کنترل پذیری و رویت پذیری — از صفر تا صد

در علم مهندسی کنترل، با سیستم‌هایی سر و کار داریم که باید آن‌ها را کنترل کنیم. کار یک مهندس کنترل، طراحی کنترل‌کننده‌ها و جبران‌ساز‌هایی است که این سیستم‌ها را کنترل کنند. البته، تعدادی از سیستم‌ها را نمی‌توان به سادگی کنترل کرد. مفهوم کنترل پذیری به قابلیت یک کنترل کننده برای کنترل آزادانه عملکرد یک سیستم اطلاق می‌شود. متغیر حالت یک سیستم، عملکرد درونی آن سیستم را نشان می‌دهد که جدا از رابطه ورودی-خروجی معمول آن است. برای کنترل سیستم، باید آن را اندازه‌گیری یا به عبارتی مشاهده و رؤیت کنیم. اصطلاح رویت پذیری یا مشاهده پذیری مرتبط با قابلیت اندازه‌گیری متنغیرهای حالت درونی سیستم است.

در ادامه، هر یک از این مفاهیم را توضیح خواهیم داد.

کنترل پذیری

کنترل پذیری (Controllability) حالت کامل یا به طور ساده کنترل پذیری (اگر توضیح خاصی داده نشود)، قابلیت اعمال یک ورودی خارجی به سیستم برای حرکت حالت درونی آن از هر شرایط اولیه به هر وضعیت نهایی دلخواه در یک بازه زمانی محدود است.

فیلم آموزش کنترل مدرن – حل ۱۰۰ مساله در فرادرس

کلیک کنید

دو اصطلاح دسترسی پذیری (Reachability) و پایداری پذیری (Stabilizability) نیز با کنترل پذیری ارتباط دارند که در ادامه آن‌ها را توضیح خواهیم داد.

کنترل پذیری: سیستمی با بردار حالت درونی $$x$$ را کنترل پذیر می‌گوییم، اگر و فقط اگر بتوان حالت‌های آن را با تغییر ورودی سیستم تغییر داد.

دسترسی پذیری: حالت خاص $$ x _ 1 $$ دسترسی پذیر نامیده می‌شود، اگر یک ورودی وجود داشته باشد که حالت سیستم را حالت اولیه $$ x _ 0 $$ به حالت جدید $$ x _ 1 $$ در زمان محدود در بازه $$ [t _ 0 , t)$$ تغییر دهد.

پایداری پذیری: یک سیستم پایداری پذیر است، اگر همه حالت‌هایی از آن که قابل دسترسی نیستند، به صورت مجانبی به صفر میل کنند.

مفهم دسترسی پذیری را می‌توانیم به صورت دقیق‌تر زیر نیز بنویسیم:

حالت $$ x _ 1 $$ در لحظه $$ t _ 1 $$ دسترسی پذیر نامیده می‌شود، اگر برای لحظه اولیه محدود $$ t _ 0 $$ یک ورودی $$ u (t)$$ وجود داشته باشد که حالت $$ x ( t) $$ را در $$t_0$$ از مبدأ به $$ x _ 1 $$ منتقل کند.

به عبارت دیگر، یک سیستم در زمان $$ t_1$$ دسترسی پذیر است، اگر هر حالت $$ x _ 1 $$ در فضای حالت، در لحظه $$ t _ 1 $$ قابل دسترسی باشد.

به طور مشابه، کنترل پذیری را نیز می‌توانیم دقیق‌تر تعریف کنیم: حالت $$ x _ 0$$ در لحظه $$ t _ 0$$ کنترل پذیر است، اگر برای زمان محدود $$ t _ 1$$ ورودی $$ u ( t ) $$ به گونه‌ای وجود داشته باشد که حالت $$ x (t)$$ را از $$ x _ 0 $$ به مبدأ‌ در زمان $$ t _ 1 $$ منتقل کند.

