معکوس تعمیم یافته ماتریس — به زبان ساده

در ریاضیات و بخصوص در جبر ماتریس‌ها، معکوس تعمیم یافته (Generalized Inverse) یک عنصر مثل $$X$$، عنصر دیگری مثل $$Y$$ است که دارای ویِژگی‌هایی مانند معکوس واقعی است. البته این ویژگی‌ها کاملا با مفهوم معکوس اصلی مطابقت ندارند. در این نوشتار به معکوس تعمیم یافته ماتریس اشاره می‌کنیم و خصوصیات آن را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

برای آشنایی بیشتر با مفاهیم به کار رفته در این نوشتار بهتر است ابتدا نوشتارهای دیگر مجله فرادرس در مورد جبر ماتریس‌ها مانند ماتریس معکوس ۳×۳ — به زبان ساده و ضرب ماتریس‌ها – به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن مطالب دترمینان یک ماتریس — به زبان ساده و حل معادله درجه ۳ — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

معکوس تعمیم یافته ماتریس

منظور از تعریف معکوس تعمیم یافته ماتریس، معرفی ماتریسی است که در عمل ضرب ماتریس‌ها بتواند نقش معکوس را ایفا کند. بخصوص در زمانی که ماتریس‌ها معکوس پذیر نیستند، استفاده از معکوس تعمیم یافته ماتریس کارآمد است. البته به یاد دارید که یک ماتریس مربعی زمانی معکوس‌پذیر است که دترمینان (Determinant) آن مخالف صفر باشد.

فیلم آموزش ماتریس ها و جبر خطی – حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

نکته: اگر ماتریس معکوس‌پذیر باشد، شیوه ایجاد معکوس تعمیم یافته ماتریس باعث ایجاد همان معکوس ماتریس خواهد شد.

ماتریس $$A$$ با مرتبه $$n \times m$$ را در نظر بگیرید. می‌گوییم ماتریس $$A^g$$ با ابعاد $$m \times n$$ معکوس تعمیم یافته $$A$$ است اگر رابطه زیر برقرار باشد.

$$\large A A^g A = A$$

تعریف ماتریس معکوس تعمیم یافته

ماتریس $$A _{n\times m}$$ را در نظر بگیرید فرض کنید $$x$$ و $$y$$ نیز بردارهایی هستند که در رابطه و سیستم معادلات خطی زیر صدق می‌کنند.

$$\large A x = y$$

رابطه 1

نکته: واضح است که $$y$$‌ باید متعلق به فضای ستونی ماتریس $$A$$‌ باشد. یعنی داریم $$y \in \cal{R}(A)$$.

اگر $$A$$ نامنفرد (Non Singular) و در نتیجه $$n = m$$ باشد، پاسخ این دستگاه براساس معکوس ماتریس $$A$$ به صورت زیر خواهد بود.

$$\large x = A^{-1} y$$

البته مشخص است که برای ماتریس نامنفرد $$A$$ داریم:

$$A A^{-1}A = A$$

نکته: ماتریس مربعی زمانی نامنفرد است که سطرهای آن ترکیب خطی از یکدیگر باشند. البته این موضوع برای ستون‌های چنین ماتریسی نیز صادق است. در این صورت دترمینان این ماتریس، برابر با صفر خواهد بود و نمی‌توان معکوس آن را بدست آورد.

حال فرض کنید که $$A$$ مربعی نباشد؛ یعنی $$n \neq m$$ یا اینکه یک ماتریس مربع منفرد (Square and singular) باشد. در این صورت دترمینان آن وجود نداشته یا صفر است. در این صورت برای حل دستگاه مربوط به رابطه ۱، احتیاج به ماتریسی مثل $$G$$ داریم که از مرتبه $$m \times n$$ بوده و برای هر $$y \in \cal{R}(A)$$‌ داشته باشیم.

$$\large A G y = y$$

رابطه ۲

در نتیجه می‌توانیم جواب‌های دستگاه معادلات خطی مربوط به رابطه ۱ را با توجه به رابطه 2 به صورت زیر در نظر بگیریم.

$$\large x = G y$$

به این ترتیب منظور از معکوس تعمیم یافته ماتریس $$A$$ همان $$G$$ خواهد بود که در رابطه زیر صدق می‌کند.

$$\large A_{n \times m} G_{ m \times n} A_{n \times m} = A_{n \times m}$$

بر این اساس ماتریس معکوس تعمیم یافته یا g-معکوس (g-inverse) تعریف می‌شود.

معکوس تعمیم یافته: $$G$$ را معکوس تعمیم یافته ماتریس $$A$$ گویند، اگر $$A G A = A$$ باشد. واضح است که $$A^{-1}$$‌ نیز در این تعریف صدق می‌کند. پس معکوس ماتریس $$A$$، یعنی $$A^{-1}$$ یک ماتریس معکوس تعمیم یافته برای $$A$$ نیز هستند. به همین علت گاهی $$A^{-1}$$‌ را معکوس عادی (Regular Inverse) نیز می‌نامند.

