متغیرهای تصادفی: میانگین، واریانس و انحراف معیار – به زبان ساده
متغیرهای تصادفی، دسته ای از مقادیر ممکن حاصل از فرآیندهای تصادفی هستند. برای مثال انداختن سکه را در نظر بگیرید. ما میتوانیم شیر یا خط بیاوریم. اگر به هر کدام از این شیر و خط، مقداری اختصاص دهیم، یعنی شیر برابر 0 و خط برابر 1 باشد، در این صورت یک متغیر تصادفی به نام X داریم:
پس:
- ما یک آزمایش داریم (مانند انداختن سکه)
- به هر اتفاق ممکن، یک مقدار میدهیم.
- دسته مقادیر ممکن، یک متغیر تصادفی است.
میانگین، واریانس و انحراف معیار (خطای استاندارد)
هر کدام از شاخصهای فوق نماد خاص خود را دارند:
- μ علامت میانگین X است و همچنین بعنوان مقدار یا ارزش مورد انتظار از آن یاد میشود.
- (Var(x واریانس X است.
- σ علامت انحراف معیار X است.
میانگین یا مقدار مورد انتظار
هنگامی که ما احتمال P را برای هر مقدار x در نظر میگیریم، میتوانیم مقدار مورد انتظار (میانگین) X را به صورت زیر محاسبه کنیم:
μ = Σxp
نکته: Σ علامت «سیگما» است، و معنی آن جمع کردن است.
برای محاسبه کردن مقدار مورد انتظار:
- هر مقدار را در احتمال آن ضرب کنید.
- سپس مقادیر را با هم جمع کنید.
این یک میانگین وزنی (Weighted Mean) است، یعنی مقادیر با احتمال بیشتر، سهم بیشتری در میانگین خواهند داشت.
واریانس
واریانس (Variance) برابر است با:
Var(X) = Σx2p − μ2
برای محاسبه واریانس:
- هر مقدار را به توان دو برسانید و حاصل را در احتمال آن ضرب کنید.
- آنها را با هم جمع کنید. با این کار مقدار Σx2p به دست میآید.
- سپس مربع مقدار مورد انتظار (میانگین) μ2 را از آن تفریق کنید.
انحراف معیار
انحراف معیار (خطای استاندارد)، برابر با جذر واریانس است:
σ=√Var(X)
یک مثال، کارآمد خواهد بود!
شما تصمیم میگیرید که یک فست فود افتتاح کنید، و این آمار را برای فست فود های مشابه یافتهاید:
با استفاده از این اطلاعات بعنوان احتمالات، سود فست فود، مقدار مورد انتظار (میانگین) و انحراف معیار چه قدر است؟
متغیر تصادفی همان X (سود ممکن) است.
مقادیر xp و x2p را بدست آورید:
μ = Σxp = 25
Var(X) = Σx2p − μ2 = 3750 − 252 = 3750 − 625 = 3125
σ = √3125 = 56 (گرد شده)
به یاد داشته باشید که این مقادیر هر کدام باید ضرب در 1000 دلار شوند، پس:
- μ = $25,000
- σ = $56,000
پس درآمد احتمالی شما برابر با 25,000$ خواهد بود؛ اما انحراف معیار آن بسیار بزرگ است. این مثال را بار دیگر بررسی میکنیم، اما این بار از یک احتمال بزرگتر برابر با 50,000$ استفاده میکنیم:
مثال (در ادامه مثال قبلی):
اکنون با احتمالات متفاوت (مثلا احتمال 50,000$ بیشتر از قبل و برابر 0.7 است):
μ = Σxp = 45
Var(X) = Σx2p − μ2 = 4250 − 452 = 4250 − 2025 = 2225
σ = √2225 = 47 (گرد شده)
در هزار دلار:
- μ = $45,000
- σ = $47,000
در این حالت میانگین بسیار به عددی که بالاترین احتمال را دارد، نزدیکتر است و انحراف معیار مقداری کوچکتر است، چون که مقادیر بیشتر به مرکز نزدیکتر هستند.
