تعیین رابطه بین مدول الاستیسیته و مدول برشی با مفاهیم پیچش – راهنمای کاربردی

شکل زیر، المان تنش abcd را نمایش می‌دهد. صفحه جلویی abcd به شکل یک مربع در نظر گرفته می‌شود. طول اضلاع این مربع، h است. در صورت اعمال تنش‌های برشی τ و ایجاد برش خالص در این المان، صفحه جلویی آن به شکل یک لوزی درمی‌آید. پس از این فرآیند، طول اضلاع المان تغییریافته برابر با h و تنش برشی ایجاد شده در آن γ=τ/G خواهد بود. به دلیل ایجاد اعوجاج، طول قطر bd افزایش و طول قطر ac کاهش می‌یابد.

طول قطر bd با حاصل‌ضرب طول اولیه آن در ضریب 1+ε_max برابر است:

L_bd: طول قطر bd المان؛ h: طول اضلاع المان تنش؛ ^0.5(2)*h: طول اولیه قطر bd المان؛ ε_max: تنش نرمال در راستای 45 درجه

با در نظر گرفتن هندسه المان تغییریافته می‌توان رابطه بین کرنش برشی γ و طول قطر bd را تعیین کرد. به این منظور، المان مثلثی abd را مطابق شکل زیر در نظر می‌‌گیریم. این المان، نصفِ المان تغییریافته را نمایش می‌دهد. طول ضلع bd برابر با L_bd و طول دیگر اضلاع برابر با h است. زاویه adb نیز با نصف زاویه adc یا π/4-γ/2 برابری می‌کند. مقدار زاویه abd نیز مشابه زاویه adb خواهد بود.

با توجه به موارد بالا، زاویه dab با π/2+γ برابر بوده و رابطه زیر بین اضلاع المان مثلثی برقرار است:

فیلم آموزش مقاومت‌ مصالح در فرادرس

کلیک کنید

با جایگذاری رابطه L_bd در معادله بالا و ساده‌سازی طرفین معادله، خواهیم داشت:

اگر عبارت سمت چپ معادله بالا را باز کنیم و با توجه به قواعد مثلثاتی، (cos(π/2+γ را برابر با sinγ- قرار دهیم:

از آنجایی که کرنش‌های ε_max و γ بسیار کوچک هستند، می‌توان از عبارت ε²)_max) صرف نظر کرد و γ را به جای sinγ قرار داد. به این ترتیب، معادله بالا به رابطه زیر تبدیل خواهد شد:

^^