معادله و نامعادله در ریاضی – پیدایش و کاربردها

امروزه از اعداد به منظورهای مختلفی استفاده می‌شود بطوری که زندگی بدون اعداد شاید برایمان امکان پذیر نباشد. هر روز با انبوهی از اعداد روبرو هستیم. ساعت، تاریخ، پرداخت صورتحساب و ... همه و همه با اعداد شناخته شده و زندگی ما را به خود وابسته کرده‌اند.

انسان از زمانی که قادر به درک محیط پیرامون خود شد، به منظور بیان احساسات و نیازهای خود، مجبور شد اشیاء اطرافش را نام‌گذاری کند. این امر، بخصوص در زمانی ضرورت پیدا می‌کند که آن شی در آن لحظه حضور ندارد و باید به نحوی وجودش را فرض کرد. استفاده از اسم در این زمان به عنوان جانشین شی مورد نظر، کمک زیادی به درک خواسته و نیازهای انسان می‌کند. استفاده از نام‌ها و اسم‌گذاری یکی از خصوصیاتی است که انسان را از دیگر مخلوقات مجزا می‌سازد.

اغلب برای اشاره به شی یا جسمی خاص از اسم آن استفاده می‌کنیم. برای مثال اگر می‌خواهیم خبری را در باره فرزندمان (مثلا رضا) به دیگری بدهیم می‌گویم: («رضا» امروز به کلاس اول می‌رود.) در اینجا، رضا اسمی است که به فردی برای شناسایی توسط دیگران نسبت داده شده است. بعضی از اسامی به شکلی هستند که اسم بر شی یا جسمی مشخص دلالت می‌کند که در دنیای واقعی حضور دارد. چنین اسامی «اسم ذات» نام دارند. برای مثال سنگ، درخت و آبیاری از این جمله هستند. در مقابل اسامی نیز هستند که «اسم معنی» گفته می‌شوند. برای مثال «دلاوری» اسمی معنی است زیرا معنی و مفهوم آن در ذهن ساخته می‌شود و شی با این اسم در دنیای خارج از ذهن وجود ندارد.

با این مقدمه سعی می‌کنیم با مفهوم اعداد در این نوشتار، بیشتر آشنا شویم و درک بهتری نسبت به آن‌ها کسب کنیم.

عدد و مفهوم آن

اعداد نیز درست به مانند اسامی هستند به این معنی که برای نشان دادن کمیت اشیاء به کار می‌روند. برای آموزش اعداد به کودکان از تناظر عدد با اشیاء استفاده می‌شود. برای مثال وقتی می‌خواهیم مفهوم ۲ را به آن‌ها آموزش دهیم از ۲ درخت، ۲ سیب و ... استفاده می‌کنیم. به این ترتیب برای آمادگی ذهنی کودکان، از اشیاء و کمیت آن‌ها تواما استفاده می‌کنیم، زیرا هنوز آن‌ها قادر نیستند چیزی که وجود ندارد را تصور کنند. تصور جسمی که در حال حاضر وجود ندارد و یا مفهومی که اسم معنی است، احتیاج به قدرت انتزاع دارد که با رشد مغز و آموزش‌های ذهنی در انسان حاصل می‌شود. پس در مرحله اولیه آموزش اعداد، کودکان یک تناظر یک به یک بین اشیاء و کمیتشان قائل هستند. به مرور زمان که به دبستان می‌روند، می‌توانند اعداد را مجزا از اشیاء تصور کنند. به این ترتیب ذهنشان قادر به انتزاع است و می‌توانند مفهوم عدد را بدون توجه به اشیاء درک کنند.

معمولا اعداد را در طبقه‌بندی اسامی، در گروه اسامی معنی جای می‌دهند، از آن جهت که با ذکر کردن عددی، مثلا «یک» نمی‌توان ما به ازاء در جهان خارج از ذهن چیزی را تصور کرد. زمانی که ذهن بشر به مرحله‌ای رسید که توانست تصوری خارج از اشیاء پیرامونش داشته باشد و به درک انتزاعی دست یافت، اعداد ظهور کردند. این امر نشان از قدرت تخیل انسان داشت که می‌توانست چیزی که نمی‌بیند را تصور کند. پس همانطور که از نام درخت، ذهنیتی حاصل می‌شود، از عدد «یک» نیز چیزی در ذهن جای می‌گیرد که نشانگر وجود شییء واحد است. هر چند که با ذکر نام درخت ممکن است هر کس در ذهنش یک درخت خاص را به تصور درآورد ولی همه این تصورات در خصوصیت درخت بودن مشترک هستند. با تکرار این امر، کم کم مفهوم درخت به عنوان یک تصویر مجرد در ذهن جای گرفته و دیگر نوع درخت هنگام به کار بردن نام آن ضرورتی ندارد. اعداد نیز دقیقا به همین ترتیب در ذهن انسان جای گرفته‌اند.

سیر پیشرفت انسان در به کارگیری اعداد نیز به همین ترتیب است. ابتدا انسان برای شمارش اشیاء از اعداد استفاد کرد. برای مثال تصور کنید چوپانی بی‌سواد هر روز گوسفندان را برای چرا می‌برد و بر می‌گرداند و بدون آنکه با اعداد آشنا باشد، آن‌ها را می‌شمارد. چویان باهوش ما برای شمارش گله خود از تعدادی سنگ ریزه کمک می‌گیرد. هر سنگ ریزه نشانه‌ای برای یک گوسفند است. هنگامی که گوسفندی، آغل را ترک می‌کند او یک سنگ‌ریزه را از جیب راست خود برداشته و در جیب سمت چپ قرار می‌دهد. به این ترتیب با خروج همه گله از آغل، همه سنگ‌ریزه‌ها جابجا شده‌اند.

درست به همان شکلی که عدد به جای کمیت یک شی به کار می‌رود، در اینجا هر سنگ ریزه نیز جایگزین یک گوسفند شده است. تصور بر این است که داستان شمارش و اعداد از چنین جایی آغاز شده باشد. هنگام بازگشت گله به آغل نیز او همین کار را انجام می‌دهد. اگر همه سنگ‌ریزه‌ها جابجا نشده باشند، او متوجه عدم حضور گوسفند یا گوسفندانی در گله خواهد شد.

متغیر و مفهوم آن در معادله ریاضی

با توجه به مطالب گفته شده چگونگی برخورد ذهن انتزاعی ما در جهت درک اعداد مشخص می‌شود و می‌تواند یک عدد را به کمیت اشیاء پیرامون نسبت بدهد. هر چه این ذهن پیشرفت کند، ظهور مجموعه اعداد پیچیده‌تر نیز امکان‌پذیر می‌شود. حتی ممکن است به جای اعداد که خود حاصل از یک انتزاع هستند، اسم ثانویه‌ای ایجاد شود که بیانگر گروهی از اعداد باشد. اغلب با متغیر X در معادلات ریاضی آشنا هستید. این X نیز اسمی برای اعدادی است که می‌توانند در یک معادله صدق کنند.

برای مثال با ورود کودکان به دور‌ه‌های تحصیلی بالاتر، آن‌ها یاد می‌گیرند که می‌توان برای اعدادی که معلوم نیستند نیز اسمی قرار داد که در دنیای ریاضیات به نام متغیر معروف است. به این ترتیب به جای اعداد یا مجموعه‌ای از اعداد از متغیرها استفاده می‌شود. مثلا می‌توانیم یک تساوی را به صورت $$X+3=5$$ بنویسیم. این تساوی نشان می‌دهد که X نماینده اعدادی است که در حال حاضر معلوم نیستند. منظور از حل یک معادله که به صورت تساوی بین دو عبارت نوشته شده است، پیدا کردن عددی به جای X است که تساوی برای آن برقرار باشد. عدد حاصل را ریشه معادله می‌نامند.

معادله و نامعادله در ریاضی

با توجه به مطلب بالا شاید معنی و مفهوم معادلات در ریاضی که کمی گنگ به نظر می‌رسد، روشن‌تر شده باشد. ولی ما در اینجا سعی می‌کنیم با استفاده از داستانی که در مورد چوپان باهوش خود می‌سازیم، این مفهوم را واضح‌تر کنیم. همچنین با توجه به مجموعه پاسخ‌هایی که از معادلات ریاضی حاصل می‌شود، مجموعه اعداد را معرفی می‌کنیم و سپس با هر یک از این مجموعه‌ها بیشتر آشنا می‌شویم.

