ریاضی, کامپیوتر 233 بازدید

نظریه رسته یا رده‌ها (Category Theory)، بخشی از نظریه توپولوژی در ریاضیات است که به بررسی رابطه‌ها بین مجموعه‌ها می‌پردازد. برای مثال نظریه گراف را با بیان نظریه رسته می‌توان بیان کرد. نظریه رسته به مانند ریاضیات گسسته، در علوم مختلف بخصوص علوم کامپیوتر به کار گرفته شده و باعث ظهور نظریه‌های جدید در این علم شده است. عملگرهایی که در نظریه رسته مورد بررسی قرار می‌گیرند، حافظ ساختار محسوب می‌شوند. به این معنی که اجرای یک عملگر رسته‌ای روی یک ساختار ریاضیاتی، باعث ایجاد ساختاری از همان گروه خواهد شد.

به منظور آشنایی بیشتر با اصطلاحات به کار رفت در این نوشتار بهتر است مطالب دیگر مجله فرادرس، مانند، نظریه گراف (Graph Theory) در علوم کامپیوتر – به زبان ساده و فضای توپولوژیک در ریاضیات – به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین مطالعه نوشتارهای میدان، حلقه و گروه در ریاضی – مفاهیم اولیه و گراف — تعاریف و انواع آن به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست. از آنجایی که این نظریه و مفاهیم آن در برنامه‌نویسی کامپیوتری و زبان‌های شیئ‌گرا نیز دیده می‌شود، مطالعه نوشتارهای شی گرایی در PHP و توضیح مفهوم کلاس و شی — به زبان ساده و آموزش مقدماتی شی گرایی در جاوا اسکریپت — به زبان ساده نیز برایتان جالب خواهد بود.

نظریه رسته در ریاضیات

نظریه رسته یا دسته‌ها (Category Theory)‌، ساختار ریاضی و مفاهیم آن را فرمول‌بندی کرده و به صورت گراف‌های جهت‌داری نشان می‌دهد که یال‌های آن دارای برچسب هستند. چنین ساختاری را «رسته» (Category) می‌نامیم. گره‌های چنین گرافی، اشیاء ریاضیاتی هستند و یال‌های جهت‌دار نیز که به صورت پیکان‌هایی مشخص می‌شوند، برچسب یا «ریخت» (Morphism) نامیده می‌شوند.

هر رسته، دو مشخصه پایه و اساسی دارد. «امکان تشکیل یک یال بین دو راس» و «وجود یک یال برای هر راس». زبان نظریه رسته مناسب برای معنی بخشی و فرمول‌سازی مفاهیم انتزاعی و عالی دیگر ریاضیات مانند «مجموعه» (Set)، حلقه (Ring) و گروه (Group) است. به این ترتیب نظریه رسته را می‌توان به صورت غیر رسمی، نظریه‌ای در باره توابع دانست.

چندین اصطلاح در نظریه رسته یا رده‌ها به کار می‌رود، از جمله اصطلاح «مورفیسم» (Morphism) یا «‌ریخت»، که نسبت به بقیه شاخه‌های ریاضی به شکل متفاوت به کار گرفته می‌شود. ویژگی‌، خصوصیات و شرایط هم‌ریختی در نظریه رسته متفاوت از کارکرد آن در نظریه‌های دیگر است، بنابراین باید با دقت بیشتری مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد.

«ساموئل آیلنبرگ» (Samuel Eilenberg) و «ساندرز مک لین» (Saunders Mac Lane) در تحقیقاتی که در زمینه «توپولوژی جبری» (Algebraic Topology) با هدف درک فرآیندهایی که ساختارها را در ریاضی حفظ می‌کنند، نظریه رسته را معرفی و مبانی آن را بنا نهادند.

نظریه رسته یا رده‌ها در نظریه زبان برنامه نویسی کاربردهای عملی دارد، به عنوان مثال استفاده از «مونادها» (Monads) در «برنامه‌نویسی تابعی» (Functional Programming) ‌یکی از کاربردهای نظریه رسته محسوب می‌شود. نظریه رسته را می‌توان برپایه اصول ریاضیات نیز به کار برد و جایگزینی برای نظریه مجموعه در نظر گرفت.

