نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر با جواب

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با اتحاد چاق و لاغر و مباحث مربوط به آن آشنا شدیم. در این آموزش، ضمن مرور اجمالی اتحاد چاق و لاغر و ویژگی‌های آن، چند نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر را همراه با حل آن‌ها بیان می‌کنیم.

اتحاد چاق و لاغر چیست ؟

اتحاد چاق و لاغر در اصل نامی است که بر اتحاد مجموع یا تفاضل مکعب دو جمله نهاده شده است. دو جمله $$ a $$ و $$ b $$ را در نظر بگیرید.

اتحاد چاق و لاغر برای مجموع مکعب‌های دو جمله به‌صورت زیر است:

اتحاد چاق و لاغر برای تفاضل مکعب‌های دو جمله به‌صورت زیر است:

اما نام چاق و لاغر از کجا آمده است‌؟ اگر به سمت راست دو تساوی نگاه کنیم، می‌بینیم که در آن‌ها دو عبارت در هم ضرب شده است که یکی از آن‌ها دو جمله دارد و از نظر ظاهری کوچک‌تر است و دیگری سه جمله دارد و بزرگ‌تر است. به عبارت کوچک لاغر و به عبارت بزرگ چاق می‌گویند. به همین دلیل این اتحاد به اتحاد چاق و لاغر معروف شده است.

اثبات اتحاد چاق و لاغر

در ادامه، اثبات اتحاد چاق و لاغر را برای دو مورد مجموع و تفاضل بیان می‌کنیم.

اثبات اتحاد چاق و لاغر مجموع

برای اثبات اتحاد چاق و لاغر مجموع باید تساوی زیر را ثایت کنیم:

$$ \large (a+b)(a^{2}–ab+b^{2})=a^{3}+b^{3} $$

از خاصیت‌ توزیع‌پذیری یا پخش‌پذیری استفاده می‌کنیم. سمت چپ عبارت بالا را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

$$ \large \left ( a \right ) \left ( a ^ { 2 } –a b + b ^ { 2 } \right ) + \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } – a b + b ^ { 2 } \right ) $$

حال $$a$$ را در پرانتز اول ضرب می‌کنیم:

$$ \large \left ( a ^ { 3 } –a ^ { 2 } b + a b^ { 2 } \right ) + \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } \right ) $$

در ادامه، $$b$$ را در پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

$$ \large \left ( a ^ { 3 } – a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } \right ) + \left ( a ^ { 2 } b – a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \right ) $$

با بازآرایی جمله‌های مشابه در کنار یکدیگر، خواهیم داشت:

$$ \large a ^ { 3 } - a ^ { 2 } b + a^ { 2 } b+ a b ^ { 2 } - a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } $$

در نهایت، با حذف جملات قرینه، به عبارت زیر خواهیم رسید:

$$ \large a ^ 3 + b ^ 3 $$

و اثبات کامل می‌شود.

اثبات اتحاد چاق و لاغر تفاضل

باید تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$ \large (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3} $$

با استفاده از خاصیت‌ توزیع‌پذیری یا پخش‌پذیری، سمت چپ عبارت بالا را به‌شکل زیر می‌نویسیم:

$$ \large \left ( a \right ) \left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right ) - \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right ) $$

اکنون $$a$$ را در پرانتز اول ضرب می‌کنیم:

$$ \large \left ( a ^ { 3 } +a ^ { 2 } b + a b^ { 2 } \right ) - \left ( b \right ) \left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } \right ) $$

در ادامه، $$b$$ را در پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

$$ \large \left ( a ^ { 3 } + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } \right ) - \left ( b a ^ { 2 } + a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \right ) $$

با کنار هم قرار دادن جمله‌های مشابه، می‌توان نوشت:

$$ \large a ^ { 3 } + a b ^ { 2 } + b a^ { 2 } - b a ^ { 2 } - a b ^ { 2 } - b ^ { 3 } $$

در نهایت، با حذف جملات قرینه، به عبارت زیر می‌رسیم:

$$ \large a ^ 3 - b ^ 3 $$

و اثبات کامل می‌شود.

