قواعد حدگیری — به زبان ساده

پیش‌تر در مطلبی در مجله فرادرس در مورد مفهوم حد و نحوه محاسبه آن صحبت شد. در این مطلب نیز قصد داریم تا در مورد قواعد حدگیری صحبت کرده و تعدادی از آن‌ها را معرفی کنیم. برخی از این ویژگی‌ها را در مطالب آینده اثبات خواهیم کرد.

قواعد حدگیری

در ابتدا فرض کنید $$\mathop { \lim } \limits _ { x \to a } f \left ( x \right )$$ و $$\mathop { \lim } \limits _ { x \to a } g \left ( x \right )$$ موجود بوده و حاصل آن‌ها برابر با مقدار ثابتِ $$c$$ باشد. در این صورت با ضرب کردن عددی ثابت در تابع، حاصل حد آن نیز تغییر نخواهد کرد. در حقیقت می‌توان رابطه زیر را بیان کرد:

$$\mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \left[ { c f \left ( x \right ) } \right] = c \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } f \left ( x \right )$$

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین می‌توان به منظور محاسبه حد، عدد ثابت را از مقدار حد فاکتور گرفت. حال فرض کنید مقدارِ حدِ دو تابع را در عدد مشخصی داریم. از طرفی می‌خواهیم حاصل حد جمع یا تفریق دو تابع را بدست آوریم. در این موارد حاصل حد برابر با حاصل جمع یا تفریق دو مقدار است. بنابراین می‌توان رابطه زیر را نوشت.

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \left[ { f \left ( x \right ) \pm g \left ( x \right)} \right] = \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } f \left ( x \right ) \pm \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } g \left ( x \right )$$

در حالتی که یک تابع از ضرب دو تابع دیگر تشکیل شده باشد، می‌توان حاصل حد آن در یک نقطه مشخص را برابر با حاصل‌ضرب مقادیرِ حد در نظر گرفت. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \left[ { f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) } \right] = \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } f \left ( x \right ) \,\,\,\mathop { \lim } \limits _ { x \to a } g \left ( x \right )$$

اگر عبارت فوق در مورد ضرب صادق باشد، بنابراین همین استدلال برای تقسیم نیز صحیح خواهد بود. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large \displaystyle \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \left[ { \frac { { f \left( x \right ) } } { { g\left( x \right ) } } } \right] = \frac { { \mathop { \lim } \limits_{x \to a} f\left( x \right ) } } { { \mathop {\lim } \limits _ { x \to a } g \left( x \right ) } } { \rm {,}}\,\,\,\,\,{\rm{provided } } \,\mathop { \lim }\limits _ { x \to a} g\left( x \right) \ne 0$$

حال فرض کنید دو تابع دقیقا مشابه بوده و $$n$$ بار در یکدیگر ضرب شوند. در این صورت عبارت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } { \left[ { f \left ( x \right ) } \right] ^ n } = { \left[ { \mathop { \lim } \limits _ { x \to a} f\left( x \right ) } \right] ^ n }$$

توجه داشته باشید که در رابطه فوق $$n$$ برابر با هر عدد صحیح مثبت یا منفی است. برای نمونه حالتِ $$n = 2$$ را در نظر بگیرید.

$$\large \begin{align*}\mathop { \lim } \limits _ { x \to a } { \left[ { f \left ( x \right)} \right] ^ 2 } & = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)f\left( x \right)} \right]\\ & = \mathop {\lim } \limits _ { x \to a} f \left( x \right ) \mathop { \lim } \limits _ { x \to a} f \left ( x \right ) \hspace {0.5in} \\ & = {\left[ { \mathop { \lim }\limits _ { x \to a } f\left ( x \right)} \right]^2}\end{align*}$$

حال فرض کنید توان برابر با $$\frac { 1 } { n }$$ باشد. در این صورت حاصل حد برابر است با:

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \left[ { \sqrt[n \ \ \ ] { { f \left ( x \right ) } } } \right] = \sqrt[n \ \ \ ] { { \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } f \left ( x \right ) } }$$

عبارت فوق حالتی خاص از حدِ توان است. چراکه می‌توان گفت:

$$\large \begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ { \sqrt[n \ \ \ ] { { f \left( x \right)}}} \right] & = \mathop {\lim }\limits_{x \to a } {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{\frac { 1 }{ n } } } \\ & = {\left[ { \mathop { \lim } \limits _ { x \to a} f\left( x \right)} \right] ^ { \frac { 1 } { n } } } \\ & = \sqrt[n \ \ \ ] { { \mathop { \lim } \limits _ { x \to a} f\left( x \right ) } } \end {align*}$$

حال فرض کنید عددی ثابت به توان یک تابع برسد. در این صورت به منظور محاسبه حد، می‌توان حد تابع را محاسبه کرده و سپس عددِ پایه را به توان حد رساند. بنابراین عبارت زیر نیز برقرار است.

$$\large \lim \limits _ { x \to a } { b ^ { f \left ( x \right ) } } = { b ^ { \lim \limits _ { x \to a} f \left ( x \right ) } }$$

توجه داشته باشید که در حالت کلی فرض بر این است که پایه $$b$$ مثبت است ($$b \gt 0$$ ). حالت بعدی زمانی است که می‌خواهیم حد یک تابع لگاریتمی را بیابیم. در این موارد حد تابع برابر است با:

$$\large { \lim\limits _ { x \to a } \left[ { \log _ b f \left ( x \right ) } \right] } = { \log _ b \left[ { \lim \limits _ { x \to a } f \left ( x \right ) } \right] }$$

قضیه ساندویچ

فرض کنید تابع $$f ( x )$$ بین دو تابع $$g ( x )$$ و $$h ( x )$$ قرار گرفته باشد ($$g \left ( x \right ) \le f \left ( x \right ) \le h \left ( x \right )$$). در این حالت اگر حد دو تابع $$g ( x )$$ و $$h ( x )$$ برابر باشند، در این صورت حاصل حد $$f ( x )$$ نیز برابر با حد دو تابع است.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

در نتیجه می‌توان گفت:

$$\large \text {if} \ \ { \lim \limits _ { x \to a } g \left ( x \right ) = \lim \limits _ { x \to a } h \left ( x \right ) } = { L \ \ ,} \ \ g \left ( x \right ) \le f \left ( x \right) \le h \left ( x \right ) \ \ \Rightarrow \ \ \lim _ { x \to a } f ( x ) = L$$

در ادامه مثال‌هایی از کاربرد‌های بیان شده در بالا ارائه شده است.

مثال ۱

حاصل حد زیر را بیابید.

$$\large \lim \limits _ { x \to 9 } { \large \frac { { 4 { x ^ 2 } } } { { 1 + \sqrt x } } \normalsize }$$

بدیهی است که تنها با جایگذاری مقدار در تابع صورت و مخرج و محاسبه تقسیم، حاصل حد بدست خواهد آمد. بنابراین مقدار این حد برابر است با:

$$\large { \lim \limits _ { x \to 9 } \frac { { 4 { x ^ 2 } } } { { 1 + \sqrt x } } } = { \frac { { \lim \limits _ { x \to 9 } 4 { x ^ 2 } } }{ { \lim \limits _ { x \to 9 } \left ( { 1 + \sqrt x } \right ) } } } = { \frac { { 4 \lim \limits _ { x \to 9 } { x ^ 2 } } } { { \lim \limits _ { x \to 9 } 1 + \lim \limits _ { x \to 9 } \sqrt x } } } = { \frac { { 4 \cdot { 9 ^ 2 } } } { { 1 + \sqrt 9 } } = 81 }$$

در مثال فوق ترکیبی از ویژگی‌های بیان شده، استفاده شده است. در ادامه مثالی ارائه شده که با استفاده از قضیه ساندویچ حل شده است.