Commutative-diagram-for-morphism
تصویر ۱: یک رسته با راس‌های X,Y و Z به همراه ریخت‌های f, g و g o f

تاریخچه نظریه رسته

در سالهای 1942–1945، «ساموئل آیلنبرگ» و «ساندرز مک لین»، دسته‌ها، عملگرها و تبدیلات طبیعی را به عنوان بخشی از کارهای خود در توپولوژی، به ویژه توپولوژی جبری، معرفی کردند. کار آن‌ها به طور عمده انتقال از «همولوژی» (Homology) به «همولوژی جبری» (Algebraic Homology) بود. بعدها این دو ریاضیدان عنوان کردند که هدف آن‌ها درک «تبدیلات طبیعی» (Natural Transformation) است. این کار نیاز به تعریف «تابعگون» (Functor) دارد که در نظریه رسته به وفور به کار می‌رود.

«استانیسلاو اولام» (Stanislaw Ulam) متعقد بود که فرضیه‌های مرتبط با نظریه رسته در اواخر دهه 1930 در لهستان جریان داشته است. «آیلنبرگ»، لهستانی بود و در دهه 1930 در رشته ریاضیات در لهستان فارغ التحصیل شد. نظریه رسته، به تعبیری، ادامه کار «امی نوتر» (Emmy Noether) بود که یکی از اساتید «آیلنبرگ» محسوب می‌شود. او در رسمیت بخشیدن به فرایندهای انتزاعی و فرایندهایی که در آن ساختار حفظ می‌شود، کمک شایانی کرد. چنین فرایند یا تبدیلات را یک‌ریختی یا همومورفیسم می‌نامیم که در ادامه بیشتر با آن‌ها آشنا خواهیم شد.

«آیلنبرگ» و «مک لین»، مقوله‌هایی را برای درک و رسمیت بخشیدن به فرآیندهای (عامل ها) معرفی کردند که ساختارهای توپولوژیک را به ساختارهای جبری (تغییرات توپولوژیک) مربوط می‌کنند.

نظریه رسته یا رده‌ها، در ابتدا برای نیاز به «جبر همولوژی» (Homological Algebra) ) مطرح شد و به طور گسترده‌ای برای نیاز به هندسه جبری مدرن یا «نظریه طرح‌ها» (Scheme Theory) گسترش یافت. نظریه رسته را می‌توان به عنوان امتداد «جبر جامع» (Universal Algebra) در نظر گرفت، زیرا به ساختارهای جبری ساختارهای ریاضی مرتبط بوده و همچنین روابط بین ماهیت ساختارهای مختلف را مطالعه می‌کند. به همین دلیل، از نظریه رسته در کل ریاضیات استفاده می‌شود. در سال‌های بعد از معرفی نظریه رسته، کاربردهای مرتبط با منطق ریاضی برای آن ارائه شد.

بعضی از رسته‌ها را با نام خاص «توپوی» (Topoi) می‌شناسیم که به صورت مفرد به آن «توپوس» (Topos) گفته می‌شود که می‌توان آن را جایگزین نظریه اصول مجموعه‌ها در نظر گرفت که البته، پایه ریاضیات محسوب می‌شود. یک «توپوس» همچنین می‌تواند به عنوان یک نوع خاص از رسته با دو اصل بدیهی برای نظریه رسته‌ها به کار برود.

«منطق رسته‌ای» (Categorical Logic)، اکنون به عنوان یک حوزه کاری و البته خوش‌تعریف، بر پایه «نظریه نوع» (Type Theory) برای «منطق‌ شهودگرا» (Intuitionistic Logics) به کار می‌رود که در «برنامه‌نویسی تابعی» (Functional Programming) و «نظریه دامنه» (Domain Theory)، مورد استفاده است. در چنین حالتی، «رسته بسته دکارتی» (Cartesian Closed Category) به عنوان یک توصیف غیر نحوی از «حسابان لامبدا» (Lambda Calculus) محسوب می‌شود.

نظریه رسته در زمینه‌های دیگر نیز مورد بهره برداری قرار گرفته است. به عنوان مثال، «جان بایز» (John Baez)، پیوندی را بین «نمودارهای فاینمن» (Feynman Diagram) در فیزیک و «رسته‌های مونوئیدی» (Monoidal Category)‌ نشان داده است.

برای آشنایی بیشتر با مباحث مربوط به جبر پیشرفته و نظریه رسته بهتر است، فیلم‌ آموزش «مقدمه ای بر نظریه مدول ها (جبر پیشرفته)» که در مجموعه آموزش‌های ریاضی فرادرس قرار دارد را مشاهده کنید. لینک دسترسی به این فیلم آموزشی در ادامه آورده شده است.

