آمار 9534 بازدید

متغیرهای تصادفی، دسته ای از مقادیر ممکن حاصل از فرآیندهای تصادفی هستند. برای مثال انداختن سکه را در نظر بگیرید. ما می‌توانیم شیر یا خط بیاوریم. اگر به هر کدام از این شیر و خط، مقداری اختصاص دهیم، یعنی شیر برابر 0 و خط برابر 1 باشد، در این صورت  یک متغیر تصادفی به نام X داریم:

پس:

  • ما یک آزمایش داریم (مانند انداختن سکه)
  • به هر اتفاق ممکن، یک مقدار می‌دهیم.
  • دسته مقادیر ممکن، یک متغیر تصادفی است.

میانگین، واریانس و انحراف معیار (خطای استاندارد)

هر کدام از شاخص‌های فوق  نماد خاص خود را دارند:

  • μ علامت میانگین X است و همچنین بعنوان مقدار یا ارزش مورد انتظار از آن یاد می‌شود.
  • (Var(x واریانس X است.
  • σ علامت انحراف معیار X است.

میانگین یا مقدار مورد انتظار

هنگامی که ما احتمال P را برای هر مقدار x در نظر می‌گیریم، می‌توانیم مقدار مورد انتظار (میانگین) X را به صورت زیر محاسبه کنیم:

μ = Σxp

نکته: Σ علامت «سیگما» است، و معنی آن جمع کردن است.

برای محاسبه کردن مقدار مورد انتظار:

  • هر مقدار را در احتمال آن ضرب کنید.
  • سپس مقادیر را با هم جمع کنید.

این یک میانگین وزنی (Weighted Mean) است، یعنی مقادیر با احتمال بیشتر، سهم بیشتری در میانگین خواهند داشت.

واریانس

واریانس (Variance) برابر است با:

Var(X) = Σx2p − μ2

برای محاسبه واریانس:

  • هر مقدار را به توان دو برسانید و حاصل را در احتمال آن ضرب کنید.
  • آنها را با هم جمع کنید. با این کار مقدار Σx2p به دست می‌آید.
  • سپس مربع مقدار مورد انتظار (میانگین) μ2 را از آن تفریق کنید.

انحراف معیار

انحراف معیار (خطای استاندارد)، برابر با جذر واریانس است:

σ=√Var(X)

یک مثال، کارآمد خواهد بود!

شما تصمیم می‌گیرید که یک فست فود افتتاح کنید، و این آمار را برای فست فود های مشابه یافته‌اید:

جدول-1

با استفاده از این اطلاعات بعنوان احتمالات، سود فست فود، مقدار مورد انتظار (میانگین) و انحراف معیار چه قدر است؟

متغیر تصادفی همان X (سود ممکن) است.

مقادیر xp و x2p را بدست آورید:

جدول-2

μ = Σxp = 25

Var(X) = Σx2p − μ2 = 3750 − 252 = 3750 − 625 = 3125

σ = √3125 = 56 (گرد شده)

به یاد داشته باشید که این مقادیر هر کدام باید ضرب در 1000 دلار شوند، پس:

  • μ = $25,000
  • σ = $56,000

پس درآمد احتمالی شما برابر با 25,000$ خواهد بود؛ اما انحراف معیار آن بسیار بزرگ است. این مثال را بار دیگر بررسی می‌کنیم، اما این بار از یک احتمال بزرگتر برابر با 50,000$ استفاده می‌کنیم:

مثال (در ادامه مثال قبلی):

اکنون با احتمالات متفاوت (مثلا احتمال 50,000$ بیشتر از قبل و برابر 0.7 است):

جدول-3

μ = Σxp = 45

Var(X) = Σx2p − μ2 = 4250 − 452 = 4250 − 2025 = 2225

σ = √2225 = 47 (گرد شده)

در هزار دلار:

  • μ = $45,000
  • σ = $47,000

در این حالت میانگین بسیار به عددی که بالاترین احتمال را دارد، نزدیک‌تر است و انحراف معیار مقداری کوچکتر است، چون که مقادیر بیشتر به مرکز نزدیک‌تر هستند.

پیوسته بودن

متغیر های تصادفی می‌توانند پیوسته یا گسسته باشند:

  • داده های گسسته فقط می‌توانند به شکل اعداد مشخصی باشند (مثل 1، 2، 3، 4، 5)
  • داده های پیوسته می‌تواند هر مقداری را در یک محدوده (برد) خاص شامل شود (مانند قد یک شخص)

در این بخش، ما فقط با داده های گسسته سروکار داشتیم و برای یافتن میانگین، واریانس و انحراف معیار داده های پیوسته، به انتگرال نیاز است.

خلاصه

  • یک متغیر تصادفی، متغیری است که مقادیر ممکن آن، نتایج عددی یک آزمایش تصادفی است.
  • میانگین (مقدار مورد انتظار) برابر است با: μ = Σxp
  • واریانس برابر است با: Var(X) = Σx2p − μ2
  • انحراف معیار برابر است با جذر واریانس.

اگر این نوشته مورد توجه شما قرار گرفته است، پیشنهاد می‌کنیم موارد زیر را نیز ملاحظه کنید:

==

telegram
twitter

بر اساس رای 13 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

2 نظر در “متغیرهای تصادفی: میانگین، واریانس و انحراف معیار – به زبان ساده

  1. واریانس میشه ۳۱۲۵۰۰۰ پس انحراف معیار میشه رادیکال این مقدار که میشه ۱۷۶۷.۷۷
    لطفا اصلاح شود….

    1. با عرض سلام و تشکر از تذکر شما دوست عزیز…. به نظر می رسد اشکالی در محاسبات شما وجود دارد. اگر توجه کنید، مقدارهایی که در مثال ها موجود است در حدود ۵۰- تا ۱۵۰ است. در نتیجه دامنه تغییرات (فاصله بین حداکثر مقادیر با حداقل آن‌ها) برابر با ۲۰۰ است. با توجه به اینکه دامنه تغییرات حداکثر میزان پراکندگی را نشان می دهد، معیارهای دیگر پراکندگی مثل انحراف استاندارد باید کمتر از دامنه تغییرات باشند. البته از انجایی که در واریانس از مربع مقادیر استفاده شده این قاعده حاکم نیست به همین علت همه از واریانس جذر و آن را انحراف استاندارد می نامیم… به هر حال محاسبات صورت گرفته در مثال ها کاملا صحیح است. همچنین برای درک بهتر معیارهای پراکندگی بهتر است مطلب واریانس و اندازه‌های پراکندگی — به زبان ساده را نیز مطالعه نمایید.

      باز هم از راهنمایی ارزشمندتان تشکر می کنم و امیدوارم که نظرات شما را در مورد مطالب دیگر نیز شاهد باشیم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *