فرادرسدستگاه معادلات دیفرانسیل ناهمگن — از صفر تا صد
در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با معادلات دیفرانسیل، در این مطلب قصد داریم تا نحوه حل دستگاه معادلات دیفرانسیل ناهمگن را توضیح دهیم. پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه، مطالب معادلات دیفرانسیل ناهمگن، معادلات دیفرانسیل و روش تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل مطالعه شوند.
مقدمه
پیش‌تر در وبلاگ فرادرس نحوه حل معادلات ناهمگن را به دو روشِ تغییر متغیرها و ضرایب نامعین توضیح دادیم. در این مطلب می‌خواهیم تا در قالب مثال، دستگاه معادلات ناهمگن را مورد بررسی قرار دهیم.
روش ضرایب نامعین
روش ضرایب نامعین در حل دستگاه معادلات دیفرانسیل، بسیار مشابه با روش‌های حل معادلات مرتبه دوم است. در مثال ۱، این روش را توضیح می‌دهیم.
مثال ۱
پاسخ نهایی دستگاه معادلات دیفرانسیل ناهمگن زیر را بیابید.
$$ \Large \overrightarrow x ^ {\prime} = \left ( { \begin {array} {*{20}{c}}1&2\\3&2\end{array}} \right) \overrightarrow x + t \left ( {\begin{array}{*{20} { c } } 2 \\ { - 4 } \end {array}} \right ) $$
پیش‌تر نحوه یافتن پاسخ عمومی چنین معادله‌ای را توضیح داده بودیم. پاسخ عمومی دستگاه فوق، به صورت زیر قابل بیان است.
$$ \Large {\overrightarrow x _ c } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { \begin{array}{*{ 2 0 } { c } } { - 1}\\1\end {array} } \right ) + { c _ 2 }{ { \bf{ e } }^ {4 t } } \left ( {\begin {array}{*{20}{ c } } 2 \\3\end{array}} \right) $$
به منظور حدس زدن پاسخ خصوصی دقیقا مشابه با روش ضرایب نامعین عمل می‌کنیم. تنها تفاوت در این حالت این است که ضرایب پاسخ حدس زده شده، به صورت بردار هستند. حدس اولیه را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.
$$ \Large { \overrightarrow x _ P } = t \overrightarrow a + \overrightarrow b = t \left ( { \begin {array} {*{20} { c } } {{ a _ 1 } } \\{{ a _ 2 } } \end{array} } \right ) + \left ( {\begin {array}{*{20}{c } } {{ b _ 1 } } \\{{ b _
2 } } \end {array}} \right ) $$
با مشتق گیری از حدس فوق داریم:
$$ \Large { \overrightarrow x ^ { \prime } _ P } = \overrightarrow a = \left ( { \begin {array} {*{20} { c } }{ { a _ 1 } } \\ { { a _ 2 } } \end {array}} \right ) $$
قبل از این‌که حدس فوق را در معادله قرار دهیم، معادله را به منظور سادگی به صورت زیر بیان می‌کنیم.
$$ \Large \overrightarrow x ^ { \prime } = \left( {\begin{array}{*{20 } { c } }1&2 \\ 3 & 2 \end {array}} \right ) \overrightarrow x + t \left ( { \begin {array} {*{20} { c } } 2 \\{ - 4 } \end {array}} \right ) = A \overrightarrow x + t\overrightarrow g $$
حال با جایگذاری پاسخ در نظر گرفته شده در معادله بالا، داریم:
$$ \Large \begin {align*}\overrightarrow a& = A\left( {t\overrightarrow a + \overrightarrow b} \right) + t\overrightarrow g\\ \overrightarrow a & = t A \overrightarrow a + A\overrightarrow b + t\overrightarrow g\\ \overrightarrow 0 & = t \left ( { A \overrightarrow a + \overrightarrow g } \right ) + \left ( { A \overrightarrow b - \overrightarrow a } \right ) \end {align*} $$
در مرحله بعد توان‌های t0 و t1 را با هم برابر قرار می‌دهیم.