مثال‌های نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

در این بخش، چند نمونه سوال از اتحاد چاق و لاغر را به همراه حل آن‌ها بررسی می‌کنیم.

مثال اول نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت زیر را تجزیه کنید:

$$ \large 27 p ^ 3 + q  ^ 3 $$

حل: باید هر یک از جملات را به‌صورت یک جمله به توان سه بنویسیم:

$$ \large 2 7 p ^ { 3 } +q ^ { 3 } = ( 3 p ) ^ { 3 } + ( q ) ^ { 3 } $$

از اتحاد چاق و لاغر برای مجموع دو مکعب استفاده و عبارت را به‌صورت زیر تجزیه می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned}
2 7 p ^ { 3 } + q ^ { 3 } & = ( 3 p ) ^ { 3 } + ( q ) ^ { 3 } \\
& = ( 3 p + q ) \left ( ( 3 p ) ^ { 2 } - 3 p q + q ^ { 2 } \right ) \\
& = ( 3 p + q ) \left ( 9 p ^ { 2} - 3 p q + q ^ { 2 } \right )
\end {aligned} $$

مثال دوم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت جبری زیر را تجزیه کنید:

$$ \large 4 0 u ^ { 3 } - 6 2 5 v ^ { 3 } $$

حل: ابتدا می‌توانیم از $$5 $$ فاکتور بگیریم:

$$ \large 4 0 u ^ { 3 } - 6 2 5 v ^ { 3 } = 5 \left ( 8 u ^ { 3 } -1 2 5 v ^ { 3 } \right ) $$

سپس، هر دو جمله داخل پرانتز بالا را به‌صورت مکعب می‌نویسیم:

$$ \large 8 u ^ { 3 } - 1 2 5 v ^ { 3 } = ( 2 u ) ^ { 3 } - ( 5 v ) ^ { 3 } $$

در نهایت، از اتحاد چاق و لاغر استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned}
5 \left ( 8 u ^ { 3 } - 1 2 5 v ^ { 3 } \right ) & = 5 \left ( ( 2 u ) ^ { 3 } - ( 5 v ) ^ { 3 } \right ) \\
& = 5 \left [ ( 2 u - 5 v ) \left ( ( 2 u ) ^ { 2 } + 1 0 u v + ( 5 v ) ^ { 2 } \right ) \right ] \\
& = 5 ( 2 u - 5 v ) \left ( 4 u ^ { 2 } + 1 0 u v + 2 5 v ^ { 2 } \right )
\end {aligned} $$

مثال سوم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت $$ 8 x^{3}-27 $$ را تجزیه کنید.

حل: با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {aligned}
8 x ^ { 3 } - 2 7 & = ( 2 x ) ^ { 3 } - ( 3 ) ^ { 3 } \\
& = ( 2 x - 3 ) \left [ ( 2 x ) ^ { 2 } + ( 2 x ) ( 3 ) + 3 ^ { 2 } \right ] \\
& = ( 2 x - 3 ) \left ( 4 x ^ { 2 } + 6 x + 9 \right )
\end {aligned} $$

مثال چهارم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

حاصل عبارت $$ \large ( x + y ) ^ 3 + ( x - y ) ^ 3 $$ را به‌دست آورید.

حل: اگر به بسط این عبارت دقت کنیم، می‌بینیم که جملات دوم و چهارم حذف می‌شوند و می‌توان جملات اول و سوم را با هم ترکیب کرد. بنابراین، می‌نویسیم:

$$ \large ( x + y ) ^ 3 + ( x - y ) ^ 3 = 2 x ^ 3 + 6 x y ^ 2 . $$

یک راه دیگر برای تجزیه این عبارت، استفاده از اتحاد چاق و لاغر است:

$$ \large \begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 + ( x - y ) ^ 3 & = \big [ ( x + y ) + ( x - y ) \big ] \big [ ( x + y ) ^ 2 - ( x + y ) ( x- y ) + ( x - y ) ^ 2 \big ] \\ & = 2 x \times \big [ x ^ 2 + 3 y ^ 2 \big] \\ & = 2 x ^ 3 + 6 x y ^ 2 \end {aligned} $$

مثال پنجم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

فرض کنید $$ x $$ و $$ y $$ دو عدد حقیقی باشند، به‌طوری که $$ x + y = 7 $$ و $$ x ^ 3 + y ^ 3 = 1 3 3 $$. مقدار $$ x y $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {aligned}
x ^ 3 + y ^ 3 & = ( x + y ) ( x ^ 2 + y ^ 2 - x y ) \\
1 3 3 & = 7 ( x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy - 3 x y ) \\
1 9 & = ( x + y ) ^ 2 - 3 x y \\
1 9 & = 4 9 - 3 x y \\
3 0 & = 3 x y \\
1 0 & = x y
\end {aligned} $$

بنابراین، $$ x y = 10 $$ است.

مثال ششم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

با استفاده از اتحاد $$ ( a + b ) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 a b ( a + b ) ( a + b ) $$، مقدار زیر را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اتحاد داده‌شده، خواهیم داشت:

$$ \large 6 4 0 0 0 = 6 4 \times { 1 0 } ^ { 3 } = { 2} ^ { 6 } \times { 1 0 } ^ { 3 } = { { \left ( { { 2 } ^ { 2 } } \right ) } ^ { 3 } } \times { { 1 0 } ^ { 3 } } $$

بنابراین:

همچنین، تساوی $$ 68921 = { 4 1 } ^ { 3 } $$ را داریم. در نتیجه، خواهیم داشت:

و در نتیجه:

در نهایت، جواب به‌صورت زیر است:

$$ \large \sqrt { 9 } = \sqrt { { 3 } ^ { 2 } } = 3 $$

مثال هفتم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

معادله زیر را در نظر بگیرید:

یکی از جواب‌های این معادله به‌فرم $$ \frac a b $$ است که $$ a $$ و $$ b $$ اعداد صحیح مثبتی هستند که نسبت به هم اول‌اند. مقدار $$ a + b $$ را به‌دست آورید.

حل: دو مقدار $$ \alpha = \sqrt [ 3 ] { 1 + \sqrt { x } } $$ و $$ \beta = \sqrt [ 3 ] { 1 - \sqrt { x } } $$ را در نظر بگیرید. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align}
( \alpha + \beta ) ^ 3 = 5
\\
\alpha ^ 3 + 3 \alpha ^ 2 \beta + 3 \alpha \beta ^ 2 + \beta ^ 3 = 5
\end {align} $$

می‌دانیم:

$$ \large \alpha ^ 3 + \beta ^ 3 = 1 + \sqrt { x } + 1 - \sqrt { x } = 2 $$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align} & 2 + 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 5 \\ & \Rightarrow 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 3 \\ & \Rightarrow \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 1
\end {align} $$

در نهایت، جواب به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large \begin {align}
& \alpha ^ 3 \beta ^ 3 ( \alpha + \beta ) ^ 3 = 1 \quad \Rightarrow ( 1 + \sqrt { x } ) ( 1 - \sqrt { x } ) ( 5 ) = 1
\\
& \Rightarrow 5 ( 1 - x ) = 1 \quad \Rightarrow 1 - x = \dfrac { 1 } { 5 } \quad \\ & \Rightarrow x = \frac { 4 } { 5} = \frac { a }{ b } \quad \Rightarrow a + b = 9
\end {align} $$

یک راه دیگر برای حل مسئله، این است که معادله را به‌صورت زیر بنویسیم:

و از اتحاد معروف زیر استفاده کنیم:

$$ \large a ^ { 3 } +b ^ { 3 } + c ^ { 3 } - 3 a b c = ( a + b + c ) (a ^ { 2 } +b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a b - b c - c a ) $$

اگر $$ a + b + c = 0 $$، آن‌گاه $$ a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 3 a b c $$. با قرار دادن $$ a = \sqrt [ 3 ] {1 + \sqrt { x } } $$ و $$ b = \sqrt [ 3 ] { 1 - \sqrt { x }} $$ و $$ c =\sqrt [ 3 ] { - 5 } $$، خواهیم داشت:‌

با ساده‌سازی این عبارت، مقدار $$ x = \frac 45 $$ به‌دست می‌آید و جواب نهایی $$ a + b = 9 $$ خواهد بود.