انواع مختلف ماتریس معکوس تعمیم یافته

اگر $$A \in R^{n \times m }$$ یک ماتریس و $$A ^g \in R^{m \times n }$$ معکوس تعمیم یافته آن باشند، آنگاه روش‌ها و شیوه‌های مختلفی برای تعیین ماتریس معکوس تعمیم یافته ارائه می‌شود.

1. $$A A ^{g} A = A$$
2. $$A^g A A^g = A^g$$
3. $$(A A^g ) ^* =  A A^g$$
4. $$(A^g A ) ^* = A^g A$$ که در رابطه اخیر منظور از «*»، همان «ماتریس الحاقی» یا «ترانهاده مزدوج» (Conjugate Transpose) ماتریس است.

• اگر $$A^g$$ در اولین رابطه صدق کند، آن را معکوس تعمیم یافته (Generalized Inverse) می‌گویند.
• اگر ماتریسی در رابطه ۱ و ۲ صادق باشد آن را ماتریس معکوس تعمیم یافته انعکاسی یا بازتابی (Reflexive Generalized Inverse) می‌نامند.
• اگر ماتریسی در همه چهار شرط یاد شده صدق کند، آن را «ماتریس شبه-وارون» (Pseudo Inverse) نام‌گذاری می‌کنند.

فیلم آموزش ساختارهای جبری، گراف ها و ماتریس ها در فرادرس

کلیک کنید

نکته: این شرایط و قوانین برای معکوس تعمیم یافته توسط ریاضیدان انگلیسی «سر راجر پنروز» (Sir Roger Penrose) براساس فعالیت‌های گذشته «الیاکیم مور» (Eliakim Moore)، ابداع و به کار گرفته شده. به همین جهت گاهی ماتریس شبه وارون را به نام «معکوس مور-پنروز» (Moore-Penrose Inverse) نیز می‌شناسند.

با توجه به تعریفی که برای معکوس تعمیم یافته ماتریس بیان شد، ممکن است این ماتریس یکتا نباشد، ولی برای ماتریس نامنفرد مربعی $$A$$ معکوس تعمیم یافته همان وارون ماتریس $$A$$ بوده و به صورت منحصر به فردی بدست می‌آید.‌ در این حالت می‌نویسیم:

$$\large A^g = A^{-1}$$

 در مواقع دیگر مثل منفرد بودن ماتریس $$A$$، ممکن است بی‌نهایت جواب و بی‌نهایت ماتریس به عنوان ماتریس $$G$$‌ در رابطه ۲ وجود داشته باشند که در شرط ۱ صدق کنند. ولی باید توجه داشت، ماتریسی که در شرایط چهارگانه ذکر شده صادق باشد، منحصر به فرد است.

با توجه به تنوع ماتریس وارون تعمیم یافته، در این قسمت فقط با معکوس تعمیم یافته یک طرفه ماتریس‌ها آشنا می‌شویم.

وارون یا معکوس تعمیم یافته یک طرفه

از آنجایی که ماتریس $$A$$، مربعی نبوده و عمل ضرب ماتریس $$G$$ در $$A‌$$ ممکن است از راست یا چپ صورت گیرد، معکوس تعمیم یافته یک طرفه را به دو شکل معکوس راست یا چپ می‌شناسند. ابتدا ماتریس $$A$$ با ابعاد $$n \times m$$ را در نظر بگیرید که دارای رتبه (Rank) برابر با $$n$$ است.

معکوس تعمیم یافته یک طرفه راست یا وارون راست (Right Inverse): برای ماتریس $$A$$، ماتریس $$A^{-1}_R$$ را وارون راست می‌گویند. اگر رابطه زیر برقرار باشد.

$$\large A A^{-1}_R = I_n$$

واضح است که $$I_n$$، ماتریس یکه مربعی با $$n$$ سطر و ستون است.

معکوس تعمیم یافته یک طرفه چپ یا وارون چپ (Left Inverse): ماتریس $$A^{-1}_L$$ را وارون چپ ماتریس $$A$$ گویند، اگر در رابطه زیر صدق کند.

$$\large A^{-1}_L A = I_m$$

واضح است که $$I_m$$، ماتریس یکه مربعی با $$m$$ سطر و ستون است.

کاربردهای معکوس تعمیم یافته ماتریس

در این قسمت با ذکر مثال‌هایی کاربردهای معکوس تعمیم یافته ماتریس را مشخص می‌کنیم.

فیلم آموزش جبر خطی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

ماتریس $$A$$‌ به شکل زیر را با دترمینان صفر را در نظر بگیرید. در این صورت ماتریس $$G$$ با توجه به برقراری شرایط ۱ و ۲، معکوس یا وارون انعکاسی یا بازتابی ماتریس $$A$$ خواهد بود.

$$\large { \displaystyle A = { \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}},\quad G = { \begin{bmatrix} - { \frac {5}{3}} & { \frac {2}{3}} & 0 \\[4pt] { \frac {4}{3}} & - { \frac {1}{3}} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}}$$

واضح است که $$Det(A) = 0$$ و در نتیجه $$A$$‌ نامنفرد است.