فیلم آموزش محاسبات عددی با متمتیکا Mathematica – مقدماتی در فرادرس

کلیک کنید

نکته: در ادامه به مفهومی به نام اصل و اصول خواهیم رسید. باید توجه داشت که اصل و اصول، گزاره‌هایی غیرقابل اثبات هستند که عقل سلیم در صحیح بودن آن‌ها شکی ندارد و افراد بشر در قبول آن‌ها متفق القول هستند.

معادله و اعداد طبیعی

باز به سراغ داستان چوپان خود می‌رویم. تصور کنید که چوپان داستان ما، با استفاده از سنگ‌ریزه‌ها قادر به شمارش گوسفندها باشد. او دارای دوست و همکارانی است که قادرند به شیوه او، عمل شمارش گوسفندان را انجام دهند و تمایل دارند که با یکدیگر از تعداد گوسفندان گله‌شان گفتگو کنند. حال اگر تعداد گوسفندان گله‌های مختلف را در یک مجموعه قرار دهیم، می‌توانیم بنویسیم:

$$X\in$$ ℕ= $$\{1,2,\ldots\}$$

توجه داشته باشید که منظور از $$\ldots$$ ادامه شمارش تا «خیلی زیاد» است، زیرا هنوز مفهوم «بی‌نهایت» (Infinity) را نیافته‌ایم. از نظر چوپان ما شاید ۱۰۰۰ همان مفهوم خیلی زیاد را داشته باشد، زیرا قادر به شمارش این تعداد گوسفند نیست.

مجموعه ℕ از آنجایی که قادر به نمایش تعداد گوسفندان است می‌تواند به عنوان «مجموعه اعداد طبیعی» (Natural Numbers set) در نظر گرفته شود زیرا برای شمارش اشیاء موجود در طبیعت قابل استفاده است.

یکی از روز‌هایی که چوپان باهوش ما، گله را از چرا برگردانده به یک مسئله کاملا جدی برخورد کرده است. پس از شمارش گوسفندانی که از چرا برگشته‌اند متوجه شده است تعداد آن‌هایی که ابتدای صبح از آغل خارج شده‌اند برابر با ۲۰ و تعدادی که به آغل برگشته‌اند برابر با ۱۸ است. او می‌خواهد تعداد گوسفندانی که گمشده‌اند را به صاحب گله گزارش دهد. وی می‌داند که تعداد گوسفندها باید قبل و بعد از چرا با یکدیگر برابر یا معادل باشند. در نتیجه اگر او تعداد گوسفندان گمشده (که ممکن است توسط گرگ‌ها شکار شده باشند) را با X نشان دهد، به یک معادله شبیه معادله زیر خواهد رسید:

$$X+18=20$$

با توجه به سنگ‌ریزه‌هایی که در طرف دوم جیبش قرار دارند، او به جواب ۲ می‌رسد. ولی ما می‌خواهیم با استفاده از اصول معادلات ریاضی به جواب او دست پیدا کنیم. اصول اولیه مربوط به معادلات ریاضی را می‌توان طبق فهرست زیر برشمرد.

1. اضافه کردن مقداری ثابت به دو طرفه معادله،‌ تساوی را برهم نمی‌زند.
2. تفریق مقداری ثابت از دو طرف معادله، تساوی را برهم نمی‌زند.
3. ضرب کردن دو طرف معادله در یک مقدار ثابت غیر صفر، تساوی را برهم نمی‌زند.
4. تقسیم کردن دو طرف معادله بر یک عدد ثابت غیرصفر، تساوی را برهم نمی‌زند.
5. منظور از حل یک معادله، پیدا کردن عدد یا اعدادی است که با جایگذاری در X، دو طرف تساوی با یکدیگر معادل باشند.

