معادله صفحه مماس – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطلب مشتق جزئی بیان کردیم که چگونه مشتقات جهتی $$f _ x , f _ y$$ نشان‌دهنده خطوط مماس بر تابع $$f$$ هستند. در این مطلب قصد داریم تا حالت عمومی‌تر این مفهوم را بیان کرده و نحوه بدست آوردن معادله صفحه مماس را با استفاده از آن توضیح دهیم. نمودار تابع $$z = f \left ( { x , y } \right )$$، صفحه‌ای سه‌بعدی در $$R ^ 3$$ بوده از این رو می‌توان صفحه مماس بر آن را نیز در هر نقطه تعریف کرد.

معادله صفحه مماس

در ابتدا فرض کنید $$( x _ 0 , y _ 0 )$$ یک نقطه از صفحه بوده و $$C _ 1$$ نیز مسیری از $$f ( x , y )$$ روی صفحه $$y = y _ 0$$ باشد. به همین صورت $$C _ 2$$ نیز مسیری از $$f ( x , y )$$، روی صفحه $$x = x _ 0$$ است. در ابتدا باید یادآوری کنیم که $${ f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right )$$ نشان‌دهنده شیب خط مماس بر $$f ( x , y )$$ روی $$C _ 1$$ و $${ f _ y } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right )$$، نشان‌دهنده مماس بر $$C _ 2$$ است. هم‌چنین $$L _ 1$$ را برابر با خط مماس بر $$C _ 1$$ و $$L _ 2$$ را مماس بر $$C _ 2$$ در نظر بگیرید.

در این صورت صفحه مماس بر $$f ( x , y )$$، صفحه‌ای است که از هر دو خط $$L _ 1$$ و $$L _ 2$$ عبور کند. از نظر هندسی این صفحه دقیقا خاصیت‌های مشابه با خط مماس بر نمودار در یک نقطه را دارد. حال به منظور بدست آوردن معادله صفحه، فرض کنید نقطه $$( x _ 0, y _0 )$$ روی صفحه $$f ( x , y)$$ قرار گرفته است. با توجه به این‌که نقطه روی هر دو صفحه قرار گرفته، بنابراین می‌توان تساوی زیر را بیان کرد:

$$\large \left ( { { x _ 0} , { y _ 0 } ,{ z _ 0 } } \right ) = \left ( { { x _ 0 }, { y _ 0 } , f \left ( { { x _0 } , { y _0 } } \right ) } \right )$$

از طرفی می‌دانیم که شکل عمومی معادله یک صفحه به صورت زیر است.

$$\large a \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + b \left ( { y - { y _ 0 } } \right ) + c \left ( { z - { z _ 0 } } \right) = 0$$

رابطه فوق با این فرض بیان شده که $$\left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _0 } } \right )$$ روی صفحه قرار داشته و $$( a , b , c )$$، بردار عمود به صفحه باشد. معادله فوق را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$\large z - { z _ 0 } = - \frac { a } { c } \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) - \frac { b } { c } \left ( { y - { y _0 } } \right )$$

با توجه به رابطه فوق ضرایب جدید $$A , B$$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$\large A = - \frac { a } { c } \hspace {0.25in} B = - \frac { b } { c }$$

بنابراین معادله را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large z - { z _ 0 } = A \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + B \left ( { y - { y _ 0 } } \right )$$

در معادله فوق ضرایب $$A , B$$ باید یافت شوند. بدین منظور در ابتدا فرض کنید $$y$$ ثابت است. در این حالت اگر $$y = { y _ 0 }$$ فرض شود، در این صورت معادله صفحه (که در بالا بیان شده)، به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large z - { z _ 0 } = A \left ( { x - { x _ 0 } } \right )$$

عبارت فوق نشان‌دهنده معادله خطی است که در نقطه $$\left ( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right )$$ به صفحه اصلی مماس است. در حقیقت مختصات تمامی نقاط قرار گرفته روی این خط، در $$y = y _ 0$$ قرار داشته و شیب این خط نیز برابر با $$A$$ است. بنابراین می‌توان گفت معادله فوق نشان‌دهنده خط $$L _ 1$$ است. از طرفی می‌دانیم که شیب خط مماس به صفحه در یک نقطه مشخص برابر با $${ f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y_ 0 } } \right )$$ است. در حقیقت $$A$$ را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large A = { f _ x } \left ( { { x _0 } , { y _ 0 } } \right )$$

به همین صورت می‌‌توان گفت با ثابت بودن $$x$$ در $$x = x _ 0$$ نیز، $$B$$ برابر است با:

$$\large B = { f _ y } \left ( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right )$$

بنابراین نهایتا می‌توان معادله صفحه مماس بر $$z = f \left ( { x , y } \right )$$ در نقطه $$( x _ 0 , y _ 0 )$$ را به صورت زیر بیان کرد:

$$\large z - { z _ 0 } = { f _ x } \left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _0 } } \right ) + { f _ y } \left ( { { x _0 } , { y _0 } } \right ) \left ( { y - { y _ 0 } } \right )$$

با در نظر گرفتنِ $${ z _ 0 } = f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right )$$، شکل نهایی معادله صفحه مماس برابر می‌شود با:

$$\begin {align*} z - f \left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right ) & = { f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _ 0 } } \right) + { f _ y } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left ( { y - { y _ 0 } } \right ) \\ z & = f\left ( { { x _ 0 }, { y _ 0 } } \right ) + {f_x}\left( { { x _ 0 },{ y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + { f _ y } \left( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right ) \left( { y - { y _ 0 } } \right ) \end{align*}$$

مثال ۱

معادله صفحه مماس بر صفحه $$z = \ln \left ( { 2 x + y } \right )$$ را در نقطه $$\left ( { - 1 , 3 } \right )$$ بیابید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

به منظور یافتن معادله صفحه، کافی است، عبارت‌های مورد نیاز در عبارت فوق را بدست آورد. در ادامه این کار انجام شده است.

$$\large \begin{align*}f\left ( { x , y } \right ) & = \ln \left ( { 2 x + y} \right ) \hspace {0.25in} & { z _ 0 } & = f \left ( { - 1 , 3 } \right) = \ln \left ( 1 \right ) = 0 \\ { f _ x } \left( {x,y} \right ) & = \frac { 2 } { { 2 x + y } } \hspace {0.25in} & { f _ x } \left ( { - 1,3} \right) & = 2 \\ {f_y}\left( { x , y } \right ) & = \frac { 1 } { { 2 x + y } } \hspace {0.25in} & { f _ y } \left( { - 1 , 3 } \right ) & = 1 \end {align*}$$

با توجه به مشتقات بدست آمده در بالا، معادله صفحه مماس برابر می‌شود با:

$$\large \begin {align*}z - 0 & = 2 \left( { x + 1 } \right) + \left( 1 \right ) \left ( { y - 3 } \right ) \\ z & = 2 x + y - 1 \end {align*}$$

یکی از کاربرد‌های صفحه مماس این است که می‌توان با استفاده از آن‌ها معادله صفحه نزدیک یک نقطه را حدس زد. با توجه به این‌که به نقطه $$\left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right )$$ نزدیک هستیم، بنابراین با استفاده از این معادله می‌توان مقدار تابع را در نقطه مذکور تقریب زد. بدین منظور تقریب خطی زیر را تعریف می‌کنیم.

$$\large L \left ( { x , y } \right) = f\left ( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right) + { f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left( {x - { x _ 0 } } \right) + { f _ y } \left ( { { x_ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left( { y - { y _ 0 } } \right )$$

با توجه به این‌که به نقطه $$\left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right )$$ نزدیک هستیم، بنابراین می‌توانیم از تقریب زیر استفاده کنیم.

$$f \left ( { x , y } \right ) \approx L \left ( { x , y } \right ) = f \left ( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right) + { f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + { f _ y } \left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right ) \left ( {y - { y _ 0 } } \right )$$

مثال ۲

تقریب خطی صفحه زیر را در نقطه $$\left ( { - 4 , 3 } \right )$$ بیابید.

$$\large z = 3 + \frac { { { x ^ 2 } } } { { 16 } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { 9 }$$

در ابتدا باید معادله صفحه مماس را در نقطه مذکور بیابیم. بدین منظور در ابتدا مقادیر زیر را به منظور بدست آوردن معادله صفحه مماس محاسبه می‌کنیم.

$$\large \begin{align*}f\left( {x,y} \right) & = 3 + \frac{ { { x ^ 2 } } } { { 1 6 } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { 9 } \hspace{0.25in} & f\left( { - 4,3} \right) & = 3 + 1 + 1 = 5 \\ { f _ x } \left( {x,y} \right) & = \frac { x } { 8 } \hspace {0.25in} & {f_x}\left( { - 4,3} \right) & = - \frac { 1 } { 2 } \\ { f _ y } \left( { x , y } \right ) & = \frac { { 2 y } } { 9 } \hspace {0.25in} & { f _ y } \left ( { - 4 , 3 } \right ) & = \frac{2}{3}\end{align*}$$

بنابراین معادله صفحه مماس یا همان تقریب خطی برابر است با:

$$\large L \left ( { x , y } \right ) = 5 - \frac { 1 } { 2 } \left ( { x + 4 } \right ) + \frac { 2 } { 3 } \left ( { y - 3 } \right )$$

در ادامه شکل صفحه و مماس بر آن نشان داده شده‌اند.

مثال ۳

تقریب خطی سطح زیر و معادله صفحه مماس بر آن را در نقطه $$\left ( { - 2 , 4 } \right )$$ بیابید.

$$\large z = 4 { x ^ 2 } - y { { \bf { e } } ^ { 2 x + y } }$$

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، تقریب خطی یک سطح سه‌بعدی در یک نقطه برابر با معادله صفحه در آن نقطه است. در ابتدا مشتقات مرتبه اول در جهات $$x , y$$ را به صورت زیر بدست می‌آوریم:

$$\large { f _ x } = 8 x - 2 y { { \bf{e}} ^ { 2 x + y } } \hspace {0.5in} \hspace{0.25in}{f_y} = - { { \bf{e}} ^ { 2 x + y } } - y { { \bf{e} } ^ { 2 x + y } }$$

هم‌چنین مقادیر تابع چندمتغیره در نقطه مذکور برابر است با:

$$f \left ( { - 2 , 4 } \right ) = 12 \hspace {0.5in} { f _ x } \left ( { - 2 , 4 } \right ) = - 24 \hspace {0.5in} { f _ y } \left ( { - 2 , 4 } \right ) = - 5$$

در نتیجه، تقریب خطی به صورت زیر خواهد بود:

$$\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{L\left( {x,y} \right) = 12 - 24\left( {x + 2} \right) - 5\left( {y - 4} \right) = - 24x - 5y - 16}} $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• معادله صفحه - به زبان ساده
• ترکیب توابع — به زبان ساده

^^