همگرایی مطلق و همگرایی مشروط — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

با مطالعه مطالب وبلاگ فرادرس احتمالا با مفاهیم سری و همگرایی آن‌ها آشنا شده‌اید. همگرایی هم‌چون حد تابع در بینهایت، انواع مختلفی دارد که در این مطلب دو مورد از آن‌ها یعنی همگرایی مطلق و همگرایی مشروط را توضیح خواهیم داد.

سری متناوب

در این قسمت می‌خواهیم آزمونی را معرفی کنیم که با استفاده از آن می‌توان سری‌های همگرا را تشخیص داد.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

بدین منظور در ابتدا باید با مفهوم سری‌های متناوب آشنا باشید. سری متناوب به سری گفته می‌شود که در آن علامت جملاتش یک در میان مثبت و منفی هستند. برای نمونه سری زیر، متناوب محسوب می‌شود.

$$\large S = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \over n ^ s } = \frac { 1 } {1 ^ s } - \frac { 1 } { 2 ^ s } + \frac { 1 } { 3 ^ s } - \frac { 1 } { 4 ^ s } + \cdots$$

آزمون سری متناوب یا قضیه لایب نیتز

حال که با سری متناوب آشنا شدید، زمان آن رسیده تا روشی پرکاربرد را به منظور شناسایی سری‌های همگرا معرفی کنیم. این روش تحت عنوان قضیه لایب نیتز یا آزمون سری متناوب شناخته می‌شود.

بدین منظور در ابتدا فرض کنید $$\large \left \{ { { a _ n } } \right \}$$ یک سری از اعداد حقیقی است که ویژگی‌های زیر را دارد.

• به ازای تمامی مقادیر $$n$$ رابطه $$\large { a _ { n + 1 } } \lt { a _ n }$$ برقرار است.
• حد دنباله در بینهایت برابر با $$\large \lim \limits _ { n \to \infty } { a _ n } = 0$$ است.

در این صورت طبق قضیه لایب نیتز سری‌های $$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { a _ n } }$$ و $$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n - 1 } } { a _ n } }$$ همگرا هستند.

همگرایی مطلق و همگرایی مشروط

سری $$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ مطلقا همگرا است، در صورتی که سری $$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left| { { a _ n } } \right|}$$ نیز همگرا باشد. می‌توان گفت اگر یک سری مطلقا همگرا باشد، در این صورت سری مذکور همگرا نیز خواهد بود. توجه داشته باشید که عکس این گزاره الزاما درست نیست.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

حالت دوم زمانی است که سری $$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } }$$ همگرا بوده ولی $$\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left| { { a _ n } } \right|}$$ همگرا نباشد. به چنین همگرایی، مشروط گفته می‌شود. در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که در آن‌ها وضعیت همگرایی مطلق و مشروط برای چند سری مورد بررسی قرار گرفته است.

مثال 1

وضعیت همگرایی سری زیر به چه صورت است.

$$\large \begin {align*} \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } \large \frac { { 2 n + 1 } } { { 3 n + 2 } } \normalsize } \end {align*}$$

حد دنباله در بینهایت برابر است با:

$$\large \begin {align*} {\lim\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| } & = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 1}}{{3n + 2}} } \\ & = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{2n + 1}}{n}}}{{\frac{{3n + 2}}{n}}} } \\ & = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}} }={ \frac{2}{3} \ne 0} \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینید دنباله در بینهایت به صفر میل نمی‌کند؛ بنابراین سری مرتبط با آن واگرا است.

مثال 2

وضعیت همگرایی سری $$\large \begin {align*} \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { { n ! } } \normalsize } \end {align*}$$ به چه صورت است.

با استفاده از آزمون نسبت داریم:

$$\large \begin {align*} {\lim\limits_{n \to \infty } \left| { \frac { { { a _ { n + 1 } } } } { { { a_ n } } } } \right| } & = { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac { { \frac { 1 } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } }} } { { \frac { 1 }{{n!}}}} } \\ & = { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac{{n!}}{{\left( {n + 1} \right)!}} } \\ & = {\lim\limits _ { n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}} }={ 0 } \end {align*}$$

با توجه به متناوب بودن سری و صفر بودن حد آن، می‌توان نتیجه گرفت همگرا نیز هست.

مثال 3

وضعیت همگرایی سری $$\large \begin {align*} \sum \limits _ { n = 2 } ^ \infty { \large \frac { { { { \left ( { – 1} \right ) } ^ { n + 1 } } \sqrt n } } { { \ln n } } \normalsize } \end {align*}$$ را مشخص کنید.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

به منظور استفاده از آزمون سری متناوب باید حاصل حد $$\large \begin {align*} \lim \limits _ { n \to \infty } \left | { { a _ n } } \right| \end {align*}$$ را بدست آوریم. برای محاسبه این حد می‌توان از قاعده هوپیتال به صورت زیر بهره برد.

$$\large \begin {align*} { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\ln n}} \sim \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt x } } { { \ln x } } } & = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac { 1 }{ { 2 \sqrt x } } } } { { \frac { 1 } { x } } } } \\ & = {\frac{1}{2}\lim\limits _ { x \to \infty } \frac { x} {{ \sqrt x } } } \\ & = {\frac{1}{2}\lim\limits _ { x \to \infty } \sqrt x }={ \infty } \end {align*}$$

حد دنباله تحت سری، بینهایت است. بنابراین حاصل خود سری نیز بینهایت خواهد بود.

مثال 4

جمله $$n$$ام سری زیر را حدس زده و وضعیت همگرایی سری را مشخص کنید.

$$\large \begin {align*} { \frac { 2 } { { 3 ! } } – \frac { { {2 ^2 } } } { { 5 ! } } } + { \frac { { { 2^ 3 } } }{ {7 ! } } – \frac { { { 2 ^4 } } } { { 9 ! } } + \ldots } \end {align*}$$

رابطه فوق نشان می‌دهد جمله‌ $$n$$ام دنباله برابر است با:

$$a _ n { = { { \left ( { – 1} \right ) } ^ { n + 1 } } \large \frac { { { 2 ^ n }} } { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) ! } } }\normalsize$$

با استفاده از آزمون ریشه داریم:

$$\large \begin {align*} \lim \limits _ { n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = { \lim \limits _ { n \to \infty } \frac { { \frac { { { 2 ^ { n + 1 } } } } { { \left ( { 2 n + 3 } \right ) ! } } } } { { \frac { { { 2 ^ n} } } { { \left( { 2 n + 1 } \right)!}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^{n + 1}}\left( {2n + 1} \right)!}}{{{2^n}\left( {2n + 3} \right)!}} } z = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac { 2 } { { \left ( { 2 n + 2 } \right ) \left( {2n + 3} \right)}} }={ 0 } \end {align*}$$

بنابراین سری فوق مطلقا همگرا است. در مطالب آینده دیگر روش‌های بررسی همگرایی یک سری را توضیح خواهیم داد. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• سری توانی -- به زبان ساده
• سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد
• سری تیلور — از صفر تا صد

^^