$$ \Large \begin {align*} & { t ^1 } : & A \overrightarrow a + \overrightarrow g & = \overrightarrow 0 & \hspace {0.25in} A \overrightarrow a & = - \overrightarrow g \\ & { t ^0 }: & A \overrightarrow b - \overrightarrow a & = \overrightarrow 0 & \hspace {0.25in} A \overrightarrow b & = \overrightarrow a \end {align*} $$
حال تنها a در معادله اول نامعلوم است. بنابراین می‌توان از ساده‌سازی گاوسی به منظور حل سیستم استفاده کرد (این قسمت را به خودتان واگذار می‌کنیم). پس از ساده‌سازی، a به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \Large \left ( { \begin {array} {*{20} { c } }1 & 2 \\ 3 & 2 \end {array}} \right ) \left ( {\begin {array} {*{20}{ c }} { { a _ 1 } } \\ { { a _2 } } \end {array} } \right ) = - \left ( {\begin {array} {*{20} { c } } 2 \\ { - 4 } \end {array}} \right ) \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} \overrightarrow a = \left ( { \begin {array} {*{20}{c} } 3 \\ { - \frac { 5} { 2 } } \end {array}} \right) $$
حال با معلوم شدن $$ \large \overrightarrow { a } $$، بردار b نیز به صورت زیر بدست می‌آید. با بدست آمدن ضرایب مجهول، پاسخ خصوصی برابر است با:
$$ \Large { \overrightarrow x _ P } = t \left ( { \begin {array} {*{20}{ c } } 3 \\ { - \frac { 5 } {2 } } \end {array}} \right ) + \left ( { \begin {array} {*{20}{c} } { - \frac{ { 1 1 } } { 4 } } \\{\frac{{23}}{8}}\end{array}} \right) $$
با بدست آمدن پاسخ خصوصی، پاسخ کلی معادله نیز به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \Large \overrightarrow x \left ( t \right ) = { c _ 1} { { \bf{ e} } ^ { - t } } \left ( { \begin {array} {*{20}{c}}{ - 1}\\1\end{array}} \right) + {c_2}{{\bf{e}}^{4t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\3\end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - \frac { 5 } { 2 } }\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{11}}{4}}\\{\frac{{23}}{8}}\end{array}} \right) $$
همان‌طور که در مثال فوق نیز مشاهده شد، روش ضرایب نامعین در حل یک معادله یا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل، مشابه هم هستند.
روش تغییر پارامترها
در مواردی که با حل دستگاهی از معادلات دیفرانسیل ناهمگن روبرو هستیم، استفاده از روش تغییر پارامترها نسبت به حالتی که با یک معادله مواجه هستیم، بسیار آسان‌تر خواهد بود.
در ابتدا فرض کنید $$ \large X ( t ) $$ ماتریسی با i ستون و i سطر بوده که در معادله دیفرانسیل همگن زیر نیز صدق می‌کند.
$$ \Large \overrightarrow x ^ {\prime} = A \overrightarrow x $$
حال می‌توان نشان داد که $$ \large X ( t ) $$ در رابطه زیر نیز می‌تواند صدق کند.
$$ \Large \begin {equation} X ^ {\prime} = A X \end {equation} $$
رابطه ۱
از طرفی هدف محاسبه پاسخ خصوصی معادله ناهمگن زیر است.
$$ \Large \overrightarrow x ^ {\prime} = A \overrightarrow x + \overrightarrow g \left ( t \right ) $$
در این مرحله می‌توان نشان داد که پاسخی به صورت زیر، برابر با پاسخ خصوصی معادله دیفرانسیل فوق است.
$$ \Large { \overrightarrow x _ P } = X \left ( t \right ) \, \overrightarrow v \left ( t \right ) $$
توجه داشته باشید که $$ \large X ( t ) $$ به عنوان یک پاسخ عمومی معلوم بوده و هدف یافتن $$ \large \overrightarrow v\left( t \right) $$ است. به منظور یافتن $$ \large \overrightarrow v\left( t \right) $$، کافی است پاسخ خصوصی فرض شده را در معادله اصلی قرار دهیم. با انجام این کار داریم:
$$ \Large X ^ {\prime} \, \overrightarrow v + X \, \overrightarrow v ^ {\prime} = A \, X \, \overrightarrow v + \overrightarrow g $$
توجه داشته باشید که به منظور سادگی، نماد (t) در رابطه بالا نشان داده نشده است. حال با استفاده از رابطه ۱، رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
$$ \Large \begin {align*} X ^ {\prime} \, \overrightarrow v + X \, \overrightarrow v ^ {\prime} & = X ^ {\prime} \, \overrightarrow v + \overrightarrow g \\ X \, \overrightarrow v ^ {\prime} & = \overrightarrow g \end {align*} $$
در مرحله بعد طرفین رابطه فوق را در معکوس X ضرب می‌کنیم:
$$ \Large \, \overrightarrow v ^ {\prime} = { X ^ { - 1 } } \overrightarrow g $$
در این مرحله با انتگرال‌گیری از طرفین رابطه فوق، پاسخ $$ \large \overrightarrow v \left ( t \right ) $$ به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \Large \,\overrightarrow v \left( t \right ) = \int { { { X ^ { - 1 } } \overrightarrow g \, d t } } $$
با ضرب کردن طرفین رابطه فوق در X پاسخ خصوصی به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \Large \begin {equation} { \overrightarrow x _ P } = \, X \int { { { X ^ { - 1} } \overrightarrow g \, d t } } \end{equation} $$
رابطه ۲
مثال ۲
پاسخ کلی دستگاه معادلات دیفرانسیل ناهمگن زیر را بیابید.
$$ \Large \overrightarrow x ^ {\prime} = \left ( { \begin {array} {*{20}{c}}{ - 5}&1 \\ 4 &{ - 2} \end {array}} \right ) \overrightarrow x + { { \bf{e}} ^ { 2 t } } \left ( { \begin {array}{*{20}{c} } 6 \\ { - 1} \end {array}} \right) $$
پیش‌تر و در مبحث دستگاه معالات دیفرانسیل خطی نحوه یافتن پاسخ عمومی چنین معادلاتی را توضیح دادیم. پاسخ عمومی دستگاه فوق را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.
$$ \Large { \overrightarrow x _ c } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { { \bf{e } } ^ { - t } } \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\4\end{array}} \right) + { c _ 2 } { { \bf { e } } ^ { - 6 t } } \left( {\begin{array}{*{20} { c } } { - 1} \\1\end {array}} \right) $$
بنابراین ماتریس X را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.
$$ \Large X = \left ( {\begin{array}{*{20} { c } } { { { \bf{e } } ^ { - t}}}&{ - {{\bf{e}}^{ - 6 t } } } \\ { 4 { { \bf{e } } ^ { - t } } } &{ { { \bf{e } } ^{ - 6 t } } } \end {array}} \right ) $$
در مرحله بعد، معکوس ماتریس X به صورت زیر یافته می‌شود.
$$ \Large { X ^ { - 1 } } = \left ( { \begin {array}{*{20}{c}}{\frac { 1 } { 5 } { { \bf{ e } } ^ t } } & { \frac { 1 } { 5} { { \bf{e } } ^ t } } \\ { - \frac { 4 } {5 } { { \bf{e}}^{6t}}}&{\frac{1}{5}{{\bf{ e } } ^{ 6 t } } } \end{array}} \right) $$
حال معکوس بدست آمده در بالا را در ترم ناهمگنِ زیر ضرب می‌کنیم. با انجام این کار خواهیم داشت:
$$ \Large { X ^ { - 1 } } \overrightarrow g = \left ( { \begin {array} {*{20}{ c } } { \frac { 1 } {5 } { { \bf { e }} ^ t } } & { \frac { 1 } { 5 }{ { \bf{e } } ^ t } } \\ { - \frac{4}{5} { { \bf{e}}^ { 6 t }} } &{\frac{1}{5}{ { \bf{e } } ^ { 6 t } } } \end{array}} \right)\left( {\begin {array} {*{20} { c } }{ 6 { { \bf { e } } ^{ 2 t } } } \\{ - {{\bf { e } } ^ { 2 t } } } \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ { { \bf{ e } } ^ { 3 t } } } \\{ - 5{{\bf{e} } ^ { 8 t } } } \end{array}} \right) $$
با انتگرال‌گیری از ماتریس فوق، ماتریس زیر بدست می‌آید.
$$ \Large \int { { { X ^ { - 1 } } \overrightarrow g\,dt}} = \int{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\bf{e}}^{3t}}}\\{ - 5{{\bf{e } } ^ { 8t }
} } \end{array}} \right)\,dt}} = \left ( {\begin{array}{*{20}{c}}{\int { { { { \bf{ e } } ^ { 3 t } } \, d t } } } \\ { \int { { - 5{{\bf{e}}^{8t}}\, d t } } } \end {array} } \right ) = \left ( {\begin {array}{*{20} { c } } { \frac { 1 } { 3} { { \bf{e} } ^ { 3 t } } } \\ { - \frac { 5 } { 8} { { \bf{e}} ^ {8 t } } } \end {array}} \right) $$
بنابراین پاسخ خصوصی به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \Large \begin{align*}{{\overrightarrow x}_P} & = \,X\int{{{X^{ - 1}}\overrightarrow g\,dt}}\\ & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\bf{e}}^{ - t}}}&{ - {{\bf{e}}^{ - 6t}}}\\{4{{\bf{e}}^{ - t}}}&{{{\bf{e}}^{ - 6t}}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}{{\bf{e } } ^ { 3 t } } } \\ { - \frac{5}{8}{{\bf{e}}^{8t } } } \end {array}} \right)\\ & = \left( {\begin{array}{*{20} { c } }{\frac { { 2 3} } { { 2 4 } } { {\bf{e} } ^ { 2 t } }} \\ {\frac { { 1 7 } }{ { 2 4 } }{{\bf{e}} ^ { 2 t } }} \end{array}} \right)\\ & = {{\bf{e}}^{2t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac { { 2 3 }} {{ 24 } } } \\{\frac { { 17 } } { { 2 4 } } }\end{array}} \right)\end{align*} $$
نهایتا پاسخ کلی معادله برابر است با:
$$ \Large \overrightarrow x \left ( t \right ) = { c _ 1 } { { \bf { e }} ^ { - t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\4\end{array}} \right) + {c _ 2} { { \bf{ e } } ^ { - 6 t } } \left ( {\begin {array}{*{20} { c } } { - 1}\\1\end{array} } \right) + { { \bf { e } } ^ { 2 t } } \left( {\begin{array}{*{20} { c } } { \frac{{23} } { { 2 4 }} } \\{\frac{ { 1 7 } } { { 2 4 } } }\end{array}} \right) $$
در این مطلب نحوه حل دستگاه معادلات دیفرانسیل ناهمگن با استفاده از دو روش ضرایب نامعین و روش تغییر متغیرها توضیح داده شد. توجه داشته باشید که به منظور حل دستگاه معادلات پیچیده‌تر روش‌های جایگزینی وجود دارد که در آینده آن‌ها را توضیح خواهیم داد.