پیوسته بودن
متغیر های تصادفی میتوانند پیوسته یا گسسته باشند:
- داده های گسسته فقط میتوانند به شکل اعداد مشخصی باشند (مثل 1، 2، 3، 4، 5)
- داده های پیوسته میتواند هر مقداری را در یک محدوده (برد) خاص شامل شود (مانند قد یک شخص)
در این بخش، ما فقط با داده های گسسته سروکار داشتیم و برای یافتن میانگین، واریانس و انحراف معیار داده های پیوسته، به انتگرال نیاز است.
خلاصه
- یک متغیر تصادفی، متغیری است که مقادیر ممکن آن، نتایج عددی یک آزمایش تصادفی است.
- میانگین (مقدار مورد انتظار) برابر است با: μ = Σxp
- واریانس برابر است با: Var(X) = Σx2p − μ2
- انحراف معیار برابر است با جذر واریانس.
اگر این نوشته مورد توجه شما قرار گرفته است، پیشنهاد میکنیم موارد زیر را نیز ملاحظه کنید:
- مجموعه آموزشهای آمار، احتمالات و دادهکاوی
- متغیر تصادفی، تابع احتمال و تابع توزیع احتمال
- مجموعه آموزشهای دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
- متغیر تصادفی و توزیع پواسن — به زبان ساده
- متغیر تصادفی و توزیع برنولی — به زبان ساده
- متغیر تصادفی و توزیع هندسی — به زبان ساده
- متغیر تصادفی و توزیع دو جملهای — به زبان ساده
- متغیر تصادفی و توزیع فوق هندسی — به زبان ساده
==
سلام در مثال دوم داخل جدول حاصل جمع را لطفا 45 کنید
با سلام و وقتبخیر خدمت شما؛
نکته بیان شده صحیح است و اصلاحات لازم در متن اعمال شد.
از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
میانگین آماری دو متغیر تصادفی که ناهمبسته هستند و در هم تقسیم میشوند چطور به دست میآید
سلام ببخشید اگر داده ها دو برابر شن.واریانس ومیانگین چتغییری میکنن؟ رابطه میانگین و واریانس چیه؟
سلام میشه لطف کنید تفاوت انحراف متوسط با انحراف معیار را توضیح بدید سپاسگزارم
سلام فرادرسی عزیز؛
انحراف معیار و میانگین قدر مطلق انحراف دو شاخص برای اندازهگیری پراکندگی هستند. در مطلب واریانس و اندازههای پراکندگی — به زبان ساده نحوه محاسبه و تفاوت هر یک از شاخصهای پراکندگی به طور مفصل مورد بحث قرار گفته است. با خواندن آنها میتوانید این شاخصها را بهتر شناخته و به کار برید.
تندرست، پیروز و پایدار باشید.
واریانس میشه 3125000 پس انحراف معیار میشه رادیکال این مقدار که میشه 1767.77
لطفا اصلاح شود….
با عرض سلام و تشکر از تذکر شما دوست عزیز…. به نظر می رسد اشکالی در محاسبات شما وجود دارد. اگر توجه کنید، مقدارهایی که در مثال ها موجود است در حدود 50- تا 150 است. در نتیجه دامنه تغییرات (فاصله بین حداکثر مقادیر با حداقل آنها) برابر با ۲۰۰ است. با توجه به اینکه دامنه تغییرات حداکثر میزان پراکندگی را نشان می دهد، معیارهای دیگر پراکندگی مثل انحراف استاندارد باید کمتر از دامنه تغییرات باشند. البته از انجایی که در واریانس از مربع مقادیر استفاده شده این قاعده حاکم نیست به همین علت همه از واریانس جذر و آن را انحراف استاندارد می نامیم… به هر حال محاسبات صورت گرفته در مثال ها کاملا صحیح است. همچنین برای درک بهتر معیارهای پراکندگی بهتر است مطلب واریانس و اندازههای پراکندگی — به زبان ساده را نیز مطالعه نمایید.
باز هم از راهنمایی ارزشمندتان تشکر می کنم و امیدوارم که نظرات شما را در مورد مطالب دیگر نیز شاهد باشیم.