شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد انواع تنشها صحبت شد. در این مطلب قصد داریم تا مشخصا در مورد فنر پیچشی صحبت کرده و تنشهای برشی و قائم ایجاد شده در آن را در نتیجه تغییر شکلِ فنر بدست آوریم. البته مطالعه نوشتههای تنش برشی و کرنش برشی و پیچش و تنش برشی نیز خالی از لطف نخواهند بود. علاوه بر این، اگر قصد یادگیری سریع و ساده اصول طراحی اجزای مکانیکی را دارید، مشاهده فیلمهای مجموعه آموزش طراحی اجزا – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس را به شما پیشنهاد میکنیم.
در نتیجه نهایتا استوانهای به شعاع R بدست میآید. اگر مطابق با شکل زیر به این فنر نیرویی برابر با P وارد شود، در این صورت تنشهایی برشی و قائم در آن ایجاد خواهند شد.
بیشترین تنش برشی ایجاد شده برابر با مجموع تنش برشی مستقیم ایجاد شده در فنر و تنش برشی پیچشی است. این تنشها برابرند با:
τ1=AP,τ2=JTr
در رابطه فوق τ1 و τ2 به ترتیب نشاندهنده تنشهای برشی مستقیم و پیچشی هستند. همچنین T نشاندهنده گشتاور پیچشی وارد شده به فنر و برابر با T=PR است. توجه داشته باشید که اندازه تنش قائم نیز برابر است با:
τ1=AP
تنش برشی ماکزیمم در نتیجه اعمال نیروی P به فنر برابر است با:
τ=πd2/4P+πd316PR
نهایتا با جمع زدن رابطه فوق، اندازه تنش برشی ماکزیمم برابر میشود با:
τ=πd316PR(1+4Rd)
توجه داشته باشید که روابط فوق برای حالتی نوشته شده که در آن از خمیدگیِ فنر صرف نظر شده باشد. در حقیقت در این حالت نسبتِ 4Rd به اندازه کافی کوچک در نظر گرفته شده است. البته در حالتی که خمیدگی فنر نیز در نظر گرفته شده باشد، تنش برشی ایجاد شده در فنر را میتوان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.
τ=πd316PR(4m−44m−1+m0.615)
در رابطه فوق m=d2R، شاخص فنر است. همچنین تغییر طول فنر در نتیجه وارد شدن نیروی P به آن نیز مطابق با رابطه زیر بدست میآید.
δ=Gd464PR3n معادله ۱
رابطه فوق نشان میدهد که تغییر طولِ δ به صورت مستقیم با نیروی P تغییر میکند؛ بنابراین سختی معادل فنر را میتوان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.
k=δP=64R3nGd4 N/mm
فنرهای سری
مطابق با شکل زیر دو یا چند فنر را در نظر بگیرید که به صورت سری به یکدیگر متصل شدهاند.
در این صورت ثابتِ معادل فنر برابر است با:
1/k=1/k1+1/k2+…
در رابطه فوق، k1,k2,... ثابتهای فنر هستند.
فنرهای موازی
حالتی را در نظر بگیرید که دو یا چند فنر به صورت موازی، مطابق با شکل زیر به هم بسته شدهاند.
در این حالت سختی فنر افزایش مییابد. در حقیقت سختی معادل فنر در این حالت برابر است با:
k=k1+k2+…
در ادامه مثالهایی ذکر شده که به منظور درک بهتر مطلب، پیشنهاد میشود آنها را مطالعه فرمایید.
مثال ۱
همانطور که در شکل زیر نیز نشان داده شده، تیری به جرم 50 کیلوگرم به 3 سه فنر متصل شده است. دو فنر سمت چپ از جنس فولاد بوده و فنر سمت راست نیز از برنز ساخته شده است. هریک از فنرهای فولادی از 24 دور مفتول با قطر 10mm تشکیل شدهاند. همچنین قطر حلقههای ایجاد شده فنر و مدول برشی فولاد به ترتیب برابر با 100mm و G=83GPa هستند. این در حالی است که فنر برنزی از 48 دور مفتول با قطرِ 20mm و با مدول برشی G=42GPa تشکیل شده است. همچنین قطر فنر برنزی ایجاد شده برابر با 150mm است. با این فرضیات، تنش برشی ماکزیمم ایجاد شده در هریک از فنرها را بیابید.
در اولین قدم باید نیروهای کششی ایجاد شده در هریک از فنرها را بیابید. بدین منظور با فرض کردن تیر به عنوان سیستم و نمادگذاری P1,P2,P3 به عنوان نیروهای موجود در فنرها، معادله تعادل نیرویی در راستای y به صورت زیر نوشته میشود:
ΣFV=0
P1+P2+P3=490.5 معادله ۲
معادله بعدی نیز با محاسبه تعادل گشتاوری حول نقطه ۱ برابر میشود با:
ΣM1=0
P2(1)+P3(3)=490.5(1.5)
P2+3P3=735.75 معادله ۳
در شکل زیر نیروهای وارد شده و تغییرات شکل ایجاد شده در فنرها نشان داده شدهاند.
