آمار, ریاضی 1539 بازدید

هرچند «مارتینگل» (Martingale) به معنی افسار اسب است ولی در ابتدای قرن ۱۸ در فرانسه، عبارت مارتینگل به استراتژی‌هایی گفته می‌شد که در شرط‌بندی‌ به کار می‌رفتند. یکی از ساده‌ترین مارتینگل‌ها، در بازی پرتاب سکه به کار می‌رفت. به این صورت که فرد بر سر این‌که نتیجه پرتاب سکه شیر یا خط است شرط‌بندی می‌کرد. اگر نتیجه پرتاب سکه شیر بود، مبلغ شرط‌بندی به او برگشت داده می‌شد ولی با مشاهده خط شرط را می‌باخت و مبلغی به او برنمی‌گشت.

در این بازی با باخت فرد مبلغ شرط‌بندی در دور بعدی دوبرابر می‌شد. به این ترتیب اگر او در مرحله دوم شرط را می‌برد، هزینه‌ای که در مرحله اول باخته بود به او برمی‌گشت؛ به این ترتیب شرط‌بندی یک بازی منصفانه تلقی می‌شد زیرا امکان بازگشت سرمایه‌گذاری قمارباز وجود داشت.

تاریخچه مارتینگل در تئوری احتمال

مفهوم مارتینگل در نظریه احتمال اولین بار توسط «لوی» (Paul Lèvy) در سال ۱۹۳۴ معرفی شد هر چند این مفهوم در سال 1939 توسط «ویل» (Ville) به نام مارتینگل به کار رفت. تئوری مارتینگل بعدها توسط «دوب» (Joseph Doob) توسعه یافت. امروزه مارتینگل در تحلیل بازارهای مالی و بورس نقش حساسی دارد و پیش‌بینی الگوهای مالی به کمک مارتینگل و اقسام مختلف آن کاربرد زیادی دارد.

مفهوم و تعریف مارتینگل

در تئوری احتمال،‌ مارتینگل یک دنباله از متغیرهای تصادفی (فرآیند تصادفی) است که در هر بخش از زمان، میانگین مقدار متغیر تصادفی برای زمان بعدی در دنباله برابر با مقدار متغیر تصادفی در حال حاضر است، به شرطی که همه مقدارهای قبلی متغیر تصادفی مشخص باشند.

اگر $$X_1,X_2,\ldots$$ دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی باشند،‌ آنگاه برای هر زمان دلخواه مثل n دو شرط زیر برای مارتینگل برقرار است:

1. $$E(|X_n|)<\infty$$

این قید نشان می‌دهد که امید-ریاضی برای متغیر تصادفی X وجود دارد.

2. $$E(X_{n+1}|X_1,X_2,\ldots,X_n)=X_n$$

منظور از $$E(X|Y)$$ امید-ریاضی شرطی است. پس مشخص است که متوسط متغیر تصادفی در زمان n+1 با آگاهی از مقدارش در مراحل قبلی یعنی $$(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$ ‌با مقدار در زمان حاضر (n) برابر است.

در نتیجه اگر تعریف‌های ۱ و ۲ (که در بالا به آنها اشاره شد) را با بازی شرط‌بندی مقایسه کنیم، خواهیم داشت:

  1. مبلغ سود یا زیان در بازی شرط‌بندی متناهی است.
  2. متوسط مبلغ سود یا زیان بازی در زمان n+1‌ با توجه به مبلغ‌های شرط‌بندی شده قبلی برابر است با سود یا زیان مرحله قبل.

در نتیجه چنین بازی منصفانه است.

مثال 1

فرض کنید دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی  $$U_1,U_2,\ldots$$ مستقل با میانگین صفر داشته باشیم. مجموع این متغیرهای تصادفی یک مارتینگل محسوب می‌شود. زیرا:

اگر $$X_n=\sum_{i=1}^n U_i$$ باشد، آنگاه مشخص است که

$$E(|X_n|)=E(|\sum_{i=1}^n U_i|)\leq \sum E(|U_i|)<\infty$$

زیرا امید-ریاضی برای U‌ها موجود است. حال برای نشان دادن برقراری رابطه ۲ داریم:

$$E(X_{n+1}|X_1,X_2,\ldots,X_n)=E(\sum_{i=1}^{n+1} U_i|U_1,U_2,\ldots,U_n)=E(X_n+U_{n+1}|U_1,U_2,\ldots,U_n)$$

از آنجایی که آگاهی از $$U_1,U_2,\ldots,U_n$$ در قسمت امید-ریاضی شرطی همان آگاهی از $$X_n$$ است در نتیجه رابطه ساده‌تر می‌شود.

$$E(X_{n+1}|X_1,X_2,\ldots,X_n)=X_n+E(U_{n+1}|U_1,U_2,\ldots,U_n)$$

از آنجایی که $$U_i$$‌ها مستقل هستند امید-ریاضی شرطی برداشته شده و تنها امید-ریاضی باقی خواهد ماند.

$$E(X_{n+1}|X_1,X_2,\ldots,X_n)=X_n+E(U_{n+1})=X_n+0=X_n$$

تساوی آخر با توجه به این که امید-ریاضی متغیر تصادفی U برابر با صفر است، نوشته شده.