مثال ۲

حاصل حد زیر را بدست آورید.

$$\lim \limits _ { x \to \infty } { \large \frac { { 3 x + \cos x } }{ { 2 x – 7 } } \normalsize }$$

می‌دانید که سینوس و کسینوس به ازای تمامی مقادیر $$x$$ بین ۰ و ۱ قرار دارند ($$– 1 \le \cos x \le 1$$). بنابراین می‌توان نامساوی زیر را نیز بیان کرد:

$$\large 3 x – 1 \le 3 x + \cos x \le 3 x + 1$$

در نتیجه با تقسیم کردن طرفین نامساوی فوق به $$2 x − 7$$، داریم:

$$\large { \frac { { 3 x – 1 } } { { 2 x – 7 } } } \le{ \frac { { 3 x + \cos x } } { { 2 x – 7 } } } \le { \frac { { 3 x + 1 } } { { 2 x – 7 } } }$$

بنابراین می‌توان قضیه ساندویچ را به صورت زیر بیان کرد:

$$\large { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 3 x – 1 } } { { 2 x – 7 } } } { \le \lim \limits_{x \to \infty } \frac { { 3 x + \cos x } } { { 2 x – 7 } } } \kern0pt { \le \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 3 x + 1 } } { { 2 x – 7 } } }$$

مقادیر حد در سمت چپ و راست نامساوی برابرند با:

$${ \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 3 x – 1 } } { { 2 x – 7 } } } = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 3 – \large \frac { 1 } { x } \normalsize } }{ { 2  – \large \frac { 7 } { x } \normalsize } } } = { \frac { 3 } { 2 } ,\;\;\;} \kern-0.3pt { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 3 x + 1 } } { { 2 x  – 7 } } } = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 3 + \large \frac { 1} { x } \normalsize } } { { 2 – \large \frac { 7 } { x } \normalsize } } } = { \frac { 3 } { 2 } }$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید مقدار این دو حد با هم برابرند؛ بنابراین حاصل حد وسط نیز برابر است با:

$$\large \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 3 x + \cos x } } { { 2 x – 7 } } = \frac { 3 } { 2 }$$

مثال ۳

حاصل حد زیر را با استفاده از قضیه ساندویچ بیابید.

$$\large \lim \limits _ { x \to \infty } { \large \frac { { 2 \sin x – 5 x } } { { 3 x + 1 } } \normalsize }$$

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مشابه با مثال قبل، در این مثال از نامساوی سینوسی استفاده می‌کنیم ($$– 1 \le \sin x \le 1$$). این نامساوی را می‌توان با ضرب کردن در $$2$$ و کم کردن $$-5x$$ از طرفین آن، به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large { - 2 – 5 x \le 2 \sin x – 5 x } \le { 2 – 5 x }$$

با تقسیم کردن نامساوی فوق به $$3 x + 1$$ نامساوی مدنظر مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$\large { \frac { { – 2 – 5 x } } { {3 x + 1}} \le \frac { { 2 \sin x – 5 x } } { { 3 x + 1 } } } \le { \frac { { 2 – 5 x } } { { 3 x + 1 } } }$$

توجه داشته باشید که مقدار $$3 x + 1$$ مثبت است؛ بنابراین در هنگام تقسیم کردن، علامت نامساوی عوض نمی‌شود. حاصل حد عبارت عبارت‌های چپ و راست برابرند با:

$$\large \begin {align*} { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { – 2 – 5 x } } { { 3 x + 1 } } } & = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { – \large\frac { 2 }{x}\normalsize – 5 } } { { 3 + \large\frac { 1 } { x } \normalsize}} } = { – \frac { 5 } { 3 } \;\;\;} \\\\ \large \kern-0.3pt { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 2 – 5 x } } { { 3 x + 1 } } } & = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { \large \frac { 2 } { x } \normalsize – 5 } } { { 3 + \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } = { – \frac { 5 } { 3 } } \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینید حاصل حدود چپ و راست با هم برابر هستند. بنابراین حد وسط نیز برابر با حد توابع اطراف هستند. لذا حد عبارت وسط برابر است با:

$$\large { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 2 \sin x – 5 x } }{ { 3 x + 1 } } } = { – \frac { 5 } { 3 } }$$

در مطالب آینده روش‌های رفع ابهام تابع را نیز توضیح خواهیم داده و ویژگی‌هایی بیشتر از حدگیری را ارائه خواهیم کرد. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزشی دروس دبیرستان
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• حد در ریاضی — به زبان ساده
• حد یک طرفه — به زبان ساده
• حد بینهایت — به زبان ساده

^^