مثال هشتم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت $$ x ^ 3 + 125 $$ را تجزیه کنید.

حل: با توجه به تساوی $$125 = 5 ^ 3 $$، این عبارت را می‌توانیم با استفاده از اتحاد چاق و لاغر به‌صورت زیر تجزیه کنیم:

$$ \large \begin {aligned}
x ^ { 3 } + 1 2 5 & = ( x ) ^ { 3 } + (5 ) ^ { 3 } \\
& = ( x + 5 ) \left [ x ^ { 2 } - ( x ) ( 5 ) + 5 ^ { 2 } \right ] \\
& = ( x + 5 ) \left ( x ^ { 2 } - 5 x + 2 5 \right )
\end {aligned} $$

مثال نهم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت $$16m^{3}+54n^{3}$$ را تجزیه کنید.

حل: ابتدا از $$2$$ فاکتور می‌گیریم:

$$ \large 2 \left ( 8 m ^ { 3 } + 2 7 n ^ { 3 } \right ) $$

با توجه به تساوی‌های $$8m^3= (2m)^3$$ و $$27n^3=(3n)^3$$، عبارت بالا را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large 2 [( 2 m )^ { 3 } + (9 n ^ { 3 } ) ] $$

با در نظر گرفتن دو جمله $$a=2m$$ و $$b=3n$$ و استفاده از اتحاد چاق و لاغر، خواهیم داشت:

$$ \large 2 \left [ (2 m )^2 + ( 3 n )^2 \right ] = 2 \left ( 2 m + 3 n \right ) \left [ \left ( 2 m \right ) ^{ 2 } - \left ( 2 m \right ) \left ( 3 n \right ) + \left ( 3 n \right ) ^ { 2 } \right ] $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large 2 \left ( 2 m + 3 n \right ) \left [ 4 m ^ { 2} - \left ( 2 m \right ) \left ( 3 n \right ) + 9n ^ { 2 } \right ] $$

و در نهایت، عبارت مورد نظر به‌صورت زیر تجزیه خواهد شد:

$$ \large 2 \left ( 2 m + 3 n \right ) \left ( 4 m^ { 2 } - 6 m n + 9 n ^ { 2 } \right ) $$

مثال دهم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت $$r^{9}-8s^{6}$$ را تجزیه کنید.

حل: این عبارت را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large \left ( r ^ { 3 } \right ) ^ { 3 } - \left ( 2 s ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } $$

با در نظر گرفتن $$a=r^{3}$$ و $$b=2s^{2}$$، می‌بینیم که عبارت بالا به صورت $$ a ^ 3 - b ^ 3 $$ است. بنابراین، می‌توانیم از اتحاد چاق و لاغر زیر استفاده کنیم:

$$ \large a ^ 3 - b ^ 3 = \left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right) $$

با تغییر متغیر $$a=r^{3}$$ و $$b=2s^{2}$$، خواهیم داشت:

$$ \large \left ( r ^ { 3 } - 2 s ^ { 2 } \right ) \left [ \left ( r ^ { 3 } \right ) ^ { 2 } + \left ( r ^ { 3 } \right ) \left ( 2 s ^ { 2 } \right ) + \left ( 2 s ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] $$

در نهایت، تجزیه عبارت به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \left ( r ^ { 3 } - 2 s ^ { 2 } \right ) \left ( r ^ { 6 } + 2 r ^ { 3 } s ^ { 2 } + 4 s ^ { 4 } \right ) $$

مثال یازدهم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت $$ 1 - 216 { x ^ 3 } { y ^ 3 } $$ را تجزیه کنید.

حل: این مثال شاید در نگاه نخست دشوار به نظر برسد. اما با کمی دقت و استفاده از فرمول‌های اتحاد چاق و لاغر، می‌توانیم آن را حل کنیم. اگر کمی دقت کنیم، مشاهده می‌کنیم که می‌توان دو تساوی $$ 1 = (1)(1)(1) = 1 ^ 3 $$ و $$ 216 = (6)(6)(6) = 6 ^ 3 $$ را نوشت و به سادگی، عبارت را به صورت زیر تجزیه کرد:

$$ \large \begin {aligned}
1 - 216 x ^ { 3 } y ^ { 3 } & = ( 1 ) ^ { 3 } - ( 6 x y ) ^ { 3 } \\
& = ( 1 - 6 x y ) \left [ ( 1 ) ^ { 2 } + ( 1 ) ( 6 x y ) + ( 6 x y ) ^ { 2 } \right ] \\
& = ( 1 - 6 x y ) \left ( 1 + 6 x y + 3 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } \right )
\end {aligned} $$

مثال دوازدهم نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر

عبارت $$ x ^ 6 - y ^ 6 $$ را تجزیه کنید.

حل: این عبارت را می‌توان به دو صورت زیر نوشت:

$$ \large \begin{align*} x ^ 6 - y ^ 6 & = (x^2)^ 3 - (y^2)^3 \\
x ^ 6 - y ^ 6 &= (x ^ 3 )^ 2 - (y ^ 3 ) ^ 2 \end {align*} $$

با هر دو تساوی می‌توان مسئله را حل کرد. ابتدا فرض کنید اولی، یعنی تفاضل مکعب دو جمله $$x^2$$ و $$ y ^ 2 $$ را در نظر می‌گیرم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned}
x ^ { 6 } - y ^ { 6 } & = \left ( x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } - \left ( y ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } \\
& = \left ( x ^ 2 - y ^ 2 \right ) \left ((x ^ 2 )^ 2 + (x^2 ) (y ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ^ 2 \right ) \\ & = (x-y)(x+y) (x ^ 4 + x^2 y ^2+ y ^ 4 ) \\ & = ( x - y ) ( x + y) (x^ 4 + 2 x ^ 2 y ^ 2 - x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 4 )\\ & = ( x - y ) ( x + y) [ ( x ^ 4 + 2 x ^2 y ^ 2 + y ^ 4 )- x ^ 2 y ^ 2 ] \\
& = ( x - y ) ( x + y) [ ( x ^2+ y ^ 2 ) ^ 2- x ^ 2 y ^ 2 ] \\
& = ( x - y ) ( x + y) [(x ^ 2 + y ^ 2 - xy )(x ^ 2 + y ^ 2 + xy)] \\ & =
( x - y ) ( x + y) (x ^ 2 - xy + y ^ 2)(x ^ 2 + xy + y ^ 2)
\end {aligned} $$

روش دیگر، در نظر گرفتن اتحاد مزدوج برای دو جمله $$x^3$$ و $$y^ 3 $$ و سپس استفاده از اتحاد چاق و لاغر است:

$$ \large \begin {aligned}
x ^ { 6 } - y ^ { 6 } & = \left ( x ^ { 3 } \right ) ^ { 2 } - \left ( y ^ { 3 } \right ) ^ { 2 } \\
& = \left ( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } \right ) \left ( x ^ { 3 } - y ^ { 3 } \right ) \\
& = \left [ ( x + y ) \left ( x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } \right ) \right ] \left [ ( x - y ) \left ( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right ) \right ] \\
& = ( x + y ) \left ( x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } \right ) ( x - y ) \left ( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right )
\end {aligned} $$

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

جمع‌بندی

در این آموزش، به‌طور اجمالی با اتحاد چاق و لاغر آشنا شدیم. همچنین، چند نمونه سوال اتحاد چاق و لاغر را همراه با حل آن‌ها ارائه کردیم.