شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
معادله صفحه مماس – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
۷۶۶۵
۱۴۰۲/۰۲/۱۶
۳۴ دقیقه
PDF
آموزش متنی جامع
امکان دانلود نسخه PDF
آموزش ویدئویی
در مطلب مشتق جزئی بیان کردیم که چگونه مشتقات جهتی fx,fy نشاندهنده خطوط مماس بر تابع f هستند. در این مطلب قصد داریم تا حالت عمومیتر این مفهوم را بیان کرده و نحوه بدست آوردن معادله صفحه مماس را با استفاده از آن توضیح دهیم. نمودار تابع z=f(x,y)، صفحهای سهبعدی در R3 بوده از این رو میتوان صفحه مماس بر آن را نیز در هر نقطه تعریف کرد.
در ابتدا فرض کنید (x0,y0) یک نقطه از صفحه بوده و C1 نیز مسیری از f(x,y) روی صفحه y=y0 باشد. به همین صورت C2 نیز مسیری از f(x,y)، روی صفحه x=x0 است. در ابتدا باید یادآوری کنیم که fx(x0,y0) نشاندهنده شیب خط مماس بر f(x,y) روی C1 و fy(x0,y0)، نشاندهنده مماس بر C2 است. همچنین L1 را برابر با خط مماس بر C1 و L2 را مماس بر C2 در نظر بگیرید.
در این صورت صفحه مماس بر f(x,y)، صفحهای است که از هر دو خط L1 و L2 عبور کند. از نظر هندسی این صفحه دقیقا خاصیتهای مشابه با خط مماس بر نمودار در یک نقطه را دارد. حال به منظور بدست آوردن معادله صفحه، فرض کنید نقطه (x0,y0) روی صفحه f(x,y) قرار گرفته است. با توجه به اینکه نقطه روی هر دو صفحه قرار گرفته، بنابراین میتوان تساوی زیر را بیان کرد:
(x0,y0,z0)=(x0,y0,f(x0,y0))
از طرفی میدانیم که شکل عمومی معادله یک صفحه به صورت زیر است.
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0
رابطه فوق با این فرض بیان شده که (x0,y0,z0) روی صفحه قرار داشته و (a,b,c)، بردار عمود به صفحه باشد. معادله فوق را به شکل زیر بازنویسی میکنیم.
z−z0=−ca(x−x0)−cb(y−y0)
با توجه به رابطه فوق ضرایب جدید A,B را به صورت زیر تعریف میکنیم.
A=−caB=−cb
بنابراین معادله را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد.
z−z0=A(x−x0)+B(y−y0)
در معادله فوق ضرایب A,B باید یافت شوند. بدین منظور در ابتدا فرض کنید y ثابت است. در این حالت اگر y=y0 فرض شود، در این صورت معادله صفحه (که در بالا بیان شده)، به صورت زیر در خواهد آمد.
z−z0=A(x−x0)
عبارت فوق نشاندهنده معادله خطی است که در نقطه (x0,y0) به صفحه اصلی مماس است. در حقیقت مختصات تمامی نقاط قرار گرفته روی این خط، در y=y0 قرار داشته و شیب این خط نیز برابر با A است. بنابراین میتوان گفت معادله فوق نشاندهنده خط L1 است. از طرفی میدانیم که شیب خط مماس به صفحه در یک نقطه مشخص برابر با fx(x0,y0) است. در حقیقت A را میتوان به صورت زیر در نظر گرفت.
A=fx(x0,y0)
به همین صورت میتوان گفت با ثابت بودن x در x=x0 نیز، B برابر است با:
B=fy(x0,y0)
بنابراین نهایتا میتوان معادله صفحه مماس بر z=f(x,y) در نقطه (x0,y0) را به صورت زیر بیان کرد:
z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)
با در نظر گرفتنِ z0=f(x0,y0)، شکل نهایی معادله صفحه مماس برابر میشود با:
با توجه به مشتقات بدست آمده در بالا، معادله صفحه مماس برابر میشود با:
z−0z=2(x+1)+(1)(y−3)=2x+y−1
یکی از کاربردهای صفحه مماس این است که میتوان با استفاده از آنها معادله صفحه نزدیک یک نقطه را حدس زد. با توجه به اینکه به نقطه (x0,y0) نزدیک هستیم، بنابراین با استفاده از این معادله میتوان مقدار تابع را در نقطه مذکور تقریب زد. بدین منظور تقریب خطی زیر را تعریف میکنیم.
همانطور که در بالا نیز بیان شد، تقریب خطی یک سطح سهبعدی در یک نقطه برابر با معادله صفحه در آن نقطه است. در ابتدا مشتقات مرتبه اول در جهات x,y را به صورت زیر بدست میآوریم:
fx=8x−2ye2x+yfy=−e2x+y−ye2x+y
همچنین مقادیر تابع چندمتغیره در نقطه مذکور برابر است با:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
لذت بردم از تدریس جناب زندی
بی نظیر هستند.کاش هر دانشکده ای یک
امید زندی داشت