بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده

در مطالب قبلی مجله فرادرس، درباره مجموعه اعداد صحیح و طبیعی صحبت کرده‌ایم. از آنجایی که در دنیای واقعی بیشتر محاسبات براساس این مجموعه اعداد رخ می‌دهد، قوانین مربوط به این مجموعه‌ها بخصوص چهار عمل اصلی (یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) بسیار مهم است. از طرفی بسیاری از محاسبات در رایانه‌ها برمبنای اعداد صحیح صورت می‌پذیرد. در نتیجه آشنایی با نحوه انجام عملیات ریاضی و شناخت روش انجام آن‌ها روی این مجموعه اعداد از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. در این نوشتار به خصوصیات و قواعد بخش پذیری یا عاد کردن در مجموعه اعداد صحیح می‌پردازیم.

نظریه و قضیه‌های مربوط به بخش پذیری یا عاد کردن (یا تقسیم پذیری) از بخش‌های اصلی و ابتدایی «نظریه اعداد» (Number Theory) است و بسیاری از قضیه‌های نظریه اعداد از این مبحث وام گرفته و اثبات می‌شوند. نظریه مقدماتی اعداد، شامل مباحث مربوط به بخش پذیری و الگوریتم تقسیم و رابطه بخش پذیری یا عاد کردن در حوزه علوم رایانه نیز هست.

برای آشنایی بیشتر با نحوه تقسیم اعداد صحیح بهتر است نوشتار تقسیم عدد صحیح — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خصوصیات تقسیم اعداد صحیح نیز در مطلب بخش پذیری در اعداد — به زبان ساده قابل مشاهده است. از طرفی خواندن الگوریتم تقسیم اعداد — از صفر تا صد نیز خالی از لطف نیست.

قواعد بخش پذیری یا عاد کردن

قضیه تقسیم عدد صحیح بیان می‌کند که به ازای هر دو عدد صحیح مثل $$a$$ و $$b$$ که $$a\neq 0$$ است، اعداد صحیح منحصر به‌ فردی مانند $$q$$ و $$r$$ وجود دارند که رابطه زیر برایشان صادق است.

$$\large  {\displaystyle b=a\times q+r,0\leq r\leq \left|a\right|}$$

در این بین به $$q$$‌، خارج قسمت (Quotient) و به $$r$$، باقی‌مانده (Residual) می‌گویند. در صورتی که مقدار باقی‌مانده ($$r$$) صفر شود می‌گوییم $$b$$ بر $$a$$ بخش‌پذیر است. به این ترتیب نظریه بخش‌پذیری و عاد کردن مطرح می‌شود.

فیلم آموزش ریاضیات گسسته – پایه دوازدهم در فرادرس

کلیک کنید

فرض کنید $$a$$ و $$b$$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه اگر تقسیم $$b$$ بر $$a$$ نیز یک عدد صحیح بوده و باقی‌مانده برابر با صفر باشد، عبارت‌های زیر را معادل در نظر می‌گیرند.

• $$a$$، عدد $$b$$ را عاد می‌کند.
• $$b$$، بر $$a$$ بخش‌پذیر است.
• $$b$$، مضربی از $$a$$ است.
• $$a$$، مقسوم علیه $$b$$‌ است.
• $$a$$، عدد $$b$$‌ را می‌شمارد.

این عبارت‌ها را به بیان و نماد ریاضی به صورت زیر نشان می‌دهیم:

$$\large a|b$$

و می‌خوانیم $$a$$ عدد $$b$$ را عاد می‌کند. برای مثال مشخص است که عدد ۲، عدد ۱۰ را عاد می‌کند، زیرا داریم:

$$\large \dfrac{10}{2}=5$$

از آنجایی که این تقسیم باقی‌مانده نداشته و عدد ۵ نیز صحیح است، رابطه بخش پذیری یا عاد کردن ۱۰ بر ۲، یک گزاره همیشه درست می‌سازد.

در مقابل نمی‌توان گفت که ۲ بر ۱۰ بخش‌پذیر است زیرا نتیجه تقسیم زیر یک عدد صحیح نخواهد بود.

$$\large \dfrac{2}{10}=0.2$$

در نتیجه عملگر بخش پذیری یا عاد کردن، برعکس عملگر ضرب و جمع، خاصیت تقارنی ندارد. پس در حالت کلی می‌توان نوشت:

$$\large  {\displaystyle{  a|b \not{\rightarrow} b|a}}$$

خصوصیات بخش پذیری یا عاد کردن

قضیه‌های مختلفی برای نمایش قواعد بخش پذیری یا عاد کردن اعداد مطرح شده است که در این قسمت به بعضی از آن‌ها اشاره خواهیم کرد. البته توجه داشته باشید که اصول و قضیه‌های زیر برای اعداد صحیح برقرار است.

• جمع دو عدد صحیح، عددی صحیح است.
• ضرب دو عدد صحیح، عددی صحیح خواهد بود.
• ضرب خاصیت جابجایی دارد.
• جمع خاصیت جابجایی دارد.
• ضرب خاصیت پخشی در جمع دارد.

قضیه‌هایی که در ادامه مورد بحث قرار می‌گیرند، بخصوص در بحث برنامه‌نویسی و محاسبات رایانه‌ای، نقش مهمی ایفا می‌کنند. همچنین آگاهی از آن‌ها بعضی از محاسبات در زمینه ضرب و تقسیم را ساده‌تر کرده و در زمان کوتاه‌تری انجام این گونه عملیات را ممکن می‌سازد.

قضیه ۱ - بخش پذیری یا عاد کردن حاصل‌ضرب دو عدد 

سه عدد صحیح $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را در نظر بگیرید که مخالف صفر هستند. اگر $$a|b$$ آنگاه $$a|bc$$. به بیان دیگر اگر $$a$$ عدد $$b$$ را عاد کند، آنگاه حتما حاصل‌ضرب $$b$$ در $$c$$ را هم عاد می‌کند. پس اگر $$b$$ بر $$a$$ بخش‌پذیر باشد، همه ضرایب $$b$$ مثل $$bc$$ نیز بر $$a$$ بخش‌پذیر هستند.

اثبات: از آنجایی که $$a|b$$ پس حتما عدد صحیحی مثل $$d$$ وجود دارد که در رابطه زیر صادق است:

$$\large a|b\rightarrow b=ad$$

حال دو طرف این تساوی را در یک عدد صحیح (غیر صفر) مانند $$c$$ ضرب می‌کنیم. در نتیجه خواهیم داشت:

$$\large bc=adc$$

از آنجایی که $$dc$$ نیز که از حاصل‌ضرب دو عدد صحیح $$d$$ و $$c$$ بدست می‌آید، یک عدد صحیح است، می‌توان نوشت:

$$\large \dfrac{bc}{dc}=a$$

در نتیجه $$a$$ عدد $$bc$$ را هم عاد می‌کند، پس می‌توان رابطه زیر را نیز در نظر گرفت.

$$\large a|bc$$

به این ترتیب می‌توان گفت که $$a$$ مقسوم علیه مشترک $$b$$ و $$bc$$ است. در مطلب بزرگترین مقسوم علیه مشترک، به دنبال مقداری از $$a$$ هستیم که از همه مقسوم علیه‌های دیگر بزرگتر باشد. چنین عددی را با نماد «ب-م-م» نشان می‌دهند.

مثال: می‌دانیم که عدد ۲، عدد ۱۰ را عاد می‌کند یا به بیان دیگر ۱۰ بر ۲ بخش‌پذیر است. در نتیجه تمامی مضارب ۱۰ (مثلا ۲۰ و ۳۰ و ... ) نیز بر ۲ بخش‌پذیر هستند.

قضیه ۲- خاصیت ترایایی بخش پذیری یا عاد کردن

اگر داشته باشیم $$a|b$$ و $$b|c$$ آنگاه $$a|c$$. به این معنی که اگر $$b$$ بر $$a$$ بخش‌پذیر بوده و $$c$$‌ نیز بر $$b$$ بخش‌پذیر باشد آنگاه $$c$$ بر $$a$$ نیز بخش‌پذیر است.

اثبات: با توجه به فرضیه اول این قضیه واضح است که اعداد صحیح $$d$$ و $$e$$ وجود دارند که:

$$\large b=ad$$

رابطه ۱

$$\large c=be$$

رابطه ۲

حال به جای $$b$$ در رابطه ۲، از معادل آن در رابطه ۱ استفاده می‌کنیم. در نتیجه خواهیم داشت.

$$\large c=ad(e)=a(de)$$

و چون $$de$$ نیز یک عدد صحیح خواهد بود، در نتیجه $$a$$ شمارنده $$c$$‌ است، یا عدد $$c$$ بر $$a$$ بخش‌پذیر است.

مثال: می‌دانیم که عدد ۲۰ بر 4 بخش‌پذیر بوده و از طرفی ۴ نیز بر ۲ بخش‌پذیر است. بنابراین بر اساس آنچه گفته شد می‌توان نتیجه گرفت که عدد ۲ نیز ۲۰ را می‌شمارد.

قضیه ۳- خاصیت ترتیبی اعداد به کمک بخش پذیری یا عاد کردن

اگر $$a$$ و $$b$$‌ دو عدد صحیح نامنفی باشند، آنگاه با فرض $$a|b$$ نتیجه می‌گیریم که $$a\leq b$$.

اثبات: از آنجایی که $$a$$ عدد $$b$$ را می‌شمارد، پس عددی صحیح مانند $$c$$ وجود دارد که $$b=ac$$. از آنجایی که هر دو عدد بزرگتر از صفر هستند ($$a>0$$ و $$b>0$$‌)، طبق خاصیت عملگر ضرب می‌دانیم که $$c>0$$‌ است. از طرفی $$c$$ نیز یک عدد صحیح است، پس باز هم به علت خصوصیاتی که برای ضرب اعداد می‌شناسیم، می‌دانیم که:

$$\large  b=ac \xrightarrow{a>0,\;b>0,\;c>0}a\leq b$$

مثال: اگر $$a=10$$ و $$b=20$$ باشد، بطوری که $$10|20$$ می‌توان نتیجه گرفت که $$10 \leq 20$$.

قضیه 4- بخش پذیری یا عاد کردن دو طرفه

فرض کنید برای دو عدد صحیح $$a$$ و $$b$$ داشته باشیم:

$$\large a|b ,\;\;\; b|a$$

یعنی هم $$a$$ بر $$b$$ بخش‌پذیر بوده و هم $$b$$ بر $$a$$ بخش‌پذیر است. آنگاه $$a=\pm b$$.

اثبات: می‌دانیم که برای هر دو عدد صحیح $$a$$ و $$b$$ گزاره شرطی زیر برقرار است:

$$\large a|b\rightarrow \small{|}\large{a}\small{|}\large{|}\small{|}\large{b }\small{|}$$

همچنین

$$\large b|a\rightarrow \small{|} \large{b} \small{|} \large{|} \small{|} \large{a}\small{|}$$

از طرفی می‌دانیم طبق قضیه ۳، برای دو عدد نامنفی $$|a|$$ و $$|b|$$ داریم $$|a|\leq |b|$$. به همین شکل نیز رابطه $$|b|\leq |a|$$ برقرار است. در اینصورت باید داشته باشیم:

$$\large |a|=|b| \rightarrow a=\pm b$$

مثال: در مجموعه اعداد صحیح، می‌دانیم که $$10|10$$، به این معنی که ۱۰ بر ۱۰ بخش‌پذیر است و خارج قسمت برابر است با ۱، همچنین $$10|-10$$ به این معنی که ۱۰ بر ۱۰- نیز بخش‌پذیر است و خارج قسمت آن ۱- خواهد بود.

قضیه ۵- بخش پذیری یا عاد کردن ترکیب خطی دو عدد

اعداد صحیح $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را در نظر بگیرید. بطوری که $$a|b$$ و $$a|c$$، آنگاه برای هر دو عدد صحیح $$x$$‌ و $$y$$ رابطه زیر برقرار است.

$$\large a|bx+cy$$

اثبات: از آنجایی که $$a|b$$، مشخص است که عدد صحیحی مثل $$m$$ وجود دارد که:

$$\large a\times m = b$$

همچنین با توجه به اینکه $$a|c$$، عدد صحیح مثل $$n$$ وجود دارد که برای آن خواهیم داشت:

$$\large a\times n = c$$

با در نظر گرفتن این دو رابطه می‌توانیم بنویسیم،

$$\large bx+cy = (a\times m)\times x+(a\times n)\times y=a\times (m\times x+ n\times y)\rightarrow a|bx+cy$$

مثال: از آنجایی که ۶ هم ۱۲ را عاد می‌کند و هم ۳۶ بر آن بخش‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که مجموع هر مضربی از ۱۲ و ۳۶ نیز بر ۶ بخش‌پذیر است. مثلا به این ترتیب ۲۴+72=96 بر ۶ بخش‌پذیر خواهد بود زیرا هم ۷۲ و هم ۲۴ مضاربی از ۱۲ و ۳۶ هستند.

$$\large 72+24 =96;\;\; \dfrac{96}{6}=36$$

در ادامه به چند مسئله در مورد بخش‌پذیری اعداد صحیح خواهیم پرداخت. توجه کنید که اگر $$b$$ بر $$a$$ بخش‌پذیر نباشد و آن را عاد نکند به بیان ریاضی می‌نویسیم:

$$\large a\not{|}b$$

حل چند مسئله نمونه در مورد بخش پذیری یا عاد کردن

در ادامه چند نمونه مسئله را در رابطه با مواردی که مرتبط با قضیه‌های بخش پذیری یا عاد کردن است، حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ساختمان گسسته – مرور و حل تست های کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مسئله ۱

اعداد طبیعی $$a$$، $$b$$‌ و $$c$$‌ را در نظر بگیرید و همچنین فرض کنید $$a|bc$$. آیا می‌توان گفت که $$a$$ هم $$c$$ را عاد می‌کند و هم $$b$$ بر $$a$$ بخش‌پذیر است؟ به بیان دیگر می‌خواهیم صحت رابطه زیر را مشخص کنیم:

$$\large a|bc,\;\;\rightarrow\; a|b \vee a|c$$

پاسخ: در پاسخ به این گونه سوالات بهتر است ابتدا با یک مثال عددی موضوع را مورد بررسی قرار دهیم و اگر به گزاره درستی برخوردیم، به دنبال اثبات آن باشیم. پس با یک مثال عددی شروع می‌کنیم. اعداد 3، 8 و 6 را به ترتیب برای $$b$$، $$c$$ و $$a$$ در نظر بگیرید. می‌دانیم روابط زیر برقرار است:

$$\large 6|3\times 8=24, \rightarrow (6\not{|}3) \wedge (6\not{|}8)$$

به این معنی که عدد ۶ مضرب‌های دو عدد ۳ و ۸ را عاد می‌کند، ولی هر کدام از آن‌ها را به تنهای عاد نخواهد کرد. همانطور که دیده شد ۲۴ بر ۶ بخش‌پذیر است ولی اجزای آن بر ۶ بخش‌پذیر نیستند.

مسئله ۲

برای اعداد طبیعی $$a$$، $$b$$ و $$c$$‌، اگر داشته باشیم $$a|b+c$$ آنگاه $$a$$ یا $$b$$ را عاد می‌کند یا $$c$$ را می‌شمارد.

برای نشان دادن صحت این گزاره، ابتدا از یک مثال کمک می‌گیریم. مقادیر طبیعی $$a=3$$ و $$b=4$$ و $$c=5$$ را در نظر بگیرید.

$$\large a|b+c, 3|(4+5)=9$$

ولی

$$\large 3\not{|} 4\;,\;\;3\not{|}5$$

پس گزاره مورد نظر در مسئله ۲ یک گزاره همیشه راست نیست و ما توانستیم برای اساس یک مثال، نقیض این گزاره را نشان دهیم.

مسئله ۳

برای اعداد طبیعی $$a$$، $$b$$ و $$c$$‌، اگر داشته باشیم $$ac|b$$ آنگاه $$a$$ عدد $$b$$ و عدد $$c$$ را عاد می‌کند یا می‌شمارد. به زبان ریاضی می‌توان نوشت:

$$\large ac|b \xrightarrow {?} a|b \wedge c|b$$

پاسخ: با توجه به توضیحات مسئله، فرض را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم. طبق فرض مسئله برای عدد طبیعی $$d$$ می‌توان نوشت:

$$\large ac|b \rightarrow \dfrac{b}{ac} =d$$

پس

$$\large \dfrac{b}{ac} =d\rightarrow b=acd \rightarrow b=a(cd)$$

تساوی آخر نشان می‌دهد که $$a$$ یک شمارنده $$b$$‌ است (زیرا حاصل ضرب دو عدد طبیعی $$c$$ و $$d$$ نیز یک عدد طبیعی خواهد بود). همچنین می‌توانیم با استفاده از خاصیت شرکت‌پذیری ضرب بنویسیم:

$$\large \dfrac{b}{ac} =d\rightarrow b=acd \rightarrow b=c(ad)$$

این گزاره بیانگر آن است که $$b$$ بر $$c$$ نیز بخش‌پذیر است. در نتیجه حکم مربوط به مسئله صحیح بوده و تشکیل یک گزاره همیشه درست یا تاتولوژی را می‌دهد.

مسئله ۴

اگر $$a|b$$ و $$c|d$$ آیا می‌توان نتیجه گرفت که $$a+c|b+d$$. به بیان ریاضی آیا می‌توان گزاره زیر را یک گزاره همیشه درست یا تاتولوژی در نظر گرفت؟

$$\large a|b ,\;c|d \;\rightarrow a+c|b+d$$

پاسخ: برای پاسخ به این سوال باز هم از یک مثال عددی کمک می‌گیریم. فرض کنید $$a=2$$ و $$b=4$$‌ و $$c=3$$ و $$d=9$$ باشد. پس

$$\large 2|4\; ,\;\; 3|9$$

حال عبارت سمت راست مسئله را محاسبه می‌کنیم.

$$\large a+c=2+3=5, \\ \large b+d =4+9=13$$

ولی می‌دانیم که $$5\not{|}13$$، در نتیجه گزاره این مسئله یک گزاره همیشه درست نخواهد بود.

خلاصه و جمع‌بندی

این نوشتار اختصاص به مجموعه اعداد طبیعی و صحیح به همراه قواعد عمل بخش پذیری داشت. قضیه‌ها و عملیاتی که وابسته به مجموعه اعداد باشد، بستری برای مطالعه نظریه اعداد پدید می‌آورد که قواعد بخش پذیری یا عاد کردن یکی از مباحث آن است. همچنین قضیه‌ها و مثال‌هایی برای آشنایی بیشتر با مسئله و قواعد بخش پذیری و عاد کردن اعداد در مجموعه‌های اعداد طبیعی و صحیح مطرح و مورد بررسی قرار گرفت.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه دروس رسمی دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• تقسیم عدد صحیح — به زبان ساده
• اعداد حقیقی — به زبان ساده
• اعداد گویا — به زبان ساده
• اعداد مختلط – به زبان ساده

^^