} }{ v_{2} } = \frac{ n_{2} }{ n_{1} } = \sqrt{ \frac{ \varepsilon_{2} }{ \varepsilon_{1} } }$$
(25)

نتیجه جالب توجهی که می‌توان از رابطه فوق گرفت، رسیدن به رابطه‌ای جهت محاسبه ضریب شکست محیط است. در واقع اگر محیط $$n_{1}$$ را خلأ فرض کنیم ($$n_{1} = 1$$)، $$\epsilon_{1}\equiv\epsilon_{0}$$ شده و در نتیجه:

$$\large n = \sqrt{ \frac{ \varepsilon }{ \varepsilon_{0} } }$$
(26)

ضریب شکست بر حسب امپدانس محیط

در مقاله «دی الکتریک -- به زبان ساده» دیدیم که پارامتر گذردهی الکتریکی $$\varepsilon$$ را می‌توانیم به شکل $$\varepsilon = \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}$$ بنویسیم که در آن $$\varepsilon_{r}$$ به ثابت دی‌الکتریک موسوم است. ثابت دی‌الکتریک خود با پذیرفتاری الکتریکی $$\chi_{e}$$ به صورت $$\varepsilon_{r}= 1 + \chi_{e}$$ رابطه دارد. در نتیجه ضریب شکست (عامل تعیین کننده سرعت نور در محیط) در یک محیط دی الکتریک به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large n = \sqrt{ \frac{ \varepsilon }{ \varepsilon_{0} } } = \sqrt{ \frac{ \varepsilon_{0} \varepsilon_{r} }{ \varepsilon_{0} } } = \sqrt{ \varepsilon_{r} } = \sqrt{ 1 + \chi_{e}}$$
(27)

در مقاله «امپدانس ذاتی محیط -- به زبان ساده» دیدیم که ضریب شکست را بر حسب امپدانس موج یا امپدانس محیط نیز می‌توان بیان کرد. امپدانس موج $$\eta$$ در حالت کلی، به صورت نسبت دامنه‌ میدان الکتریکی $$E_{0}$$ به دامنه میدان مغناطیسی $$H_{0}$$ تعریف می‌شود؛ یعنی:

$$\large \eta = \frac{ E_{0} }{ H_{0} } = c \mu = \sqrt{ \frac{ \mu }{ \varepsilon } }$$
(28)

با توجه به تعریف $$\varepsilon = \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}$$ و $$\mu = \mu_{0} \mu_{r}$$، نتیجه می‌شود:

$$\large \eta = \frac{ E_{0} }{ H_{0} } = c \mu = \sqrt{ \frac{ \mu }{ \varepsilon } } = \sqrt{ \frac{ \mu_{0} \mu_{r} }{ \varepsilon_{0} \varepsilon_{r} } } = \sqrt{ \frac{ \mu_{0} }{ \varepsilon_{0} } } \sqrt{ \frac{ \mu_{r} }{ \varepsilon_{r} } } = \eta_{0} \sqrt{ \frac{ \mu_{r} }{ \varepsilon_{r} } } = 377 \sqrt{ \frac{ \mu_{r} }{ \varepsilon_{r} } }$$
(29)

$$\large \Rightarrow \eta = \eta_{0} { \frac{ \sqrt{ \mu_{r} } }{ \sqrt{ \varepsilon_{r} } } } = \eta_{0} \frac{ \sqrt{ \mu_{r} } }{ n }$$
(30)

در صورتی که محیط مغناطیسی نباشد، $$\mu_{r}$$ برابر با یک بوده و رابطه به صورت $$\eta = \frac{ \eta_{0} }{ n }$$ ساده می‌شود.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش نرم افزار COMSOL Multiphysics برای پدیده های الکترومغناطیس
• مایکروویو (Microwave) یا ریز موج -- به زبان ساده
• میزر (Maser) -- به زبان ساده
• FTTH چیست؟ -- از صفر تا صد

^^