مثال ۲

در زیر ماتریس $$A$$ را مشخص کرده‌ایم که مربعی نیست. در این حالت معکوس عادی برای آن وجود ندارد. ولی می‌توان معکوس راست یا یک طرفه را برایش پیدا کرد. در اینجا ماتریس $$A^{-1}_R$$ معرفی شده که حاصل‌ضرب آن از راست در ماتریس $$A$$، یک ماتریس یکه می‌سازد.

$$\large { \displaystyle A = { \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}, \quad A_{\mathrm {R} }^{-1} =  { \begin{bmatrix} - { \frac {17}{18}} & { \frac {8}{18}} \\[4pt] - { \frac {2}{18}} & { \frac {2}{18}} \\[4pt] { \frac {13}{18}} & - { \frac {4}{18}} \end{bmatrix}}.}$$

هر یک از ماتریس‌های معکوس تعمیم یافته را می‌توان برای حل دستگاه معادلات خطی، به کار برد. بنابراین اگر دستگاه معادلات زیر با فرض مجهول بودن $$x$$‌ و ثابت بودن $$b$$ را در نظر بگیریم

$$\large A x = b$$

در این صورت، همه پاسخ‌ها (به شرط وجود داشتن) به صورت زیر در خواهند آمد.

$$\large { \displaystyle x = A^{ \mathrm {g} } b + \left[ I - A^{ \mathrm {g} }A \right] w }$$

که در آن $$w$$ یک بردار اختیاری است و $$A^g$$ نیز معکوس تعمیم یافته ماتریس $$A$$ است.

پاسخ‌های این دستگاه در صورت موجود بودن برابر با $$A^gb$$ است و برعکس. به این معنی که می‌توان یک دستگاه براساس این بردار پاسخ‌ها ایجاد کرد که در آن $$A A^g b = b$$ باشد.

نکته: اگر ماتریس $$A$$ پر رتبه ستونی (Full Column Rank) باشد، عبارت داخل براکت در رابطه ۳ برابر با ماتریس صفر بوده و پاسخ‌ها، منحصر به فرد هستند.

ویژگی‌های معکوس تعمیم یافته ماتریس

ویژگی‌های زیر برای ماتریس معکوس تعمیم یافته و انواع آن وجود دارد و به کمک آن‌ها می‌توان معکوس تعمیم یافته ماتریس‌ها را بدست آورد.

فیلم آموزش جبر خطی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

• معکوس راست ماتریس غیرمربعی $$A$$ بوسیله رابطه زیر مشخص می‌شود به شرطی که $$A$$ پر رتبه سطری (Full Row Rank) باشد.

$$\large { \displaystyle A_{ \mathrm {R} }^{-1} = A^{ \mathsf {T}} \left( AA^{ \mathsf {T}} \right)^{-1} }$$

• معکوس چپ ماتریس غیرمربعی $$A$$ بوسیله رابطه زیر مشخص می‌شود به شرطی که $$A$$ پر رتبه ستونی (Full Column Rank) باشد.

$$\large { \displaystyle A_{ \mathrm {L} }^{-1} = \left( A A^{ \mathsf {T}} \right)^{-1} A^{ \mathsf {T}}}$$

• ماتریس $$A$$ به صورت زیر را در نظر بگیرید:

$$\large { \displaystyle A = P{ \begin{bmatrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}Q}$$

که در آن $$P$$ و $$Q$$ ماتریس‌های نامنفرد هستند. آنگاه ماتریس $$G$$ که به صورت زیر معرفی شده است، معکوس تعمیم یافته $$A$$ برای هر ماتریس دلخواه $$U , V , W$$ است.

$$\large { \displaystyle G = Q^{-1} { \begin{bmatrix} I_{r} & U \\ W & V \end{bmatrix}} P^{-1}}$$

• ماتریس $$A$$‌ با مرتبه $$r$$ را در نظر بگیرید. فرض کنید بتوان این ماتریس را به صورت بلوک‌هایی مانند زیر در نظر گرفت.

$$\large { \displaystyle A = { \begin{bmatrix} B & C \\ D & E \end{bmatrix}},}$$

که در آن $$B_{r \times r }$$ یک زیرماتریس نامنفرد از $$A$$ است. آنگاه ماتریس $$G$$‌ که در زیر دیده می‌شود، معکوس تعمیم یافته $$A$$ خواهد بود.

$$\large { \displaystyle G = { \begin{bmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}} }$$

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با معکوس تعمیم یافته ماتریس آشنا شدید. مشخص شد که بسیاری از خصوصیات معکوس ماتریس عادی برای معکوس تعمیم یافته ماتریس نیز وجود دارد که از آن‌ها برای حل دستگاه‌های خطی می‌توان استفاده کرد.