عملگرها و تبدیل‌های طبیعی یا به بیان دیگر «طبیعی بودن»، از مفاهیم اصلی در نظریه رسته محسوب می‌شوند. در ادامه به این موضوعات بیشتر خواهیم پرداخت تا موضوع روشن‌تر شود.

مفاهیم اساسی

در نظریه رسته به طور عمومی، رسته، بیانگر انتزاع سایر مفاهیم یا ساختارهای ریاضی است. بسیاری از زمینه‌های ریاضیات را می‌توان با «نظریه رسته» به عنوان رده یا رسته تعریف کرد. از این رو نظریه رسته بسیاری انتزاعی است ولی بیان و اثبات بسیاری از نتایج ریاضی پیچیده و ظریف را به روش بسیار ساده‌تری امکان پذیر می‌کند.

یک مثال اساسی از یک رسته، دسته مجموعه‌ها است که در آن اشیا، همان مجموعه‌ها (sets) هستند و پیکان‌ها یا یال‌ها نیز توابعی هستند که از یک مجموعه به مجموعه دیگر تعریف می‌شوند. با این حال، لازم نیست که اشیا یک گروه مجموعه باشند و پیکان‌ها نیز لزوما تابع نیستند. هر روشی برای رسمیت بخشیدن به یک مفهوم ریاضی به گونه‌ای که دارای شرایط اساسی مربوط به رفتار اشیا و پیکان‌ها (تبدیلات) باشد، یک رسته معتبر است و تمام نتایج نظریه رسته در مورد آن قابل اعمال است.

به طور کلی «پیکان‌ها» یا همان «ریخت‌ها» (Morphism) در نظریه رسته، فرایند یا تبدیلی است که دو جسم را به هم متصل می‌کند که در بسیاری از موارد «حافظ ساختار» است. با این وجود، کاربردهای بسیاری وجود دارد که مفاهیم انتزاعی بیشتری توسط اشیا و ریخت‌ها برای بیان آن‌ها به کار می‌آید. مهمترین ویژگی پیکان یا ریخت‌ها این است که می‌توان آنها را با یکدیگر «ترکیب» کرد، به عبارت دیگر، می‌توان آنها را در یک ترتیب قرار داد تا یک ریخت یا تابع جدید ایجاد شود. این موضوع در تصویر ۱، به وضوح قابل مشاهده است.

ابزارها در نظریه رسته

در ابتدا با چند مفهوم و ابزار مهم یعنی «رسته‌ها» (Categories)، «اشیاء» (Objects) و «ریخت‌ها» (Morphisms) در نظریه رسته آشنا خواهیم شد، سپس به «تابعگون» (Functors) اشاره خواهیم کرد.

رسته

مطالعه رسته‌ها، تلاشی برای بدست آوردن اصول بدیهی در مورد ساختارهای ریاضی و ارتباط آن‌ها با یکدیگر است. در این بین، تبدیلاتی که حافظ ساختار بوده، از اهمیت زیادی برخوردار هستند. یک مطالعه سیستماتیک از نظریه رسته‌ به ما امکان می‌دهد تا اثبات‌های کلی در مورد قضیه‌های مرتبط با این نوع ساختارهای ریاضی را به کمک اصول اولیه ارائه نماییم.

فرض کنید کلاس Grp از «گروه‌ها» (Groups) تشکیل شده است که آن‌ها نیز از اشیا دارای یک ساختار گروهی (group structure) ساخته شده‌اند. به کمک استنتاج منطقی و مجموعه‌ای از اصول مربوط به تعریف گروه‌ها، می‌توان قضیه‌هایی برای این کلاس معرفی کرد.

نظریه رسته به جای تمرکز صرف بر روی اشیا منفرد (مثلاً گروه‌ها) که دارای یک ساختار معین هستند، بر ریخت‌ها یا نگاشت‌های حافظ ساختار بین این اشیا تأکید دارد. با مطالعه این شکل ریخت‌ها، می‌توان در مورد ساختار اشیاء بیشتر آموخت و نتایج را به اشیاء دیگر تعمیم داد.

ریخت‌ها در حقیقت، همان گروه‌های هم‌ریخت‌ هستند. یک گروه هم‌ریخت، حافظ ساختار گروه بوده و عبارت بین دو گروه هم‌ریختی ایجاد می‌کند. به این ترتیب اطلاعاتی که در یک گروه وجود دارد به گروه دیگر نیز قابل توسعه است. به این ترتیب مطالعه گروه‌های هم‌ریخت ابزاری برای مطالعه عمومی‌تر گروه‌ها و در نتیجه پایه ریزی اصول و قضیه‌ها در مورد کل گروه خواهد بود.

نوع مشابه تحقیق در نظریه رسته در بسیاری از نظریه‌های دیگر ریاضی مانند مطالعه «نقشه‌های پیوسته» (Continuous Maps) بین «فضاهای توپولوژیک» (Topological Space) در توپولوژی و مطالعه «توابع هموار» (Smooth Functions) در «نظریه منیفولد» (Manifold Theory) دیده می‌شود.

همه رسته‌ها به عنوان «توابع مجموعه‌ای حافظ ساختار» در نظر گرفته نمی‌شوند، هرچند اکثر مثال‌ها استاندارد برمبنای چنین خاصیتی برای فضاهای توپولوژیکی نقطه‌ای ساخته می‌شوند.

نکته: اگر به جای «توابع» (Functions) از «رابطه‌ها» (Relations) در نظریه رسته استفاده شود، به آن «نظریه الگوری» (Theory of Allegory) یا «تمثیل‌ها» گفته می‌شود.

هر رسته شامل سه هویت اصلی ریاضیاتی است که در ادامه به آن‌ها اشاره خواهیم کرد.

  • کلاس $$ob(C)$$ که عناصر آن‌ها را «اشیاء» (Objects) می‌نامیم.
  • کلاس $$hom(C)$$ که اعضای آن را ریخت یا نگاشت نامیده و به وسیله یک پیکان در نمودار نشان می‌دهیم. هر ریخت مانند $$f$$، دارای یک شیئ مبدا (مثلا $$a$$ و یک شیئ مقصد (مثلا $$b$$) است. نماد $$f: a \rightarrow b$$ را به صورت عبارت «$$f$$ یک ریخت از $$a$$ به $$b$$ است»، می‌خوانیم. از طرفی عبارت $$hom(a,b)$$ یا به طور جایگزین، $$hom_C(a,b)$$ یا $$mor(a,b)$$ و یا $$C(a,b)$$، نشانگر کلاس hom از همه ریخت‌های $$a$$ به $$b$$ ‌هستند.
  • یک «عملگر دودویی» (Binary Operation) مثل $$\circ$$ که به آن «ترکیب ریخت‌ها» (Composition of morphisms) گفته می‌شود. توجه داشته باشید که ترکیب $$f : b \rightarrow b$$ و $$g: b \rightarrow c$$ به صورت $$g \circ f$$ یا $$gf$$ نشان داده می‌شود. این عملگر، برای سه شیئ $$a, b , c$$ به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$ \large \circ : \;hom(b,c) \times hom(a,b) \rightarrow hom(a,c) $$

عملگر دودویی روی ریخت‌ها دارای دو ویژگی مهم است که درست شبیه ترکیب توابع عمل می‌کند.

  • عملگر ترکیب دارای خاصیت «شرکت‌پذیری دودویی» (Binary Associative) است. اگر رابطه زیر برای ریخت‌های دلخواه $$f$$‌، $$g$$ و $$h$$ برقرار باشد،

$$\large f : a \rightarrow b , \;\;\; g: b\rightarrow c , \;\;\; h: c \rightarrow d$$

آنگاه خواهیم داشت:

$$ \large h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $$

  • عملگر دودویی دارای خاصیت «همانی» (Identity) نیز هست به این معنی که برای هر $$x$$ به عنوان یک شیئ، یک ریخت مانند $$1_x : x \rightarrow x$$ وجود دارد که به آن «ریخت همانی» (Identity Morphism) برای $$x$$ گفته می‌شود، بطوری که برای هر ریخت $$f : a \rightarrow b$$ رابطه زیر صدق می‌کند.

$$ \large 1_b \circ f = f = f \circ 1_a $$

براساس اصول مربوطه، می‌توان یکتا بودن عنصر همانی را اثبات کرد.

ریخت و انواع آن

همانطور که اشاره شد، ریخت‌ها (Morphism) از اجزای مهم در رسته‌ها محسوب می‌شود. در ادامه چند نوع ریخت در این نظریه را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

رابطه بین ریخت‌ها (مثلا $$fg = h $$) اغلب بوسیله نمودارهای جابجایی (Commutative Diagram) به کمک نقطه‌ها و کمان‌ها بیان می‌کنند. فرض کنید $$f : a \rightarrow b $$ یک ریخت (Morphism) باشد، آنگاه خواص و گونه‌های زیر را می‌توان برایش تصور کرد.

  • $$f$$ را «تک ‌ریخت» (Monomorphism) گوییم، اگر برای ریخت‌های $$g_1 , g_2$$ رابطه زیر برقرار باشد.

$$ \large f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2 , \;\;\; \forall \;\; g_1 , g_2 : x \rightarrow a $$

  • «اپیمورفیسم» (Epcimorphism) اصطلاحی است که برای ریخت $$f$$ به کار می‌رود، اگر در شرط زیر صادق باشد.

$$ \large g_1 \circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1 = g_2 , \;\;\; \; \forall \;\; g_1 , g_2 : b \rightarrow x $$

  • $$f$$ را «دو ریختی» (Bimorphism) می‌نامند، اگر $$f$$ هم «اپیمورفیسم» و هم «تک‌ریخت» باشد.
  • $$f$$ را «هم ریخت» (Isomorphism) می‌نامند، اگر داشته باشیم:

$$ \large \exists g : b\rightarrow b, \;\; f \circ g = 1_b ,\text{and} \;\; g \circ f = 1_a $$

  • اگر $$a = b $$ باشد، $$f$$ را «اندومورفیسم» (Endomorphism) می‌نامند. در این صورت $$end(a)$$ نشانگر کلاس اندومورفیسم‌های $$a$$ خواهد بود.
  • اگر ریخت $$f$$، هم‌ریخت بوده و از نوع اندومورفیسم هم باشد، آن را «اتومورفیسم» (Automorphism) می‌خوانیم.
  • یک ریخت را «انقباضی» (Retraction) می‌نامند، اگر «معکوس راست» (Right Inverse) آن موجود باشد به این ترتیب اگر $$g$$ یک ریخت از $$b$$ به $$a$$ باشد، رابطه زیر برقرار خواهد بود.

$$ \large f: a \rightarrow b , g : b \rightarrow a  \Rightarrow f \circ g = 1_b $$

  • اگر «معکوس چپ» (Left Inverse) ریخت $$f$$ موجود بوده و با $$g$$ نمایش داده شود، $$f$$ را بخش (Section) گفته و خواهیم داشت:

$$ \large g : b \rightarrow a , \; f: a \rightarrow b \;\;  \Rightarrow f \circ g = 1_a $$

نکته: هر ریخت انقباضی، حتما یک ریخت اپیمورفیسم بوده و هر ریخت بخشی نیز یک تک‌ریخت است.

به این موضوع نیز توجه داشته باشید که عبارت‌های زیر در مورد ریخت‌های گفته شده، معادل‌ هستند.

  • $$f$$، یک تک‌ریخت بوده و یک ریخت انقباضی است.
  • $$f$$، اپیمورفیسم و یک ریخت بخشی است.
  • $$f$$، یک هم‌ریخت (Isomorphism) است.

تابعگون یا فانکتور

یک رسته به تنهایی یک ساختار ریاضیاتی محسوب می‌شود. چنین ساختاری را «تابعگون» (Functor) یا «هموردا» نیز می‌نامیم. «نمودار گردش» (Diagram Chasing) یک روش تصویری برای استدلال در این نظریه براساس «پیکان‌ها» است که اشیاء را به یکدیگر متصل می‌کند. نمونه‌ای از این نمودار گردش را در تصویر ۱ مشاهده کردید. «تابعگون» (Functor)، برای بیان حضور این پیکان‌ها در بین رسته‌ها استفاده می‌شوند. تابعگون یا فانکتورها باعث ایجاد نمودارهای رسته‌ای و دنباله‌ها می‌شوند.

یک تابعگون، هر شی از یک رسته را به رسته دیگر مرتبط می‌کند و برای هر ریخت از رسته اول، یک ریخت در رسته دوم نیز وجود دارد که به هم متصل هستند. به این ترتیب، یک گروه از رسته‌ها و تابعگون‌ها ساخته می‌شود که اشیاء مربوط به نظریه رسته‌ها را تشکیل می‌دهند. به اصطلاح، اشیاء همان رسته‌ها و ریخت‌های تعریف شده بین رسته‌ها نیز تابعگون‌ها هستند.

مطالعه رسته‌ها و تابعگون‌ها، تنها یک مطالعه روی ساختارهای ریاضی نیست، بلکه تحقیق و بررسی رابطه‌ها بین کلاس‌های مختلفی از ساختارهای ریاضی است. پایه‌های اولیه این ایده، در توپولوژی جبری ظاهر شد. با نظریه رسته، می‌توان سوالات توپولوژیک دشوار را به سوالات جبری ساده‌تری ترجمه کرد که اغلب، حل آنها به سهولت انجام می‌شود. ساختارهای پایه، مانند «گروه پایه» (Fundamental Group)، می‌توانند به این ترتیب به صورت تابعگون، بیان شوند.

یک تابعگون مثل $$F$$ از یک رسته مانند $$C$$ به یک رسته دیگر مثل $$D$$ به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$ \large F : C \rightarrow D$$

توجه داشته باشید که چنین تابعگونی شامل اجزای زیر است:

  • برای هر $$x$$ در $$C$$ یک شیئ مثل $$F(x)$$ در $$D$$ وجود دارد.
  • برای هر ریخت $$f: X \rightarrow y$$ در $$C$$ یک ریخت مثل $$F(f) : F(x) \rightarrow f(y)$$ وجود دارد.

این اجزا در شرایط زیر صدق می‌کنند.

  • برای هر شیئ مثل $$x$$ در $$C$$، داریم:

$$ \large F(1_x) = 1_{F(x)}$$

برای هر ریخت مثل $$f: x \rightarrow y $$ در $$C$$ و $$g: y \rightarrow z$$ رابطه زیر برقرار است.

$$ \large F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) $$

تبدیلات طبیعی

باز به یک انتزاع توجه کنید. با توجه به بعضی از ساختارهای نمودارهای گردشی یا ساختارهای ترتیبی، می‌توان به «رابطه‌های طبیعی» (Naturally Related) پی ‌برد. این نمودارها می‌توانند مفهوم تبدیلات طبیعی را برایمان واضح و شفاف کنند. تبدیلات اجازه می‌دهند که یک نگاشت از یک تابعگون به یک تابعگون دیگر ایجاد کنیم. واضح است که بسیاری از ساختارهای ریاضیاتی در این حیطه قابل مطالعه هستند.

در این بین، «طبیعی بودن» (Naturality) یک اصل محسوب می‌شود، درست مانند «کوواریانس عمومی» (General Covariance) در فیزیک. یک کمان بین دو تابعگون، یک عملگر یا تبدیل طبیعی است اگر در شرط‌های جابجای و طبیعی بودن صدق کند.

فرض کنید $$F$$ و $$G$$ دو تابعگون بین رسته‌های $$C$$ و $$D$$ هستند. در این حالت $$\eta$$ را یک تبدیل طبیعی از $$F$$ به $$G$$ می‌گوییم، اگر هر شیئ مثل $$X$$ از $$C$$ به کمک یک ریخت مثل $$\eta_x :F(X) \rightarrow G(X)$$ به یک شیئ در $$D$$ تبدیل شود، بطوری که برای هر ریخت مثل $$f: X \rightarrow Y$$ در $$C$$ داشته باشیم، $$\eta_Y \circ F((f) = F(f)\circ \eta_x$$. این امر توسط نمودار زیر به خوبی نشان داده شده است. مشخص است که این «نمودار جابجایی» (Commutative Diagram) است.

Natural transformation
تصویر ۲: یک نمودار جابجایی بین دو رسته C و D

نکته: نمودار جابجایی، به نموداری گفته می‌شود که شامل سه بخش باشد: «راس‌ها» (Vertices)، «یال‌ها» (Edges) و «مسیرها» (Paths) یا ترکیب‌ها. این اجزا در نموداری که در تصویر ۲ دیده می‌شود به ترتیب، برای راس‌ها به صورت $$G(X)$$ و $$G(Y)$$ همچنین $$F(X)$$ و $$F(Y)$$‌ و برای یال‌ها نیز به شکل $$\eta_X$$ و $$\eta_Y$$ دیده می‌شود. از طرفی $$\eta_Y \circ F(f)$$ یک مسیر نامیده می‌شود.

کاربردهای نظریه رسته

نظریه رسته اکنون در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، برخی از زمینه‌های علوم رایانه نظری به کار گرفته می‌شود. همچنین در «طراحی پایگاه داده» (DataBase Design) و «فیزیک ریاضی» (Mathematical Physics) برای توصیف فضاهای برداری به کار می‌رود. از این رو نظریه رسته‌ها در بین محققین و دانشمندان بسیار موضوع مطرح و پر کاربردی محسوب می‌شود.

معرفی فیلم آموزش مقدمه ای بر نظریه مدول ها (جبر پیشرفته)

modules course

در مجموعه آموزش‌های ریاضی فرادرس، علاوه بر آموزش‌های پایه ریاضیات (مانند ریاضی پیش‌‌دانشگاهی و ریاضی ۱ و ۲) به مباحث پیشرفته‌تر نیز پرداخته شده است. از این جمله می‌توان به فیلم آموزشی مقدمه‌ای بر نظریه مدول‌ها اشاره کرد که شامل ۴ ساعت و ۴۹ دقیقه فیلم و محتوای آموزشی است. در این فیلم آموزشی به موضوعاتی نظیر، مدول، مدول‌های آزاد، رسته (کتگوری)، تابعگون (فانکتور)، ضرب و هم ضرب، ضرب تانسوری و موضوعات مرتبط با نظریه مدول‌ها پرداخته می‌شود.

دانشجویان ریاضی محض در مقطع کارشناسی ارشد و دکتری از این فیلم آموزشی بیشترین بهره را خواهند برد. زیرا هم موضوعات متنوع به طور کامل مطرح شده و هم در زمان کوتاه آموزش به پیش می‌رود. پیش‌نیازهای این آموزش را می‌توان آگاهی در مورد مبانی جبر و جبر خطی در نظر گرفت.

سرفصل‌های آموزشی در این فرادرس به صورت فهرست‌وار طبق پنج درس، به ترتیب زیر است.

  • درس اول: مدول‌ها، شامل تعریف و انواع مدول‌ها به همراه هم‌ریختی مدول‌ها.
  • درس دوم: رسته‌ها، تعریف رسته و انواع ریخت‌ها، زیر رسته و تابعگون و تبدیلات طبیعی به همراه قضیه‌های مرتبط با یک ریختی.
  • درس سوم: تانسور (Tensor) و تعریف ضرب متعادل و ضرب تانسوری، بررسی تابعگون‌ها، مدول‌های دوگانه و شرکت‌پذیری نانسور.
  • درس چهارم: مدول‌های نوتری و آرتینی و شرط‌های لازم و کافی بودن برای چنین مدول‌هایی، لم شور و قضیه آرتین و دربرن.
  • درس پنجم: نظریه نمایش و حلقه‌های ابتدایی و نیم‌ ابتدایی، رادیکال جیکوبسون، قضیه چگالی و حلقه‌های آرتینی و نوتری.

البته موضوعات مفصل دیگری نیز در این آموزش مطرح شده که با مراجعه به صفحه مربوطه، آن‌ها را فرا خواهید گرفت.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با یکی از نظریه‌ای مهم و البته مدرن در ریاضیات آشنا شدیم که به نظریه رسته یا رده‌ها معروف است. در بسیاری از مواقع این نظریه را جایگزینی برای نظریه مجموعه‌ها در نظر می‌گیرند که به وسیله آن می‌توان اصول و اکثر قضیه‌های مهم ریاضیات را نمایش و اثبات کرد. از کاربردهای مهم نظریه رسته می‌توان به مهندسی و علوم کامپیوتر و همچنین رشته‌های کاربردی ریاضیات اشاره کرد. ساختاری که در نظریه رسته‌ها به کار می‌رود، بسیار شبیه به نظریه گراف بوده بطوری که نمایش توابع و ارتباط بین ساختارهای ریاضیاتی را به صورت یک گراف در این نظریه انجام می‌دهند.

فیزیک ریاضیاتی و بخصوص حوزه فضاهای برداری نیز یکی دیگر از بخش‌های علوم است که در آن از نظریه رسته‌ها بیشترین بهره برده می‌شود. شاید بتوان اولین کاربرد نظریه رسته را در خارج از حیطه ریاضیاتی، مربوط به مدل مدل خودکار زندگی اورگانیسم‌ها، معروف به «متابولیسم-ترمیم» (Metabolism-repair) دانست که توسط «رابرت روزن» (Robert Rosen) معرفی شده است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *