آزمون میانگین نمونه تکی در SPSS — راهنمای کاربردی

نرم‌افزارهای آماری مانند SPSS، وظیفه انجام محاسبات مربوط به فرمول‌ها را به خوبی انجام می‌دهند. شاید در نگاه اول به فرمول‌های آماری، از شیوه بدست آوردن آن‌ها به خوبی مطلع نباشیم ولی از آنجایی که مطمئن هستیم این گونه نرم‌افزارها به درستی عملیات محاسباتی را اجرا می‌کنند، به نتایج حاصل اطمینان خواهیم داشت. در این نوشتار به بررسی نحوه اجرای آزمون میانگین نمونه‌ تکی در SPSS می‌پردازیم که یکی از آزمون‌های آماری است. اگر مجموعه داده، دارای مشاهدات زیادی باشد، بدون استفاده از نرم‌افزارهای محاسبات آماری، انجام چنین آزمونی امکان پذیر نیست.

از آنجایی که در مورد مبحث آزمون فرض صحبت می‌کنیم، بهتر است پیش‌نیازهای مربوط به آن را که در مطلب آزمون فرض میانگین جامعه در آمار — به زبان ساده و مقدار احتمال (p-Value) — معیاری ساده برای انجام آزمون فرض آماری گفته شده، مطالعه کنید. همچنین خواندن آزمون های فرض و استنباط آماری — مفاهیم و اصطلاحات خالی از لطف نیست.

آزمون میانگین نمونه‌ تکی در SPSS

در این نوشتار به بررسی آزمون میانگین نمونه‌ تکی خواهیم پرداخت بنابراین با یک نمونه از جامعه آماری سروکار خواهیم داشت. قرار است براساس این نمونه در مورد میانگین جامعه قضاوت انجام گیرد. فرض کنید به عنوان یک تحلیل‌گر داده (Data Scientist)، با یک جامعه‌ آماری مواجه شده‌اید که میانگین آن مشخص نیست و می‌خواهید در مورد این میانگین، تحقیق و بررسی انجام دهید و به یک تصمیم برسید.

فیلم آموزش آزمون های فرض میانگین جامعه در اس پی اس اس SPSS در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال در نظر بگیرید که در یک کارخانه تولیدی لبنیات، شکایاتی مبنی بر کم بودن وزن بسته‌های پنیر دریافت شده است. مسئولین برای آنکه مشخص کنند آیا شکایات معتبر یا بی‌دلیل هستند دست به نمونه‌گیری زده‌اند و براساس اطلاعاتی که از وزن بسته‌های پنیر در نمونه وجود دارد، می‌خواهند به این تصمیم آماری برسند که آیا دستگاه‌ها احتیاج به تنظیم دارند یا شکایات بی‌مورد هستند.

برای رسیدن به این تصمیم از آزمون آماری میانگین نمونه تکی استفاده می‌شود. البته از آنجایی که جامعه بزرگ و حجم نمونه نیز متناسب گرفته شده، می‌توان شکل پراکندگی داده‌ها و جامعه را مطابق با توزیع نرمال در نظر گرفت.

پیش‌نیازهای ضروری برای آزمون میانگین نمونه تکی (One Sample T Test)

قبل از هر چیز باید از شرایط و فرضیاتی که آزمون میانگین نمونه تکی باید داشته باشد مطلع باشیم. در زیر فهرستی از این فرضیات دیده می‌شود:

• داده‌ها کمی (عددی) هستند.
• توزیع جامعه آماری نرمال است.
• واریانس جامعه آماری ثابت ولی نامعلوم است. این پارامتر باید توسط مشاهدات نمونه‌ای محاسبه یا برآورد شود.

نکته: اگر حجم نمونه کم (حدود ۳۰) و میزان چولگی، کم باشد، باز هم می‌توان از آزمون میانگین نمونه‌ تکی برای قضاوت در مورد میانگین جامعه استفاده کرد.

فرض‌ها و آماره آزمون

در انجام آزمون میانگین نمونه‌ تکی، فرض‌های صفر و مقابل به صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند:

$$\large \begin{cases} H_0: \mu =\mu_0 \\ \large H_1: \mu \neq \mu_0\\ \end{cases}$$

مقدار $$\mu_0$$ همان مقداری است که به نظر می‌رسد باید میانگین جامعه آماری داشته باشد. حتی می‌توان آن را به عنوان حدس اولیه برای میانگین جامعه در نظر گرفت. مشخص است که در فرض مقابل یا $$H_1$$ این تصور به چالش کشیده شده است. آماره آزمون، در ادامه معرفی شده و دارای توزیع t student است.

$$\large T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$$

نکته: در نرم‌افزار SPSS فرضیات، به صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند. ولی به هر حال نتیجه حاصل، در هر دو حالت یکسان خواهد بود.

$$\large \begin{cases} H_0: \mu-\mu_0=0 \\ \large H_1: \mu- \mu_0\neq 0\\ \end{cases}$$

با توجه به خصوصیاتی که مقدار احتمال (p-value) دارد، اگر نتیجه آن برای آزمون کمتر از احتمال خطای نوع اول ($$\alpha$$) یا همان سطح خطای آزمون شود، فرض صفر را رد خواهیم کرد.

