تقریب در ریاضی — آموزش تقریب زدن به زبان ساده

تقریب یکی از کارهای رایج در ریاضیات است که به‌ویژه در امور روزمره، مانند فعالیت‌های اقتصادی، کاربرد فراوانی دارد. در این آموزش از مجله فرادرس، با انواع تقریب در ریاضی آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را حل خواهیم کرد.

تقریب چیست؟

احتمالاً در جایی شنیده باشید که مثلاً «جمعیت ایران تقریباً ۸۵ میلیون نفر است» یا «فاصله‌ تهران تا اصفهان ۴۰۰ کیلومتر است.» واضح است که به‌احتمال قریب به یقین، جمعیت ایران دقیقاً ۸۵ میلیون نفر نیست و این عدد یک تقریب است. مثلاً ممکن است عدد دقیق آن ۸۴,۸۷۳,۳۴۶ باشد.

یا فاصله دقیق تهران تا اصفهان برابر با ۴۳۱ کیلومتر باشد. این دو مثال، به‌خوبی به ما نشان می‌دهند که تقریب در ریاضی چیست و چه کاربردی دارد. تقریب در ریاضی یعنی اینکه یک عدد را به یک عدد اصطلاحاً رند تبدیل کنیم که درک آن برای مخاطب آسان باشد و سریعاً با آن ارتباط برقرار کند.

روش ‌های تقریب در ریاضی

برای تقریب در ریاضی، دو روش کلی وجود دارد که یکی از آن‌ها گرد کردن و دیگری قطع کردن است. که در بخش‌های بعدی به آن‌ها می‌پردازیم.

فیلم آموزش خلاقیت و هوش مالی کودکان و نوجوانان در فرادرس

کلیک کنید

روش قطع کردن اعداد طبیعی

این روش بسیار ساده است. همان‌گونه که از نامش معلوم است، عدد را از جایی به بعد قطع می‌کنیم، یعنی رقم‌هایش را حذف می‌کنیم.

برای مثال، فرض کنید عدد ۲۵۷۲ را داریم که مربوط به تعداد محصولات یک شرکت در زمانی مشخص است. اگر مدیر شرکت بخواهد این عدد را به‌صورت تقریبی در جمع مدیران شرکت‌های دیگر بیان کند، ممکن است جزئیاتش برایش مهم نباشد و بگوید شرکتشان تقریبا ۲۵۰۰ محصول را تولید کرده است.

در اینجا، او از تعداد ۷۲ = ۲۵۰۰ - ۲۵۷۲ محصول صرف‌نظر کرده است و دو رقم آخر، یعنی یکان و دهگان، را اصطلاحاً بریده است و به صفر تبدیل کرده است. در واقع، آن دو رقم برایش اهمیتی نداشته است، زیرا خود عدد چنان بزرگ بوده که آن دو رقم تأثیر چندانی نداشته‌اند.

دقت کنید که اون سه رقم آخر را نبریده و نگفته ۲۰۰۰، زیرا این عدد اختلاف زیادی با عدد اصلی دارد و می‌تواند تولیدات شرکت را بسیار کمتر از مقدار واقعی نشان دهد.

اما دقت تقریب در این مثال چقدر بوده است؟‌ برای بیان تقریب، ابتدا می‌بینیم که عددی را حذف کرده‌ایم. در اینجا عددی که حذف کرده‌ایم برابر با ۷۲ است. باید ببینیم که نزدیک‌ترین عدد مضرب ۱۰ به این عدد که بزرگ‌تر از آن نیز باشد، چه عددی است. عدد ۱۰۰ جواب است. بنابراین، دقت تقریب در این مثال کمتر ۱۰۰ است.

بنابراین، وقتی می‌گوییم تقریب کمتر از ۱، یعنی خود عدد، وقتی می‌گوییم تقریب کمتر از ۱۰، یعنی صفر کردن یکان، وقتی می‌گوییم تقریب کمتر از ۱۰۰، یعنی صفر کردن یکان و دهگان و به همین ترتیب برای سایر تقریب‌ها.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

روش قطع کردن اعداد اعشاری

روش قطع کردن اعداد اعشاری نیز دقیقاً مشابه قطع کردن اعداد صحیح است. تنها تفاوت این است که علاوه بر تقریب‌های کمتر از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و...، در اینجا، تقریب‌های اعداد کوچک‌تر از ۱، یعنی کمتر از ۰٫۱، کمتر از ۰٫۰۱، کمتر از ۰٫۰۰۱ و... نیز قابل انجام است.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم تقریب عدد ۱۲۳٫۷۴ را با روش قطع کردن بنویسیم؛ یکی برای تقریب کمتر از ۱۰ و دیگری تقریب کمتر از ۰٫۱.

برای تقریب کمتر از ۱۰، کافی است ارقامی که ارزش مکانی آن‌ها کمتر از ۱۰ است را به ۰ تبدیل کنیم. بنابراین، این عدد را خواهیم داشت: ۱۲۰٫۰۰. همان‌طور که می‌دانیم، صفرهای بعد از اعشار ارزشی را به عدد اضافه نمی‌کنند. پس ۱۲۰٫۰۰ معادل همان ۱۲۰ است. در نتیجه، اگر عدد ۱۲۳٫۷۴ را با تقریب کمتر از ۱۰ قطع کنیم، به عدد ۱۲۰ می‌رسیم.

اگر بخواهیم عدد را با تقریب کمتر از ۰٫۱ قطع کنیم، باید ارقامی را که ارزش آن‌ها کمتر از یک‌دهم است، به صفر تبدیل کنیم. بنابراین، برای این مثال، به عدد ۱۲۳٫۷۰ یا همان ۱۲۳٫۷ می‌رسیم.

در روش تقریب با قطع کردن، نکات زیر را داریم:

1. اول اینکه در این روش، عدد اصلی همواره بزرگ‌تر از عدد تقریبی است، زیرا بخشی از عدد اصلی را برای تقریب قطع یا همان حذف کرده‌ایم.
2. اگر اختلاف بین عدد اصلی و تقریبی را محاسبه کنیم، می‌بینیم که عدد به‌دست‌آمده از از مقدار تقریب کمتر است. برای مثال، اگر تقریب ۱۰ باشد، مقدار اختلاف دو عدد کمتر از ۱۰ خواهد بود.

روش گرد کردن اعداد طبیعی

در روش گرد کردن، بر نزدیکی بین اعداد تکیه می‌کنیم. در واقع، بسته به مقدار تقریب، نزدیک‌ترین عدد رند، به عددی که داریم را انتخاب می‌کنیم. برای روشن شدن این موضوع، به مثال ابتدای آموزش برمی‌گردیم. فرض کنید مدیر شرکت این بار می‌خواهد تعداد تقریبی محصولات تولیدی را با روش گرد کردن بیان کند یا اصطلاحاً عدد را گرد کند. تقریبی هم که می‌خواهد در نظر بگیرد، کمتر از ۱۰۰ است. او به عدد ۲۵۷۲ نگاه می‌کند. اگر دقت ۱۰۰ را در نظر بگیریم، یعنی یک عدد کمتر از از صد را با این عدد جمع کنیم یا عددی کمتر از ۱۰۰ را از آن کم کنیم تا عدد تقریبی حاصل یک عدد باشد که دو رقم سمت راستش برابر با صفر شود. دو رقم سمت راست صفر شوند، یعنی اینکه یکان و دهگان صفر شوند و این یعنی تقریب کمتر از ۱۰۰ است.

اکنون به عدد برمی‌گردیم. این عدد را اگر با ۲۸ جمع کنیم به ۲۶۰۰ می‌رسیم. اگر از ان عدد ۷۲ را کم کنیم، به ۲۵۰۰ می‌رسیم. هر دو عدد ۲۵۰۰ و ۲۶۰۰ تقریب زیر ۱۰۰ عدد ۲۵۷۲ هستند. اما کدام‌یک را انتخاب کنیم؟ در روش گرد کردن، باید ببینیم کدام‌یک از این دو عدد به عدد اصلی نزدیک‌تر هستند یا به عبارت دیگر، اختلاف کمتری با آن دارند. می‌بینیم که اختلاف عدد ۲۵۷۲ از عدد ۲۶۰۰ کمتر است. پس این عدد را به‌عنوان نتیجه گرد کردن انتخاب می‌کنیم. در زندگی روزمره، معمولاً بیشتر از روش گرد کردن استفاده می‌کنیم.

روش گرد کردن اعداد اعشاری

برای گرد کردن اعداد اعشاری نیز، مشابه گرد کردن اعداد طبیعی برای تقریب در ریاضی عمل می‌کنیم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم عدد ۲۳٫۱۴ را با دقت کمتر از ۰٫۱ گرد کنیم. بدین منظور، ابتدا عدد کوچک‌تر و عدد بزرگ‌تر از این عدد را می‌یابیم که دقتی کمتر از ۰٫۱ داشته باشند. بدین منظور، به دو عدد ۲۳٫۱۰ یا هملن ۲۳٫۱ و عدد ۲۳٫۲۰ یا همان ۲۳٫۲ می‌رسیم. اکنون چنین چیزی را داریم:

۲۳٫۲ > ۲۳٫۱۴ > ۲۳٫۱

عدد ۲۳٫۱۴ به کدام‌یک از این دو عدد نزدیک‌تر است؟ می‌بینیم که عدد ۲۳٫۱۴ به عدد ۲۳٫۱ نزدیک‌تر است. پس تقریب عدد ۲۳٫۱۴ با روش گرد کردن و با در نظر گرفتن تقریب کمتر از ۰٫۱، عدد ۲۳٫۱ خواهد بود.

دقت کنید که در روش گرد کردن، عدد تقریبی گاهی از عدد اصلی کوچک‌تر است و گاهی بزرگ‌تر. همچنین، خطای تقریب کمتر یا برابر با خطای تقریب در روش قطع کردن است. پس برای اینکه خطای کمتری داشته باشیم، بهتر است از روش گرد کردن استفاده کنیم. منظور از خطا، اختلاف بین عدد اصلی و عدد تقریبی است.

فیلم آموزش نقاشی – ویژه کودکان در فرادرس

کلیک کنید

مثال‌های تقریب در ریاضی

در این بخش، چند مثال را از تقریب در ریاضی بررسی می‌کنیم.

مثال قطع کردن اعداد طبیعی

عددهای داده‌شده را با تقریبی که مشخص شده است، قطع کنید.

• الف) ۶۵۳ با تقریب کمتر از 1
• ب) ۴۳ با تقریب کمتر از 10
• پ) 74۱۶۸ با تقریب کمتر از 100
• ت) ۹۳ با تقریب کمتر از 100
• ث) ۳۹۸6۲ با تقریب کمتر از 10000

جواب‌ها

• جواب الف: تقریب این عدد با تقریب کمتر از ۱ برابر با خود عدد است، زیرا این عدد چیزی کوچک‌تر از یکان ندارد که حذف کنیم.
• جواب ب: در عدد ۴۳، رقمی که ارزش آن کمتر از ۱۰ است، عدد یکان، یعنی ۳ است. برای به‌دست آوردن تقریب، این رقم را برابر با صفر قرار می‌دهیم و به تقریب ۴۰ می‌رسیم.
• جواب پ: کافی است رقم یکان و دهگان را که ارزششان کمتر از ۱۰۰ است، برابر با صفر قرار دهیم و به عدد ۷۴۱۰۰ برسیم.
• جواب ت: باید رقم‌های دهگان و یکان را برابر با صفر قرار دهیم. بنابراین، کل عدد برابر با صفر می‌شود. در نتیجه، تقریب عدد ۹۳ با دقت ۱۰۰ برابر با ۰ است.
• ث: تقریب برابر با ۳۰۰۰۰ خواهد بود.

مثال قطع کردن اعداد اعشاری

عدد اعشاری ۲۳/۵۷۱۲ را در نظر بگیرید. تقریب این عدد را برای دقت‌های زیر به‌دست آورید.

• الف) با تقریب کمتر از یک‌هزارم
• ب) با تقریب کمتر از یک‌صدم
• پ)‌ با تقریب کمتر از یک‌دهم
• ت) با تقریب کمتر از 1
• ث)‌ با تقریب کمتر از 10
• ج) با تقریب کمتر از 100 برابر است با 0

جواب‌ها

• جواب الف: کافی است عدد مربوط به ده‌هزارم را حذف کنیم. تقریب در این مورد برابر با ۲۳٫۵۷۱ است.
• جواب ب: با حذف ده‌هزارم و هزارم، به عدد ۲۳٫۵۷ می‌رسیم.
• جواب پ: رقم ده‌هزارم، هزارم و صدم را به صفر تبدیل می‌کنیم و عدد تقریبی ۲۳٫۵ را خواهیم داشت.
• جواب ت: ارقامی که ارزششان از یکان کمتر است را حذف می‌کنیم. پس، تقریب برابر با ۲۳ است.
• جواب ث: ارقامی با ارزش کمتر از ده را حذف می‌کنیم. تقریب در این حالت ۲۰ است.
• جواب ج: با حذف ارقامی با ارزش کمتر از ۱۰۰ به عدد صفر می‌رسیم.

مثال گرد کردن اعداد طبیعی

اعداد زیر را با تقریبی که خواسته شده، گرد کنید.

• الف) ۶۵۳ با تقریب کمتر از 1
• ب) ۴۳ با تقریب کمتر از 10
• پ) 74۱۶۸ با تقریب کمتر از 100
• ت) ۹۳ با تقریب کمتر از 100
• ث) ۳۹۸6۲ با تقریب کمتر از 10000

جواب‌ها

• جواب الف: تقریب این عدد با تقریب کمتر از ۱ برابر با خود عدد است.
• جواب ب: در عدد ۴۳، رقمی که ارزش آن کمتر از ۱۰ است، عدد یکان، را می‌توانیم تغییر دهیم و بگوییم این عدد بین ۴۰ و ۵۰ قرار دارد. با توجه به اینکه به ۴۰ نزدیک‌تر است، تقریبش می‌شود ۴۰.
• جواب پ: با توجه به دقت ۱۰۰، این عدد بین دو عدد ۷۴۱۰۰ و ۷۴۲۰۰ قرار دارد که به ۷۴۲۰۰ نزدیک‌تر است. بنابراین، تقریب برابر با ۷۴۲۰۰ خواهد بود.
• جواب ت: عدد ۹۳ بین ۰ و ۱۰۰ قرار دارد و به ۱۰۰ نزدیک‌تر است. در نتیجه، گرد‌شده عدد ۹۳ با دقت ۱۰۰ برابر با ۱۰۰ است.
• ث: عدد بین ۳۰۰۰۰ و ۴۰۰۰۰ قرار دارد و به ۴۰۰۰۰ نزدیک‌تر است. پس گرد‌شده آن ۴۰۰۰۰ است.

مثال گرد کردن اعداد اعشاری

عدد اعشاری ۲۳/۵۷۱۲ را در نظر بگیرید. تقریب این عدد را برای دقت‌های زیر به‌دست آورید.

• الف) با تقریب کمتر از یک‌هزارم
• ب) با تقریب کمتر از یک‌صدم
• پ)‌ با تقریب کمتر از یک‌دهم
• ت) با تقریب کمتر از 1
• ث)‌ با تقریب کمتر از 10
• ج) با تقریب کمتر از 100 برابر است با 0

جواب‌ها

• جواب الف: با تقریب کمتر از ۰٫۰۰۱، این عدد بین ۲۳٫۵۷۱ و ۲۳٫۵۷۲ قرار دارد. با توجه به اینکه به ۲۳٫۵۷۱ نزدیک‌تر است، جواب ۲۳٫۵۷۱ خواهد بود.
• جواب ب: عدد ۲۳/۵۷۱۲ با تقریب کمتر از یک‌صدم بین ۲۳٫۵۷ و ۲۳٫۵۸ است و با توجه به نزدیک‌تر بودن آن به عدد نخست، جواب ۲۳٫۵۷ است.
• جواب پ: این عدد بین ۲۳٫۵ و ۲۳٫۶ است و چون به ۲۳٫۶ نزدیک‌تر است، این تقریب را انتخاب می‌کنیم.
• جواب ت: بین ۲۳ و ۲۴ قرار دارد، اما به ۲۴ نزدیک‌تر است. پس جواب ۲۴ خواهد بود.
• جواب ث: با این تقریب بین ۲۰ و ۳۰ است و چون به ۲۰ نزدیک تر است، عدد ۲۰ را انتخاب می‌کنیم.
• جواب ج: بین ۰ و ۱۰۰ قرار دارد و به ۰ نزدیک‌تر است. پس تقریبش برابر با ۰ خواهد بود.

جمع‌بندی

در این آموزش از مجله فرادرس، با تقریب در ریاضی و روش‌های آن، یعنی قطع کردن و گرد کردن، آشنا شدیم. همچنین، این روش‌ها را برای اعداد صحیح و اعداد اعشاری بیان و مثال‌های متنوعی را نیز بررسی کردیم.