یک سیستم را در لحظه $$ t _ 0 $$ کنترل پذیر می‌نامیم، اگر هر حالت $$ x _ 0 $$ در فضای حالت کنترل پذیر باشد.

ماتریس کنترل پذیری

یک سیستم LTI (خطی تغییر ناپذیر با زمان) را دسترسی پذیر می‌گوییم، اگر و فقط اگر رتبه $$p$$ ماتریس کنترل پذیری $$ \zeta$$ آن کامل باشد که در آن، $$p$$ بعد ماتریس $$A$$ و $$ p \times q $$ بعد ماتریس $$ B$$ است. این ماتریس کنترل پذیری به صورت زیر است:

$$ \large \zeta = \begin {bmatrix} B & A B & A ^ 2 B & \cdots & A ^ { p - 1 } B \end {bmatrix} \in R ^ { p \times p q } $$

یک سیستم وقتی کنترل پذیر یا «کنترل پذیر به مبدأ» است، که بتوان هر حالت $$ x _ 1 $$ آن را در تعداد گام‌های محدودی به حالت صفر $$ x = 0 $$ رساند.

یک سیستم وقتی کنترل پذیر است که رتبه ماتریس حالت $$A$$ آن و رتبه ماتریس کنترل پذیری با هم برابر باشند:

$$ \large Rank ( \zeta ) = Rank ( A ^ { - 1 } \zeta ) = p $$

با استفاده از نرم‌افزار متلب (MATLAB) می‌توان به سادگی ماتریس کنترل پذیری را با دستور ctrb محاسبه کرد. برای استفاده از این دستور، ماتریس حالت $$A$$ و ماتریس ورودی $$ B $$ سیستم را در نظر گرفته و دستور را در متلب به صورت زیر می‌نویسیم:

1z=(ctrb(A,B

در نتیجه، برای تعیین کنترل پذیر بودن یا نبودن می‌توانیم رتبه ماتریس کنترل پذیری را به دست آوریم. در اینجا ذکر دو نکته لازم است:

• دسترسی پذیری همواره کنترل پذیری را نتیجه می‌دهد.
• کنترل پذیری تنها زمانی به دسترسی پذیری می‌انجامد که ماتریس انتقال حالت (State Transition Matrix) غیرمنفرد یا غیرتکین باشد.

تعیین دسترسی پذیری

چهار روش برای تعیین دسترسی پذیری یک سیستم وجود دارد:

1. اگر تعداد $$p$$ سطر از $$ \phi (t, \tau)  B (t)$$ در میدان اعداد مختلط استقلال خطی داشته باشند؛ یعنی رتبه ضرب دو ماتریس برای همه مقادیر $$t$$ و $$ \tau$$ برابر با $$p$$ باشد.
2. اگر رتبه ماتریس کنترل پذیری برابر با رتبه ماتریس $$A$$ سیستم باشد.
3. اگر برای همه مقادیر ویژه $$ \lambda$$ ماتریس $$A$$ رابطه $$ \operatorname {rank} [ \lambda I - A , B ] = p $$ برقرار باشد.
4. اگر رتبه گرامیان دسترسی پذیری (در ادامه آن را توضیح خواهیم داد) برابر با رتبه ماتریس سیستم $$ A $$ باشد.

هر یک از موارد بالا شرط لازم و کافی است. اگر هر کدام از موارد بالا برقرار نباشد، همه موارد دیگر نیز برقرار نخواهد بود و سیستم دسترسی پذیر نیست. همچنین اگر یکی از چهار شرط برقرار باشد، سایر آن‌ها نیز برقرار بوده و سیستم دسترسی پذیر است.

گرامیان دسترسی پذیری

گرامیان‌ها (Gramian) توابع ریاضی پیچیده‌ای هستند که از آن‌ها در تعیین ویژگی‌های مشخصی برای سیستم استفاده می‌شود؛ بدین صورت که گرامیان‌ها برای تعیین کنترل پذیری یا دسترسی پذیری سیستم مورد استفاده قرار می‌گیرند. از آن‌جایی که گرامیان‌‌ها از سایر روش‌‌ها پیچیده‌اتر هستند، تنها زمانی از آن‌ها استفاده می‌کنیم که سایر روش‌های تحلیل سیستم با شکست مواجه شوند یا اینکه انجام آن‌ها دشوار باشد.

فیلم آموزش کنترل مدرن و پیاده سازی در متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

بُعد گرامیان‌هایی که در اینجا معرفی می‌شود، برابر با بعد ماتریس سیستم $$A$$، یعنی $$ p \times p $$، است و آن‌ها را در فرم عمومی سیستم‌های تغییر پذیر با زمان خطی می‌نویسیم. برای نوشتن آن‌ها در قالب سیستم‌های خطی تغییر ناپذیر با زمان (LTI)، جایگزینی‌های زیر را انجام می‌دهیم:

$$ \large \phi ( t , \tau ) \to e ^ { A ( t - \tau ) } $$

$$ \large \phi' ( t , \tau ) \to e ^ { A' ( t - \tau ) } $$

که در آن، $$\phi'$$ ترانهاده $$\phi$$ است.

گرامیان دسترسی پذیری با انتگرال زیر تعریف می‌شود:

$$ \large W _ r ( t _ 0 , t _ 1 ) = \int _ { t _ 0 } ^ { t _ 1 } \phi ( t _ 1 , \tau ) B ( \tau ) B' ( \tau ) \phi' ( t _ 1 , \tau ) d \tau $$

سیستم دسترسی پذیر است، اگر رتبه گرامیان دسترسی پذیری برابر با رتبه ماتریس سیستم باشد:

$$ \large \operatorname{rank}(W_r) = p $$

گرامیان کنترل پذیری

گرامیان کنترل پذیری سیستم $$(A,B)$$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ \large W _ c ( t _ 0 , t _ 1 ) = \int _ { t _ 0 } ^ { t _ 1 } \phi ( t _ 0 , \tau ) B ( \tau ) B' ( \tau ) \phi' ( t _ 0 , \tau ) d \tau $$

فیلم آموزش سیستم های کنترل خطی در فرادرس

کلیک کنید

سیستم کنترل پذیر است، اگر رتبه گرامیان کنترل پذیری برابر با رتبه ماتریس سیستم باشد:

$$ \large \operatorname {rank} ( W _ c ) = p $$

اگر سیستم تغییرناپذیر با زمان باشد، دو نکته مهم وجود خواهد داشت: اول اینکه گرامیان دسترسی پذیری و گرامیان کنترل پذیری به یک معادله منجر خواهند شد. بنابراین، در سیستم‌های LTI، کافی است یکی از گرامیان‌ها را پیدا کنیم. دومین نکته این است که گرامیان کنترل پذیری را می‌توان با حل معادله لیاپانوف زیر نیز به دست آورد:

$$ \large A W _ c + W _ c A' = - B B' $$

با استفاده از معادله اخیر می‌توانیم گرامیان کنترل پذیری را با استفاده از توابع موجود محاسبه کنیم.

رویت پذیری

گاهی ممکن است به دلایل زیر نتوان متغیرهای یک سیستم را اندازه‌گیری کرد:

1. موقعیت متغیرهای حالتِ خاص از نظر فیزیکی قابل دسترسی نباشد (مانند یک خازن یا یک فنر).
2. ابزار مناسبی برای اندازه‌گیری متغیر حالت وجود نداشته باشد یا ممکن است واحد متغیر حالت به گونه‌ای باشد که دستگاه اندازه‌گیری برای آن نداشته باشیم.
3. متغیر حالت یک متغیر ساختگی باشد که مفهوم فیزیکی نداشته باشد.

فیلم آموزش جبر خطی با متلب در فرادرس

کلیک کنید

اگر به هر یک از دلایل بالا نتوانیم متغیری را مستقیماً مشاهده کنیم، لازم است تنها با استفاده از رابطه ورودی/خروجی و تاریخچه خروجی سیستم از زمان آغاز به کار مقادیر متغیرهای حالت درونی را محاسبه کنیم یا تخمین بزنیم. به عبارت دیگر باید تحقیق کنیم که آیا این امکان وجود دارد با مشاهده عملکرد خارجی سیستم (ورودی و خروجی)، تعیین کنیم که درون آن (متغیرهای حالت درونی سیستم) چه اتفاقی رخ می‌دهد. تعریف زیر درباره رویت پذیری به این پرسش پاسخ خواهد داد.

رویت پذیری: سیستمی با حالت اولیه $$ x ( t _ 0 )$$ را رویت پذیر یا مشاهده پذیر (Observable) می‌گوییم، اگر و فقط اگر بتوان مقدار حالت اولیه را از خروجی $$y (t)$$ سیستم که در بازه $$ t_0< t < t _ f $$ داده شده است، تعیین کرد. اگر نتوان حالت اولیه را تعیین کرد، سیستم رویت ناپذیر است.

رویت پذیری کامل: سیستمی را کاملاً رویت پذیر (Completely Observable) می‌نامیم که همه حالت‌های اولیه ممکن آن را بتوان مشاهده کرد. سیستمی که این تعریف درباره آن صدق نکند را مشاهده ناپذیر یا رویت ناپذیر می‌نامیم.

آشکاری پذیری: یک سیستم را آشکاری پذیر (Detectable) می‌گوییم، اگر همه حالت‌هایی از آن که قابل رویت نیستند، به صورت مجانبی به صفر میل کنند.

ساخت پذیری: سیستمی را ساخت پذیر (Constructable) می‌نامیم که حالت کنونی آن را بتوان از ورودی‌ها و خروجی‌های کنونی و گذشته‌اش تعیین کرد. اگر یک سیستم رویت پذیر باشد، ساخت پذیر نیز خواهد بود.

حالت $$x_i$$ یک سیستم در زمان $$t_i$$ رویت ناپذیر است، اگر پاسخ ورودی صفر سیستم برای همه زمان‌های $$t$$ صفر باشد. اگر سیستمی رویت پذیر باشد، آنگاه تنها حالتی که یک خروجی صفر را برای همه زمان‌ها تولید می‌کند، حالت صفر است. از این مفهوم می‌توانیم برای تعریف عبارت رویت پذیری حالت استفاده کنیم.

رویت‌ پذیری حالت: سیستمی را کاملاً رویت پذیر حالت در زمان $$t_0$$ می‌نامیم، یا زوج $$ (A,C)$$ در لحظه $$t _0 $$ رؤیت‌پذیر حالت است که تنها حالتی از آن که در زمان $$t_0$$ رویت ناپذیر است، حالت صفر $$ x = 0 $$ باشد.

حالت $$x$$ را در زمان $$t_1$$ ساخت ناپذیر می‌گوییم، اگر هر زمان محدود $$ t < t _ 1$$ پاسخ ورودی صفر سیستم در همه زمان‌های $$t$$ صفر باشد.

سیستمی در زمان $$t_1$$ کاملاً ساخت پذیر حالت است، اگر تنها حالت  $$x$$ که در $$t_0$$ ساخت ناپذیر است، برابر با $$ x = 0 $$ باشد.

ماتریس رویت پذیری

رؤیت‌پذیری یک سیستم فقط به حالت‌ها و خروجی سیستم وابسته است. بنابراین، می‌توانیم ورودی‌ها را از معادلات حالت حذف کنیم:

$$ \large \begin{align*} x' ( t ) & = A x ( t ) \\
y ( t ) & = C x ( t )
\end {align*}
$$

در معادلات بالا، ابعاد ماتریس‌ها به صورت زیر است:

• بعد ماتریس $$A$$: $$p\times p $$؛
• بعد ماتریس $$B$$: $$p\times q $$؛
• بعد ماتریس $$C$$: $$r\times p $$؛
• بعد ماتریس $$D$$: $$r\times q $$.

می‌توان نشان داد که رویت پذیری سیستم فقط وابسته به ماتریس‌های $$A$$ و $$C$$ است. با این دو ماتریس می‌توانیم رویت پذیری سیستم را تعیین کنیم. ماتریس رویت پذیری را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$ \large Q = \begin {bmatrix} C \\ C A \\ C A ^ 2 \\\vdots \\ C A ^ { p - 1 } \end {bmatrix} $$

می‌توان نشان داد که سیستم رویت‌ پذیر است، اگر و تنها اگر رتبه ماتریس $$Q$$ برابر با $$p$$ باشد. ماتریس $$Q$$ دارای ابعاد $$ pr \times p $$ است.

با استفاده از دستور obsv در متلب می‌توان ماتریس رویت پذیری را به صورت زیر محاسبه کرد:

1Q=obsv(A,C)

که در آن، $$A$$ و $$C$$ ماتریس‌های معادلات حالت هستند که در بالا تعریف شد. برای بررسی رویت پذیری سیستم نیز می‌توانیم از دستور rank متلب استفاده کنیم.

گرامیان رویت پذیری

گرامیان رویت پذیری را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$ \large W _ o ( t _ 0 , t _ 1 ) = \int _ { t _ 0 } ^ { t _ 1 } \phi' ( \tau , t _ 0 ) C' ( \tau ) C ( \tau ) \phi ( \tau , t _ 0 ) d \tau $$

یک سیستم در زمان $$ t _ 0 < t < t _ 1$$ کاملاً رویت پذیر حالت است اگر و تنها اگر رتبه گرامیان رویت پذیری آن برابر با بعد $$p$$ ماتریس $$A$$‌ باشد.

اگر سیستم $$(A, B , C , D)$$ تغییرناپذیر با زمان باشد، می‌توان گرامیان رویت پذیری را با حل معادله لیلاپانوف زیر به دست آورد:

$$ \large A'W_o + W_oA = -C'C $$

گرامیان ساخت پذیری

گرامیان ساخت پذیری را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$ \large W _ { c n } ( t _0 , t _ 1) = \int _ { t _ 0 } ^ { t _ 1 } \phi' ( \tau , t _ 1 ) C' ( \tau ) C ( \tau ) \phi ( \tau , t _1 ) d \tau $$

یک سیستم در لحظه اولیه $$t_0$$ کاملاً رویت پذیر حالت است، اگر و تنها اگر زمان محدود $$t_1$$ وجود داشته باشد، به گونه‌ای که:

$$ \large \operatorname {rank} ( W _ 0 ) = \operatorname {rank} ( W _ { c n } ) = p $$

توجه کنید که گرامیان‌های ساخت پذیری و رویت پذیری بسیار شبیه هستند و معمولاً می‌توان آن‌ها را تنها با جایگذاری مقادیر مختلف در ماتریس انتقال حالت به صورت همزمان محاسبه کرد.

قاعده دوگانی

مفاهیم مربوط به کنترل پذیری و رویت پذیری بسیار مشابه هستند. در واقع، یک رابطه محکم بین این دو مفهوم وجود دارد. می‌توان گفت که سیستم $$(A,B)$$ کنترل پذیر است، اگر و تنها اگر سیستم $$(A',C,B',D)$$ رویت پذیر باشد که در آن، $$A' $$ و $$B'$$ به ترتیب، ترانهاده ماتریس‌های $$A $$ و $$B$$ هستند. این گفته را می‌توان با قرار دادن $$A'$$ به جای $$A$$ و $$B'$$ به جای $$C$$ در گرامیان رویت پذیری اثبات کرد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• معیار پایداری راث هرویتز — به زبان ساده
• تقلب نامه (Cheat Sheet) کنترل خطی
• جایابی قطب — از صفر تا صد

^^