شیوه اجرای آزمون میانگین نمونه تکی در SPSS

برای اجرای این آزمون طبق معمول از فهرست Analysis شروع می‌کنیم سپس گزینه Compare Means و دستور One Sample T-test را انتخاب کرده و پارامترهای آزمون را مطابق تصویرهای زیر تنظیم خواهیم کرد.

در تصویر زیر هر یک از پارامترهای مربوط به این آزمون، معرفی شده‌اند. توجه داشته باشید که متغیرهایی که در قسمت (Test Variable(s قرار می‌دهید، مقدارهای عددی یا متغیر کمی باشند.

در خروجی این آزمون، یک فاصله اطمینان برای اختلاف میانگین جامعه از $$\mu_0$$ نیز ایجاد می‌شود. سطح اطمینان برای این فاصله اطمینان را با انتخاب دکمه Options می‌توان تعیین کرد.

همینطور اگر چندین متغیر را در بخش متغیرهای آزمون قرار داده‌اید، با انتخاب گزینه‌ Exclude cases analysis by analysis مشخص می‌کنید که داده‌های گمشده (Missing Values) در هر تحلیل جداگانه در نظر گرفته شود. برای مثال اگر برای متغیر اول،‌ مشاهده سوم و برای متغیر دوم، مشاهده پنجم دارای مقدار گمشده است، هنگام اجرای آزمون برای متغیر اول، مشاهده سوم و برای آزمون میانگین متغیر دوم،‌ مشاهده پنجم در نظر گرفته نخواهد شد. ولی با انتخاب Exclude cases listwise فقط مشاهداتی در انجام همه آزمون‌ها به کار می‌روند که مقدار گمشده در هیچ یک از آن‌ها وجود ندارد. بنابراین با انتخاب این گزینه، مشاهده سوم و پنجم در تحلیل به کار نخواهند رفت.

همچنین برای اطلاع از روش بوت استرپ (Bootstap) بهتر است مطلب جک نایف و بوت استرپ (Jackknife and Bootstrap) روش های بازنمونه‌ گیری — به زبان ساده را مطالعه کنید.

مثال 1

فرض کنید اطلاعات مربوط به وزن ۲۰ بسته 750 گرمی پنیر تولیدی در یک کارخانه در اختیار شما قرار گرفته است. باید قضاوت کنید که آیا این نمونه در مورد شکایت مشتریان مبنی بر کم بودن وزن بسته‌ها دلیل خوبی است یا شکایت‌ها بی‌مورد هستند؟ این اطلاعات را در SPSS مطابق تصویر زیر وارد کرده‌ایم. فایل اطلاعاتی این داده‌ها را با قالب فشرده از اینجا دریافت کنید.

برای آنکه مشخص شود توزیع این داده‌ها شبیه نرمال هستند، از یک «بافت‌نگار فراوانی» (Histogram) استفاده می‌کنیم. برای ترسیم آن از فهرست Analysis گزینه frequency را انتخاب و در پنجره ظاهر شده تنظیمات را مطابق با تصویرهای زیر پیاده می‌کنیم.

نکته: از آنجایی که احتیاجی به مشاهده جدول فراوانی وجود ندارد، گزینه display frequency tables را از حالت انتخاب خارج کرده‌ایم.

خروجی به صورت زیر در خواهد آمد. همانطور که دیده می‌شود، بافت‌نگار شبیه توزیع نرمال است. پس پیش‌نیازهای مربوط به آزمون میانگین نمونه تکی وجود دارد.

حال مراحل دسترسی به آزمون میانگین نمونه تکی را طی کرده و پارامترها را مطابق تصویر زیر در پنجره مربوط به آزمون تنظیم می‌کنیم.

با فشردن دکمه OK محاسبات صورت گرفته و خروجی مطابق با جدول زیر ظاهر خواهد شد.

در جدول اول با عنوان One-Sample Statistics، میانگین نمونه برابر با 750.1645 گرم و با انحراف استاندارد  9.64228 گرم است. خطای استاندارد میانگین نیز برابر با 2.15608 گرم محاسبه شده است. در جدول دوم، آزمون آماری مطابق با فرض صفر و فرض مقابل که پیش‌تر گفته شد، انجام شده است. مقدار آمار آزمون 0.076 و درجه آزادی نیز 19 بدست آمده است. با توجه به بزرگ بودن مقدار احتمال (p-Value) که در SPSS با Sig نمایش داده می‌شود و مقایسه آن با احتمال خطای نوع اول دلخواه $$\alpha$$ (که معمولا آن را 0.05 در نظر می‌گیریم) متوجه می‌شویم که ادعا مشتریان نادرست است زیرا 0.940 بزرگتر از 0.05 است. در نتیجه این نمونه دلیلی بر رد فرض صفر ارائه نکرده است و نمی‌توان فرض صفر را رد کرد.

مثال ۲

فرض کنید دو نوع محصول A و B در بسته‌های 750 گرمی تولید می‌شوند. می‌خواهیم برای هر دو این محصولات آزمون کنیم که متوسط وزن بسته‌ها همان 750 گرم است. ولی بنا به دلایلی (مثلا باز بودن بسته بندی و خارج شدن محتویات از بسته‌ها) در هر دو نمونه یک مقدار گمشده وجود دارد. فایل فشرده مربوط به این مثال را از اینجا دریافت کنید. همان مراحل مربوط به مثال ۱ را پی می‌گیریم تا پیش‌فرض‌های مربوط به آزمون میانگین نمونه تکی بررسی شود.

حال آزمون را با دو وضعیت برای داده‌های گمشده اجرا می‌کنیم. در حالت اول گزینه Exclude cases analysis by analysis را در بخش option فعال کرده و نتایج آزمون را مشاهده می‌کنیم.

از آنجایی که هر کدام از متغیرها یا ستون‌ها دارای یک مشاهده گمشده بودند، تعداد در جدول اول برابر با ۱۹ ثبت شده است. همچنین در جدول دومی، همانطور که Sig‌ نشان می‌دهد، فرض صفر در سطح خطای 0.05، توسط این نمونه‌ها رد نخواهد شد و به نظر می‌رسد میانگین وزن بسته‌ها همان ۷۵۰ گرم ادعای کارخانه است.

فیلم آموزش آنالیز واریانس با اس پی اس اس SPSS در فرادرس

کلیک کنید

اگر لازم باشد که هر دوی مشاهدات گمشده در متغیرها لحاظ نشوند، کافی است که گزینه Exclude cases listwise را از بخش options انتخاب و آزمون را اجرا کنید. خروجی در این حالت به صورت زیر در خواهد آمد. مشخص است که در جدول اول، تعداد مربوط به هر دو گروه ۱۸ خواهد بود و درجه آزادی (df) مربوط به آماره آزمون هم ۱۷ محاسبه می‌شود.

نکته: به تغییر مقدار میانگین هر دو متغیر توجه کنید. از آنجایی که تعداد مشاهدات متفاوت است، میانگین نیز تغییر کرده است. همانطور که دیده می‌شود در این کارخانه وزن بسته‌های محصول B کمتر از ۷۵۰ گرم است زیرا مقدار Sig در سطر دوم با احتساب داده‌های گمشده برای هر دو گروه کمتر از 0.05 است. بنابراین فرض صفر رد می شود یعنی میانگین بسته‌های محصول B مخالف ۷۵۰ گرم است. از طرف دیگر چون فاصله اطمینان شامل ناحیه منفی است مشخص می شود که تفاضل میانگین وزن بسته‌ها از ۷۵۰ گرم دد ۹۵٪ مواقع کمتر از صفر است. به این ترتیب مشخص است که وزن بسته‌ها کمتر از ۷۵۰ گرم است و دستگاه‌های مربوط به بسته‌بندی باید تعمیر و تنظیم شوند.

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است و به یادگیری مباحث مشابه آن علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های SPSS
• آموزش آمار و احتمال مهندسی
• مجموعه آموزش‌های آمار، احتمالات و داده‌کاوی
• آزمایش تصادفی، پیشامد و تابع احتمال
• مجموعه آموزش‌های نرم‌افزارهای آماری
• آموزش آزمون های فرض مربوط به میانگین جامعه نرمال در SPSS
• آموزش آزمون آماری و پی مقدار (p-value)
• جامعه آماری — انواع داده و مقیاس‌های آن‌ها
•  تحلیل‌ها و آزمون‌های آماری — مفاهیم و اصطلاحات

^^