با توجه به این اصول، معادله گفته شده در بالا را حل می‌کنیم. با استفاده از اصل ۲، از دو طرف تساوی عدد ۱۸ را کم می‌کنیم. پس تساوی تغییر نخواهد کرد. یعنی:

$$X+18=20\rightarrow X+18-18=20-18$$

$$X=20-18=2$$

پس در یک طرف تساوی متغیر X باقی مانده و در طرف دیگر مقدار ۲ را خواهیم داشت. می‌بینید که با طی کردن این مراحل به پاسخی که چوپان باهوش ما پیدا کرده بود، رسیدیم. در نتیجه به نظر می‌رسد اگر فرم کلی معادله ما به صورت زیر باشد، جواب آن در مجموعه اعداد طبیعی قرار خواهد داشت. به محدودیت‌هایی که برای مقدارهای ثابت b , c در نظر گرفته شده است دقت کنید.

$$X+b=c,\;\;\;\; b \leq c$$

$$X=c-b=k \in N$$

نامعادله و اعداد طبیعی

حال فرض کنید که چوپان ما به دنبال پیدا کردن تعداد گوسفندان گمشده است و حدس می‌زند که ممکن است بعضی از گوسفندان گمشده را گرگ با خود برده است. او می‌خواهد حساب کند که حداکثر چه تعدادی از گوسفندان ممکن است توسط گرگ از گله جدا شده باشند. در این حالت معادله بالا به یک نامعادله تبدیل می‌شود. زیر دیگر دو طرف رابطه با یکدیگر برابر یا معادل نیستند.

به این ترتیب مشخص است که تعداد گوسفندان باقی‌مانده از چرا کمتر از تعداد گوسفندانی هستند که صبح از آغل خارج شده‌اند. همانطور که به یاد دارید تعداد کل گوسفندان ۲۰ و تعداد گوسفندان برگشتی از چرا ۱۸ است. از آنجایی که در جیب چوپان فقط ۲ سنگ‌ریزه باقی مانده است او می‌تواند حساب کند که حداکثر تعداد گوسفندان گم شده برابر با ۲ است و می‌تواند امیدوار باشد که آن‌ها به گله باز گردند زیرا در طول چرا صدای زوزه گرگ و یا بع بع گوسفندانی که در دام گرگ افتاده باشند را نشنیده است. در نتیجه یا هر دو گوسفند یا یک گوسفند به گله باز می‌گردد و در حالتی که بدشانسی آورده باشد، ممکن است هیچکدام به گله باز نگردند. این رابطه را با توجه به نام‌گذاری X برای گوسفندان گم شده به صورت زیر می‌نویسم.

$$X+18 \leq 20$$

حال به حل نامعادله به وسیله روش ریاضی بر می‌گردیم. برای حال این نامعادله از اصولی که مربوط به نامعادلات ریاضی است کمک می‌گیریم. برای آشنایی بیشتر با اصول اولیه حل نامعادلات ریاضی، آن‌ها را مطابق فهرست زیر برمی‌شماریم.

1. اضافه کردن مقدار ثابت به دو طرف نامعادله، آن را تغییر نمی‌دهد.
2. کم کردن مقدار ثابت از دو طرف نامعادله، آن را تغییر نمی‌دهد.
3. ضرب کردن مقدار مثبت و ثابت در دو طرف نامعادله، جهت نامعادله را تغییر نمی‌دهد.
4. تقسیم کردن دو طرف نامعادله به مقداری ثابت و مثبت، جهت نامعادله را تغییر نمی‌دهد.
5. ضرب کردن دو طرفه نامعادله در مقداری ثابت و منفی، جهت نامعادله را تغییر می‌دهد.
6. تقسیم کردن دو طرفه نامعادله به مقداری ثابت، منفی و غیرصفر، جهت نامعادله را تغییر می‌دهد.

به کمک این اصول، نامعادله گفته شده را حل می‌کنیم. اگر مقدار ۱۸ را از دو طرف آن کسر کنیم، خواهیم داشت:

$$X\leq 20-18\rightarrow x \leq 2$$

در این صورت مجموعه جواب براساس اعداد طبیعی (اعداد صحیح نامنفی) برای تعداد گوسفندان گم شده، به صورت زیر خواهد بود.

$$X\in \{0,1,2\}$$

زیرا ممکن است دو گوسفند گم شده سالم از چرا بازگردند (زمانی که مقدار X=0 باشد) یا یکی از گوسفندان به سلامت به آغل بیاید (X=۱) یا هیچکدام هرگز پیدا نشوند (حالتی که X=2).

مجموعه اعداد طبیعی و اعداد صحیح نامنفی

براساس یک تعریف رسمی مجموعه اعداد طبیعی را با ℕ نشان می‌دهند و اعضای آن را به به صورت زیر می‌نویسند:

ℕ=$$\{0,1,2,\ldots \}$$

نکته: البته ممکن است در بعضی از موارد مجموعه اعداد طبیعی را بدون عضو صفر بنویسند و مجموعه ℕ را مجموعه اعداد صحیح نامنفی بنامند. هرچند تفاوتی زیادی در بین این دو مجموعه وجود ندارد ولی پیوستن صفر به مجموعه اعداد طبیعی نیز برای خود داستانی دارد. «صفر» (Zero) برگرفته از نام سونیا به معنی هیچ در زبان هندوستانی است. دانشمند و ریاضیدان هندی «براهمان گوپتا» (Brahmagupta) صفر و محاسبات برمبنای صفر را به جهان معرفی کرد و از آن پس در مجموعه اعداد طبیعی به کار گرفته شد.

معادله و اعداد صحیح منفی

در قسمت قبل با اعداد طبیعی و صحیح نامنفی آشنا شدیم و حالا معادله را به شکلی می‌نویسیم که قیدهای کمتری برای جواب آن در نظر گرفته شود. فرض کنید گله چوپان ما هنگام چرا به گله دوست و همکار خود نزدیک شده باشد. در این میان بعضی از گوسفندان گله مجاور به گله چوپان ما اضافه شده است. او پس از بازگشت از چرا متوجه می‌شود که سنگ‌ها همه از جبیش جابجا شده‌اند ولی باز هم دو گوسفند هستند که به آغل نرفته‌اند. به نظر می‌رسد او باید دو سنگ اضافه در جیبش قرار دهد.

فیلم آموزش المپیاد ریاضی مبحث ترکیبیات – مرحله اول + نکات و حل نمونه سوالات در فرادرس

کلیک کنید

وی باید این اتفاق را هم به صاحب گله گزارش دهد زیرا ممکن است باعث نزاع بین گله‌داران بشود. بنابراین باید گوسفندان اضافه را بشمارد. از همین رو دو سنگ اضافه با رنگ قرمز در جییبش قرار می‌دهد تا به صاحب گله نشان دهد. در این حالت تعداد سنگ‌های او برابر با ۲۲ است. چوپان برای حل این مسئله معادله زیر را حل کرده است.

$$X+22=20\rightarrow X=20-22=-2\rightarrow X=-2$$

ما نیز در حل این معادله، از اصولی که قبلا گفتیم استفاده کرده‌ایم. هرگاه گوسفندانی که داریم (۲۲) از تعداد گوسفندانی که باید داشته باشیم (۲۰) بیشتر باشند، جواب معادله بالا منفی خواهد بود. به این ترتیب چوپان ما اعداد منفی را کشف و به مجموعه اعدادی که می‌شناخت، اضافه کرد. مجموعه حاصل که هم دارای مقدارهای مجموعه اعداد طبیعی، صفر و مقدارهای منفی است را به نام «مجموعه اعداد صحیح» (Integer Numbers Set) شناخته و با حرف Z نشان می‌دهیم.

$$Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$$

مشخص است که اگر معادله بالا را به صورت نامعادله زیر بنویسیم، مجموعه جواب زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح خواهد بود.

$$X+a\leq b$$

در این قسمت با استفاده از مدل چوپان و گله‌اش به بررسی معادلاتی پرداختیم که دامنه جواب آن‌ها به اعداد طبیعی و یا صحیح محدود بود. ولی در قسمت‌های بعدی به بررسی و معرفی معادله‌هایی خواهیم پرداخت که دامنه جواب آن‌ها به مجموعه اعداد گویا و گنگ (اصم) مرتبط است.

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است، احتمالاً آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز برایتان کاربردی خواهند بود.

• مجموعه ‌آموزش‌های ریاضیات
• مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• اعداد مختلط به زبان ساده
• اعداد حقیقی به زبان ساده
• سیستم‌های باینری را با مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس یاد بگیرید

^^