همانطور که میدانید به منظور یافتن نیروها به 3 معادله نیاز است. تاکنون دو معادله نوشته شده است. معادله سوم را میتوان با استفاده از تغییر شکل بیان کرد. بدین منظور در اولین قدم با استفاده از قضیه تالس میتوان رابطه زیر را بین تغییر شکلهای فنر بیان کرد:
1δ2−δ1=3δ3−δ1
δ2=31δ3+32δ1
با استفاده از معادله 1 و جایگذاری مقادیر نیرو و مدول برشی در آن به روابط زیر خواهیم رسید.
توجه داشته باشید که در محاسبه تنشهای فوق، هم تنشهای نرمال و هم تنشهای ناشی از پیچش در نظر گرفته شدهاند.
مثال ۲
تیری صلب را در نظر بگیرید که در یک سمت پین شده است. این تیر از دو سمت دیگر به دو فنر پیچشی متصل شده است. فرض کنید هر فنر دارای 20 حلقه مفتول به قطرِ 10mm بوده و نهایتا قطرِ کلی فنر تولید شده برابر با 150mm باشد. با فرض بیوزن بودنِ تیر، ماکزیمم تنش برشی ایجاد شده در فنر را بدست آورید.
سیستم فوق در حالت تعادلش به صورت زیر در خواهد آمد.
بنابراین قضیه تالس را برای سیستم فوق میتوان به صورت زیر بیان کرد:
2δ1=6δ2
δ1=31δ2
حال با جایگذاری رابطه تغییر طول در عبارات فوق، داریم:
Gd464P1R3n=31(Gd464P2R3n)
P1=31P2
رابطه دوم بین نیروها را میتوان با گشتاورگیری حول لولای مرکز بدست آورد. با محاسبه گشتاور حول نقطه مذکور داریم:
ΣMathingedsupport=0
2P1+6P2=4(98.1)
2(31P2)+6P2=4(98.1)
بنابراین اندازه نیروها برابرند با:
P2=58.86N
در نتیجه برای فنر سمت چپ، اندازه تنش ماکزیمم برابر است با:
τmax1=π(103)16(19.62)(75)[1+4(75)10]
τmax1=7.744MPa
به همین صورت، تنش ماکزیمم در فنر سمت راست نیز برابر با مقدار زیر بدست میآید.
τmax2=π(103)16(58.86)(75)[1+4(75)10]
τmax2=23.232 MPa
مثال ۳
دو فنر فولادی که به صورت سری به هم متصل شدهاند در شکل زیر نشان داده شده است.
فرض کنید به این مجموعه نیروی P مطابق با شکلِ فوق وارد شود. فنر بالاتر دارای 12 دور مفتول با قطر 25mm بوده و قطر فنر تولید شده نیز برابر با 100mm است. فنر پایینتر نیز از 10 دور مفتول با قطر 20mm تشکیل شده و قطر فنر نیز برابر با 75mm است. با فرض اینکه تنش تسلیم فولاد برابر با G=83GPa باشد و بدون صرف نظر از اثرات خمش، بیشترین نیروی قابل اعمالِ P و همچنین تغییر طولِ فنر در نتیجه این نیرو را بیابید.
همانطور که عنوان شد تنش برشی ماکزیمم با استفاده از رابطه زیر بدست میآید.
τmax=πd316PR(4m−44m−1+m0.615)
کافی است در هریک از فنرها تنش تسلیم را برابر با تنش برشی ماکزیمم قرار داد. با انجام این کار برای فنر اول داریم:
200=π(253)16P(100)[4(8)−44(8)−1+80.615]
P=5182.29N
به همین صورت برای فنر دوم نیز میتوان نوشت:
200=π(203)16P(75)[4(7.5)−44(7.5)−1+7.50.615]
P=3498.28 N
از بین نیروهای بدست آمده در بالا، نیروی کمتر به عنوان پاسخ در نظر گرفته میشود. بنابراین پاسخ قابل قبول برابر با نیروی زیر است.
P=3498.28N
توجه داشته باشید که مقدار d نیز دو برابر نسبت قطر فنر به قطر مفتول است. برای محاسبه تغییر طول نیز کافی است تغییر طول هریک را بدست آورده و با هم جمع کنید. بنابراین تغییر طول فنر برابر میشود با:
δ=δ1+δ2
δ=(Gd464PR3n)1+(Gd464PR3n)2
ttδ=153.99 mm
جالب است بدانید که با محاسبه تغییر شکل فنر و داشتن نیروی وارد به آن میتوانیم سختی معادل را به صورت زیر بدست آوریم:
kequivalent=δP=153.993498.28
^^
بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.