روش المان محدود (Finite Element Method) — مبانی و کاربردها

«روش المان محدود» (Finite Element Method) یا اصطلاحاً «FEM»، یک روش عددی برای حل مسائل موجود در حوزه‌های مهندسی و ریاضی فیزیک است. این روش در مسائلی نظیر تحلیل سازه‌ها، انتقال حرارت، دینامیک سیالات، انتقال جرم و پتانسیل الکترومغناطیسی کاربرد دارد. برای حل این گونه مسائل از طریق روش‌های تحلیلی (فرم بسته)، باید جواب چندین مسئله مقدار مرزی را برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دست آورد. شما می‌توانید با استفاده از مجموعه آموزش المان محدود – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس، نحوه استفاده کاربردی از روش المان محدود را به راحتی و به شکل اصولی یاد بگیرید.

روش المان حدی مسئله مورد نظر را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می‌کند. این روش، مقادیر تخمینی پارامترهای مجهول را برای تعدادی از نقاط مجزا در محدوده تعریف مسئله به دست می‌آورد. راه حل روش المان محدود، تقسیم مسائل بزرگ به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تری به نام «المان‌های محدود» (Finite Elements) است. در مرحله بعد، معادلات ساده‌ای که معرف این المان‌های محدود هستند، در یک دستگاه معادلات بزرگ‌تر در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و فرم کلی مسئله اصلی را تشکیل می‌دهند. انجام مطالعه یا تحلیل بر روی یک پدیده با استفاده از FEM، با عنوان «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) شناخته می‌شود.

تاریخچه روش المان حدی

معرفی زمان دقیق پیدایش روش المان حدی کار ساده‌ای نیست. با این حال می‌توان عنوان کرد که شروع این روش به یافتن راه حل برای مسائل مربوط به تحلیل‌های پیچیده سازه و الاستیسیته در مهندسی عمران و هوافضا بازمی‌گردد. تحقیقات «الکساندر هرنیکوف» (Alexander Hrennikoff) و «ریچارد کورانت» (Richard Courant) در اوایل دهه 1940 میلادی، جز اولین تلاش‌های صورت گرفته برای توسعه روش المان حدی به حساب می‌آیند. در اتحاد جماهیر شوروی، شروع به کارگیری روش المان حدی در مسائل عملی در اغلب منابع به «لئونارد هوهانسیان» (Leonard Oganesyan) نسبت داده می‌شود.

فیلم آموزش تحلیل المان محدود کاربردی با متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

در اواخر دهه 1950 تا اوایل دهه 1960، «کانگ فنگ» (Kang Feng)، ریاضیدان و دانشمند چینی، یک روش عددی سیستماتیک را برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پیشنهاد کرد. این روش که با عنوان روش تفاضل محدود بر اساس اصل واریانس شناخته می‌شود، در آن زمان یک نوآوری جدید به حساب می‌آمد. رویکردهای مورد استفاده توسط این محققین با هم متفاوت بود اما یک ویژگی مشترک در تمام آن‌ها وجود داشت. تمام این روش‌ها برای حل مسئله، یک محدوده پیوسته را به مجموعه‌ای از محدوده‌های کوچک‌تر تقسیم می‌کردند که به آن‌ها «المان» (Element) گفته می‌شد.

روش ارائه شده توسط هرنیکوف، محدوده مسئله را با استفاده از مفهوم شبکه تقسیم‌بندی می‌کند؛ در حالی که تقسیم‌بندی محدوده در رویکرد کورانت توسط زیرمجموعه‌های مثلثی محدود صورت می‌گیرد و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به دست آمده از مسئله پیچش یک سیلندر حل می‌شوند. مشارکت کورانت در این زمینه باعث بهبود نتایج مطالعات پیشین شد.

تمایل به استفاده از روش المان محدود در دهه 1960 و 1970 اوج گرفت. در سال 1973، «گیلبرت استرنگ» (Gilbert Strang) و «جورج فیکس» (George Fix)، یک مبنای ریاضی دقیق برای این روش ارائه دادند. پس از این مطالعه، روش المان محدود برای مدل‌سازی عددی سیستم‌های فیزیکی تعمیم داده شد و در محدوده گسترده‌ای از مسائل مهندسی نظیر الکترومغناطیس، انتقال حرارت، دینامیک سیالات و بسیاری از مسائل دیگر مورد استفاده قرار گرفت.

مفاهیم اساسی روش المان محدود

همان‌گونه که اشاره شد، محدوده مسئله مورد تحلیل با روش المان محدود، به بخش‌های کوچک‌تر و ساده‌تر تقسیم می‌شود. این تقسیم‌بندی دارای چندین مزیت است:

• نمایش دقیق هندسه‌های پیچیده
• در نظر گرفتن خصوصیات متفاوت ماده
• نمایش ساده راه حل کلی
• تشخیص تغییرات محلی

فرآیند کلی حل مسئله در روش المان محدود دارای دو مرحله است. در ابتدا، محدوده مسئله به مجموعه‌ای از محدوده‌های کوچک‌تر تقسیم می‌شود. هر یک از این محدوده‌های کوچک بیانگر یک دستگاه معادلات مختص به هر یک از المان‌ها هستند. در ادامه، تمام این دستگاه‌ها به منظور انجام محاسبات نهایی در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند. این دستگاه معادلات کلی را می‌توان با استفاده از مقادیر اولیه مسئله اصلی حل کرد و نتایج عددی مربوط به آن را به دست آورد. در ادامه، هر یک از مراحل حل مسئله با استفاده از FEM را به طور تخصصی توضیح می‌دهیم.

فیلم آموزش تحلیل المان محدود کاربردی با متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

در مرحله اول، معادله مرتبط با هر یک از المان‌ها به صورت مجموعه معادلات ساده‌ای است که معادلات پیچیده اصلی (اغلب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی) را در نواحی مختلف تخمین می‌زند. برای انجام این تخمین، معمولاً FEM به عنوان حالت خاص «روش گالرکین» (Galerkin Method) در نظر گرفته می‌شود. این فرآیند در ریاضیات، با انتگرال‌گیری از ضرب داخلی توابع وزنی و باقیمانده و همچنین برابر با صفر قرار دادن حاصل انتگرال صورت می‌گیرد. به عبارت ساده‌تر، این فرآیند با برازش توابع آزمایشی به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، میزان خطای تخمین را به حداقل می‌رساند. مقدار باقیمانده، خطای به دست آمده از توابع آزمایشی است. توابع وزنی نیز توابع تقریب چندجمله‌ای هستند که میزان باقیمانده را نشان می‌دهند. فرآیند مذکور، تمام مشتقات فضایی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را حذف می‌کند و آن‌ها را از طریق دو دستگاه زیر به صورت ناحیه‌ای تخمین می‌زند:

• دستگاه معادلات جبری برای مسائل حالت پایدار
• دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی برای مسائل گذرا

این دو دستگاه معادلات مختص به المان‌های مسئله هستند. اگر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به صورت خطی باشند، معادلات المان‌ها نیز خطی خواهند بود و بالعکس. معادلات جبری به دست آمده از مسائل حالت پایدار با استفاده از روش‌های جبر خطی عددی حل می‌شوند؛ در حالی که حل معادلات دیفرانسیل معمولی به دست آمده از مسائل گذرا توسط روش‌های استاندارد انتگرال‌گیری عددی نظیر روش اویلر یا «رونگه‐کوتا» (Runge-Kutta) صورت می‌گیرد.

در مرحله دوم، یک دستگاه معادلات کلی با استفاده از معادلات مربوط به المان‌ها تشکیل می‌شود. این فرآیند از طریق تبدیل مختصات گره‌های محلی محدودهای کوچک به گره‌های کلی محدوده اصلی صورت می‌گیرد. برای انجام این تبدیلات فضایی به تنظیم جهت‌گیری مناسب نسبت به دستگاه مختصات مرجع نیاز است. در اغلب موارد، این عملیات توسط نرم‌افزاری مبتنی بر FEM و با استفاده از داده‌های مختصاتی به دست آمده از محدوده‌های کوچک اجرا می‌شود.

درک روش المان محدود با استفاده از کاربرد عملی آن یعنی «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) یا اصطلاحاً «FEA» ساده‌تر است. FEA، یک ابزار محاسباتی برای اجرای تحلیل‌های مهندسی است. این ابزار از روش‌های تولید مش برای تقسیم‌بندی یک مسئله پیچیده به المان‌های کوچک و کدهای نرم‌افزاری الگوریتم‌های FEM بهره می‌برد. در هنگام به کارگیری FEA، یک مسئله پیچیده معمولاً به صورت یک سیستم فیزیکی بر مبنای قواعدی نظیر «معادله تیر اویلر-برنولی» (Euler-Bernoulli Beam Equation)، «معادله گرما» (Heat Equation) یا «معادلات ناویه-استوکس» (Navier-Stokes Equations) در نظر گرفته می‌شود که توسط معادلات انتگرالی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بیان شده است. هر یک از المان‌های کوچک این مسئله پیچیده، نواحی مختلف سیستم فیزیکی تعریف شده را نشان می‌دهند.

به منظور تحلیل مسائلی با محدوده‌های بسیار پیچیده (ماشین‌ها و خطوط انتقال نفت)، محدوده‌های متغیر (در حین واکنش حالت جامد به همراه تغییر مرز)، نیاز به دقت‌های متفاوت در بخش‌های مختلف محدوده یا عدم هموار بودن روش حل، FEA گزینه مناسبی خواهد بود. در شرایطی که نیاز به ساخت نمونه‌های اولیه با دقت بالا باشد، شبیه‌سازی‌های FEA با فراهم کردن یک ابزار ارزشمند، تعداد نمونه‌های مورد نیاز را کاهش می‌دهند. به عنوان مثال، در شبیه‌سازی تصادف خودرو از جلو، امکان افزایش دقت نواحی مهم نظیر بخش جلویی ماشین و کاهش این دقت در بخش عقب وجود دارد. این کار باعث کاهش هزینه شبیه‌سازی می‌شود. در پیش‌بینی آب و هوا توسط روش‌های عددی نیز پیش‌بینی دقیق پدیده‌های شدید غیرخطی (مانند گردباد یا گرداب) از اهمیت بالاتری نسبت به نواحی نسبتاً آرام برخوردار است.

برای درک بهتر کاربرد روش المان محدود، به معرفی یک مثال می‌پردازیم. به تصویر زیر دقت کنید. این تصویر، نمونه‌ای از مش FEM ساخته شده برای حل یک مسئله مغناطیسی را نمایش می‌دهد. رنگ‌های مختلف در این مش‌بندی، بیانگر خصوصیات مادی متفاوت برای هر ناحیه هستند. در این مثال، سیم‌پیچ رسانا با رنگ نارنجی، قطعه فرومغناطیس (احتمالاً آهن) با رنگ آبی روشن و هوا با رنگ خاکستری نشان داده شده است. تفاوت اندازه المان‌ها در نواحی مختلف، دقت تحلیل در آن محل‌ها را تغییر می‌دهد. معمولاً هر چه اندازه المان‌ها کوچک‌تر باشد (مش‌بندی ریز)، دقت نتایج و متعاقباً زمان مورد نیاز برای اجرای تحلیل افزایش می‌یابد. به این ترتیب، تحلیل‌گر برای ایجاد توازن بین زمان تحلیل و دقت بالا در نواحی مهم، مش‌بندی مسئله را تقریباً بهینه می‌کند. با اینکه هندسه این مسئله ساده به نظر می‌رسد، محاسبه میدان مغناطیسی آن بدون استفاده از یک نرم‌افزار FEM و تنها با به کارگیری معادلات جبری کار بسیار چالش‌برانگیزی خواهد بود.

تصویر زیر، نتایج تحلیل مسئله بالا را به همراه یک حفاظ مغناطیسی استوانه‌ای شکل نمایش می‌دهد. اکنون به تفسیر کلی نتایج به دست آمده می‌پردازیم. بخش فرومغناطیس استوانه از ناحیه داخل استوانه محافظت می‌کند. این عمل از طریق انحراف میدان مغناطیسی سیم‌پیچ (ناحیه مستطیلی در سمت راست) صورت می‌گیرد. رنگ هر یک از نواحی، بیانگر چگالی شار مغناطیسی است. با توجه به مقیاس‌های مشخص شده در راهنما، رنگ قرمز بیشترین دامنه مغناطیسی را نشان می‌دهد و ناحیه داخلی استوانه، کمترین مقدار دامنه (آبی تیره به همراه خطوط شار با فاصله زیاد) را دارد. این مسئله، عملکرد صحیح حفاظ مغناطیسی تأیید می‌کند.

انواع روش‌های المان محدود

در این بخش به معرفی انواع روش‌های المان محدود می‌پردازیم و برخی از آن‌ها را به طور مختصر توضیح می‌دهیم.

فیلم آموزش مروری بر روش اجزای محدود یا FEM در فرادرس

کلیک کنید

«روش المان کاربردی» (Applied Element Method) یا «AEM»

AEM، یک روش تحلیل عددی برای پیش‌بینی رفتار سازه‌های پیوسته و ناپیوسته است. این روش برای ارزیابی آسیب‌پذیری سازه‌ها (خرابي پیش‌رونده، تحلیل انفجار، تحلیل ضربه و تحلیل لرزه‌ای)، مهندسی قانونی، طراحی مبتنی بر عملکرد، تحلیل تخریب، تحلیل عملکرد شیشه و ایجاد جلوه‌های بصری به کار می‎رود.

«روش المان محدود تعمیم یافته» (Generalized Finite Element Method) یا «GFEM»

GFEM، به منظور بهبود تخمین‌های محلی در مدل‌های المان محدود توسعه یافته است. استفاده از این روش مسائلی با شرایط مرزی پیچیده، مقیاس میکرو و لایه‌های مرزی پیشنهاد می‌شود.

«روش المان محدود ترکیبی» (Mixed Finite Element Method)

این روش با عنوان «Hybrid Finite Element Method» نیز می‌گویند. در این روش، هنگام گسسته سازی معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، چندین متغیر مستقل به عنوان متغیرهای گره‌ای به مسئله افزوده می‌شوند. این روش برای مسائلی مناسب است که از نظر عددی «بدطرح» (Ill-Posed) هستند. به عنوان مثال، تعیین میدان تنش و کرنش در یک جسم تقریباً تراکم ناپذیر، یک مسئله بدطرح به حساب می‌آید.

«نسخه hp روش المان محدود» (hp-version of Finite Element Method) یا «hp-FEM»

hp-FEM، فرم کلی روش المان محدود استاندارد است که برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از رویکرد تخمین چندجمله‌ای‌های تکه‌ای استفاده می‌کند.

فیلم آموزش مروری بر روش اجزای محدود یا FEM در فرادرس

کلیک کنید

در سال 1992، «بابوسکا و همکاران» (.Babuska et al) دریافتند که در صورت تقسیم‌بندی المان‌ها به بخش‌های کوچک‌تر (نسخه h) و افزایش مرتبه چندجمله‌ای آن‌ها (نسخه p)، سرعت همگرایی روش المان محدود به صورت نمایی افزایش می‌یابد. این ویژگی باعث جذابیت بیشتر hp-FEM نسبت به دیگر روش‌های المان محدود می‌شود. با این وجود، با توجه به عواملی نظیر زمان مورد نیاز برای تحلیل، درک مبانی ریاضی، اجرای تحلیل و غیره، استفاده از این روش نسبت به روش استاندارد چالش‌برانگیزتر است.

«روش المان محدود توسعه یافته» (Extended Finite Element Method) یا «XFEM»

XFEM، یک روش عددی بر پایه GFEM و «روش تقسیم واحد» (Partition of Unity Method) یا اصطلاحاً «PUM» است. این روش به منظور حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، با افزودن توابع ناپیوسته به فضای حل مسئله روش المان محدود قدیمی را توسعه می‌دهد. به این ترتیب، امکان بهره‌گیری از ویژگی‌های مرتبط با ناپیوستگی‌ها، تکینگی‌های جبری، لایه‌های مرزی، مش‌بندی معمولی ریزساختارها و غیره فراهم می‌شود. نتایج به دست آمده از XFEM، بهبود دقت و نرخ همگرایی را نشان می‌دهند. به علاوه، به دلیل عدم نیاز به مش‌بندی مجدد سطوح ناپیوستگی‌ها در این روش، زمان محاسباتی و خطاهای رایج در روش‌های مرسوم المان محدود کاهش می‌یابد.

نرم‌افزارهایی نظیر «xfem++ 3» ،«GetFEM++ 2» و «++openxfem»، از روش XFEM برای تحلیل مسائل مختلف استفاده می‌کنند. این روش در کدهایی نظیر «ASTER» ،«Morfeo» ،«Radioss» و نرم‌افزارهای معروف «آباکوس» (Abaqus) و «انسیس» (ANSYS) نیز به کار گرفته می‌شود.

فیلم آموزش پروژه محور آباکوس – مدل سازی سازه های بتنی در ABAQUS در فرادرس

کلیک کنید

«روش المان محدود مرزی مقیاس شده» (Scaled Boundary Finite Element Method) یا «SBFEM»

SBFEM، در سال 1997 توسط «سانگ» (Song) و «وُلف» (Wolf) معرفی شد. این روش مفیدترین مشارکت صورت گرفته در حوزه تحلیل عددی مسائل مربوط به مکانیک شکستگی به حساب می‌آید. SBFEM از نقاط قوت فرآیندها و مبانی ریاضی روش المان محدود و همچنین فرآیند گسسته سازی روش المان مرزی بهره می‌برد.

«روش المان محدود هموار» (Smoothed Finite Element Method) یا «S-FEM»

روش‌های المان محدود هموار، دسته‌ای از الگوریتم‌های شبیه‌سازی عددی برای شبیه‌سازی پدیده‌های فیزیکی به شمار می‌روند. این روش‌ها از ترکیب روش‌های بدون مش با روش المان محدود توسعه یافته‌اند. S-FEM برای مسائلی مانند مکانیک سازه‌های جامد و پیزو الکتریک، مکانیک شکست و رشد ترک، مسائل غیرخطی، تحلیل‌های تصادفی، انتقال حرارت، آکوستیک سازه‌ها، مدل‌سازی پلاستیسیته بلورها و غیره کاربرد دارد.

«روش المان طیفی» (Spectral element method) یا «SEM»

روش‌های المان طیفی، پیچیدگی هندسی المان‌های محدود و دقت بالای روش‌های طیفی را با هم ترکیب می‌کنند. SEM برای تشخیص عیب و نقص‌های کوچک سازه کاربرد دارد. نحوه مدل‌سازی هندسه‌های پیچیده در این روش نسبت به روش المان محدود دشوارتر است.

«روش‌های بدون مش» (Meshfree Methods)

در حوزه تحلیل عددی، روش‌های بدون مش به روش‌هایی اطلاق می‌شود که در آن‌ها نیازی به ایجاد ارتباط بین تمام گره‌های مدل وجود ندارد. با این وجود، فعل و انفعالات بین هر گره با گره‌های اطراف آن در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، به جای اختصاص خواصی نظیر جرم یا انرژی جنبشی به المان‌های مش، هر یک از این خواص برای گره‌های منفرد تخصیص می‌یابند. روش‌های بدون مش می‌توانند برخی مسائل دشوار را با صرف زمان محاسباتی و برنامه‌نویسی بیشتر شبیه‌سازی کنند. این روش‌ها برای شبیه‌سازی هندسه‌های پیچیده، ایجاد ترک، خمش، رفتار غیرخطی، ناپیوستگی‌ها و تکینگی مفید هستند.

«روش‌های گالرکین ناپیوسته» (Discontinuous Galerkin Methods)

در ریاضیات کاربردی، روش‌های گالرکین ناپیوسته گروهی از روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل به حساب می‌آیند. این روش‌ها، ویژگی‌های رویکرد المان محدود و حجم محدود را با هم ترکیب می‌کنند. در مسائل حوزه‌های الکترودینامیک، مکانیک سیالات و فیزیک پلاسما، تمایل زیادی به استفاده از روش‌های گالرکین ناپیوسته وجود دارد.

«تحلیل حدی المان محدود» (Finite Element Limit Analysis) یا «FELA»

در FELA، از روش‌های بهینه‌سازی برای محاسبه مستقیم کران‌های بالا و پایین بار شکست پلاستیک برای یک سیستم مکانیکی استفاده می‌شود. کاربرد اصلی این روش در حوزه مکانیک خاک و به منظور تعیین بارهای مورد نیاز برای ایجاد شکست در مسائل ژئوتکنیکی (تحلیل پایداری شیب) است. نرم‌افزارهای «OptumG2» و «OptumG3» از مبانی FELA برای تحلیل مسائل ژئوتکنیکی بهره می‌برند.

«روش شبکه کشیده» (Stretched Grid Method) یا (SGM)

روش شبکه کشیده، یک روش عددی برای یافتن راه حل‌های تقریبی در مسائل مهندسی و ریاضی است. هواشناسان از این روش برای پیش‌بینی آب و هوا استفاده می‌کنند. در علوم مهندسی نیز از SGM برای طراحی سقف‌ها و دیگر سازه‌های کششی استفاده می‌شود.

«تکرار لوبیگناک» (Loubignac iteration)

در ریاضیات کاربردی، تکرار لوبیگناک یک روش تکراری در روش‌های المان حدی است. این روش که در سال 1977 توسط «ژیل لوبیگناک» (Gilles Loubignac) معرفی شد، میدان تنش پیوسته را به دست می‌آورد. تکرار لوبیگناک برای تحلیل استاتیک المان حدی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مقایسه روش المان محدود با روش تفاضل محدود

«روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) یا اصطلاحاً «FDM»، یکی از روش‌های جایگزین FEM برای تخمین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. موارد زیر، تفاوت‌ها و شباهت‌های بین FEM و FDM را بیان می‌کنند:

فیلم آموزش مروری بر روش اجزای محدود یا FEM در فرادرس

کلیک کنید

• جذاب‌ترین ویژگی FEM، مدل‌سازی نسبتاً راحت هندسه و شرایط مرزی پیچیده است. المان‌های FDM باید به صورت مستطیلی شکل باشند در صورتی که تغییرات هندسه مدل در FEM از نظر تئوری نیز ساده است.
• معمولاً از FDM برای هندسه‌های نامنظم استفاده نمی‌شود. در اغلب موارد، مدل‌های بلوکی یا مستطیلی با استفاده از این روش مورد تحلیل قرار می‌گیرند.
• جذاب‌ترین ویژگی FDM، اجرای آسان تحلیل است.
• در برخی از موارد می‌توان FDM را یک حالت خاص از FEM در نظر گرفت. در معادله پوآسن، اگر مسئله با استفاده از مش‌های مستطیلی مدل‌سازی و هر مستطیل به دو مثلث تقسیم شود، FEM مرتبه اول با FDM یکسان خواهد بود.
• دلایل زیادی برای منطقی‌تر بودن مبانی ریاضی FEM وجود دارد. به عنوان مثال، کیفیت تخمین مقادیر بین نقاط گره‌ای در FDM پایین‌تر از FEM است.
• مقدار تخمین‌هایی که با استفاده FEM به دست می‌آیند، در اغلب موارد بیشتر از مقدار به دست آمده از FDM هستند. البته این موضوع وابستگی زیادی به نوع مسئله دارد و در برخی از موارد نتایج عکس نیز مشاهده شده است.

در مکانیک سازه‌ها، به منظور اجرای انواع مختلف تحلیل‌ها (مانند تحلیل تغییر شکل و تنش‌های موجود در اجسام صلب یا رفتار دینامیکی سازه)، معمولاً FEM به عنوان انتخاب اصلی در نظر گرفته می‌شود. در حالی که برای مسائل مربوط به «دینامیک سیالات محاسباتی» (Computational Fluid Dynamics) یا اصطلاحاً «CFD»، روش‌هایی نظیر FDM یا «روش حجم محدود» (Finite Volume Method) یا به اختصار «FVM» مورد استفاده قرار می‌گیرد. معمولاً در مسائل حوزه CFD، یک مسئله به تعداد بسیار زیادی سلول یا نقطه گره‌ای (Gridpoint) تقسیم می‌شود. از این‌رو، با توجه به زمان و تجهیزات احتمالی مورد نیاز، برای تخمین ویژگی‌های درون هر سلول، استفاده از روش‌های ساده‌تر به همراه الگوریتم‌هایی با مرتبه پایین‌تر در اولویت قرار می‌گیرد. این موضوع، برای مسائلی با «جریان خارجی» (External Flow) مانند جریان هوا در اطراف یک خودرو یا هواپیما و شبیه‌سازی وضعیت آب و هوا نیز صادق است.

کاربرد روش المان محدود

بسیاری از شاخه‌های مهندسی مکانیک نظیر علوم وابسته به هوانوردی، بیومکانیک و صنایع خودروسازی برای طراحی و توسعه محصولات خود از روش المان محدود کمک می‌گیرند. امروزه، مجموعه‌های نرم‌افزاری FEM، توانایی در نظر گرفتن شرایط ویژه دمایی، الکترومغناطیسی، مواد سیال و سازه‌ها را دارند.

فیلم آموزش تحلیل المان محدود کاربردی با متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

در شبیه‌سازی سازه‌ها، FEM در به تصویر کشیدن سختی و مقاومت مواد و همچنین به حداقل رساند وزنِ مواد به کار گرفته شده و در نتیجه کاهش هزینه ساخت سازه کمک فوق‌العاده‌ای می‌کند.

در FEM، امکان نمایش دقیق محل خمش یا پیچش سازه و تشخیص نحوه توزیع تنش‌ها و جابجایی‌ها فراهم می‌شود. نرم‌افزارهای FEM گزینه‌های زیادی را برای کنترل پیچیدگی مدل‌سازی و تحلیل یک سیستم در اختیار طراحان قرار می‌دهند. به این ترتیب می‌توان سطح دقت مورد نیاز و زمان انجام محاسبات برای اکثر مسائل مهندسی را مدیریت کرد. روش المان محدود، ساخت، اصلاح و بهینه‌سازی طراحی‌ها را پیش از شروع تولید امکان‌پذیر می‌کند.

استفاده از ابزارهای قدرتمند FEM، استانداردهای طراحی‌های مهندسی و روش‌های به کار گرفته شده در فرآیند این طراحی‌ها را به طور قابل توجهی بهبود بخشید. با معرفی این روش، زمان بین ایجاد یک طراحی مفهومی از محصول و شروع به کار خط تولید آن به طور چشمگیری کاهش یافت. دلیل اصلی این موضوع در وهله اول، بهبود طراحی نمونه‌های اولیه با استفاده از FEM بود. این روش سرعت آزمایش و توسعه محصول را افزایش داد. در مجموع، دقت بالا، طراحی پیشرفته، درک بهتر پارامترهای بحرانی طراحی، نمونه‌سازی مجازی، کاهش نیاز به ساخت نمونه‌های فیزیکی، چرخه‌های طراحی سریع‌تر و ارزان‌تر، بهبود بهره‌وری و بهبود درآمد را می‌توان به عنوان مزایای FEM برشمرد. علاوه بر این موارد، مزایای این روش باعث شده است تا FEA برای به کارگیری در مدل‌سازی‌های تصادفی به منظور حل عددی مدل‌های احتمالاتی نیز پیشنهاد شود.

در مطالب بعدی وبلاگ فرادرس «روش تفاضل محدود» و «روش حجم محدود» به صورت دقیق مطالعه شده‌اند که این روش‌ها کاربرد زیادی در علم «دینامیک سیالات محاسباتی» دارند.