مثال 2

به عنوان استراتژی بازی پرتاب سکه، اگر شانس مشاهده شیر یا خط برابر با $$\frac{۱}{۲}$$ باشد، آنگاه بازی عادلانه است. به این معنی که میزان برد یا باخت‌ها، یک مارتینگل را تشکیل می‌دهد.

طبق مثال قبل با فرض اینکه نتایج پرتاب سکه مستقل از هم باشند، اگر متغیر تصادفی $$U_i$$ را میزان دریافت از بازی در مرحله iام در نظر بگیریم، مقدار ۱ را با احتمال $$p$$ و مقدار ۱- را با احتمال $$(1-p)$$ خواهد داشت.

از آنجایی که نتایج پرتاب‌های سکه مستقل از یکدیگر هستند باید صفر بودن امید-ریاضی برای Uها چک شود. براین اساس اگر $$p=\frac{1}{2}$$ باشد بازی منصفانه است.

زیرا:

$$X_n=\sum_{i=1}^nU_i$$

پس $$X_n$$ درآمد فرد از بازی در مرحله nام خواهد بود که مجموع U‌ها است.

از طرفی، امید-ریاضی برای U برابر خواهد بود با:

$$E(U)=p\times 1+(1-p)\times(-1)=2p-1$$

برای اینکه شرایط مثال قبل وجود داشته باشد، باید این امید-ریاضی برابر با صفر باشد. در نتیجه $$p=\frac{1}{2}$$ خواهد بود.

نکته: اگر $$X_1,X_2,\ldots$$ یک مارتینگل باشد، خواهیم داشت:

$$E(X_1)=E(X_2)=\ldots=E(X_n)=\ldots$$

شکل‌های دیگر از مارتینگل

بسته به اینکه شرط دوم مارتینگل به صورت بزرگتر یا کوچکتر نوشته شود، «زبَرمارتینگل» (Super-Martingale) و یا «زیرمارتینگل» (Sub-Martingale) بوجود می‌آیند.

زبَرمارتینگل

در این حالت شرط ۲ برای مارتینگل به صورت زیر درخواهد آمد.

$$E(X_{n+1}|X_1,X_2,\ldots,X_n)\leq X_n$$

اگر بازی شرط‌بندی با استراتژی زبَرمارتینگل انجام شود، مثل این خواهد بود که بازی شرط‌بندی به ضرر بازی‌کن است. زیرا متوسط درآمدش از بازی کمتر از سرمایه‌ای است که در آن صرف کرده.

از خصوصیات زبَرمارتینگل  می‌توان به رابطه زیر اشاره کرد:

$$E(X_1)\geq E(X_2)\geq \ldots\geq E(X_n)\ldots$$

این نامساوی‌ نشان می‌دهد که متوسط متغیرهای تصادفی با افزایش زمان افزایش می‌یابد. یعنی بازی‌کن برای آنکه در بازی باقی بماند باید به طور متوسط پول بیشتری در آن شرط‌بندی کند.

زیرمارتینگل

در این حالت شرط ۲ برای مارتینگل به صورت زیر درخواهد آمد.

$$E(X_{n+1}|X_1,X_2,\ldots,X_n)\geq X_n$$

با شرکت در بازی با استراتژی زیرمارتینگل، بازی‌کن نفع می‌برد. زیرا متوسط درآمدش از بازی بیشتر از سرمایه‌ای است که در آن صرف کرده.

در زیرمارتینگل داریم

$$E(X_1)\leq E(X_2)leq \ldots\leq E(X_n)\ldots$$

این نامساوی‌ نشان می‌دهد که متوسط متغیرهای تصادفی با افزایش زمان کاهش می‌یابد. یعنی بازی‌کن با باقی‌ماندن در بازی به طور متوسط پول کمتری در آن شرط‌بندی می‌کند.

مثال 3

اگر براساس مثال 2 عمل کرده باشیم، در صورتی که $$p\leq\frac{1}{2}$$ بازی به ضرر فرد (ابرمارتینگل) و با $$p\geq\frac{1}{2}$$ بازی به سود فرد (زیرمارتینگل) خواهد بود.

مثال 4

فرض کنید، $$X_1,X_2,\ldots$$ یک مارتینگل باشد. آنگاه $$X_1^2,X_2^2,\ldots$$ یک زیرمارتینگل است. زیرا براساس نامساوی جنسن می‌دانیم:

$$E(X^2)\geq E^2(X)$$

با استفاده از همین خاصیت برای دنباله‌ $$X_1^2,X_2^2,\ldots$$ داریم:

$$E(X_{n+1}^2|X_1^2,X_2^2,\ldots,X_n^2)\leq E^2(X_{n+1}^|X_1,X_2,\ldots,X_n)=X_n^۲$$

زیرا اطلاع از $$X_1^2,X_2^2,\ldots,X_n^2$$ به معنی اطلاع از $$X_1,X_2,\ldots,X_n$$ است.

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است، احتمالاً آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز برایتان کاربردی خواهند بود.

^^

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *