معادله صفحه مماس — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطلب مشتق جزئی بیان کردیم که چگونه مشتقات جهتی $$ f _ x , f _ y $$ نشان‌دهنده خطوط مماس بر تابع $$ f $$ هستند. در این مطلب قصد داریم تا حالت عمومی‌تر این مفهوم را بیان کرده و نحوه بدست آوردن معادله صفحه مماس را با استفاده از آن توضیح دهیم. نمودار تابع $$ z = f \left ( { x , y } \right ) $$، صفحه‌ای سه‌بعدی در $$ R ^ 3 $$ بوده از این رو می‌توان صفحه مماس بر آن را نیز در هر نقطه تعریف کرد.

معادله صفحه مماس

در ابتدا فرض کنید $$ ( x _ 0 , y _ 0 ) $$ یک نقطه از صفحه بوده و $$ C _ 1 $$ نیز مسیری از $$ f ( x , y ) $$ روی صفحه $$ y = y _ 0 $$ باشد. به همین صورت $$ C _ 2 $$ نیز مسیری از $$ f ( x , y ) $$، روی صفحه $$ x = x _ 0 $$ است. در ابتدا باید یادآوری کنیم که $$ { f  _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$ نشان‌دهنده شیب خط مماس بر $$ f ( x , y ) $$ روی $$ C _ 1 $$ و $$ { f  _ y } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$، نشان‌دهنده مماس بر $$ C _ 2 $$ است. هم‌چنین $$ L _ 1 $$ را برابر با خط مماس بر $$ C _ 1 $$ و $$ L _ 2 $$ را مماس بر $$ C _ 2 $$ در نظر بگیرید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در این صورت صفحه مماس بر $$ f ( x , y ) $$، صفحه‌ای است که از هر دو خط $$ L _ 1 $$ و $$ L _ 2 $$ عبور کند. از نظر هندسی این صفحه دقیقا خاصیت‌های مشابه با خط مماس بر نمودار در یک نقطه را دارد. حال به منظور بدست آوردن معادله صفحه، فرض کنید نقطه $$ ( x _ 0, y _0 ) $$ روی صفحه $$ f ( x , y) $$ قرار گرفته است. با توجه به این‌که نقطه روی هر دو صفحه قرار گرفته، بنابراین می‌توان تساوی زیر را بیان کرد:

$$ \large \left ( { { x _ 0} , { y _ 0 } ,{ z _ 0 } } \right ) = \left (
{ { x _ 0 }, { y _ 0 } , f \left ( { { x _0 } , { y _0 } } \right ) } \right ) $$

از طرفی می‌دانیم که شکل عمومی معادله یک صفحه به صورت زیر است.

$$ \large a \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + b \left ( { y - { y _ 0 } } \right ) + c \left ( { z - { z _ 0 } } \right) = 0 $$

رابطه فوق با این فرض بیان شده که $$ \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } , { z _0 } } \right ) $$ روی صفحه قرار داشته و $$ ( a , b , c ) $$، بردار عمود به صفحه باشد. معادله فوق را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$ \large z - { z _ 0 } = - \frac { a } { c } \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) - \frac { b } { c } \left ( { y - { y _0 } } \right ) $$

با توجه به رابطه فوق ضرایب جدید $$ A , B $$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$ \large A = - \frac { a } { c } \hspace {0.25in} B = - \frac { b } { c } $$

بنابراین معادله را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$ \large z - { z _ 0 } = A \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + B \left ( { y - { y _ 0 } } \right ) $$

در معادله فوق ضرایب $$ A , B $$ باید یافت شوند. بدین منظور در ابتدا فرض کنید $$ y $$ ثابت است. در این حالت اگر $$ y = { y _ 0 } $$ فرض شود، در این صورت معادله صفحه (که در بالا بیان شده)، به صورت زیر در خواهد آمد.

$$ \large z - { z _ 0 } = A \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) $$

عبارت فوق نشان‌دهنده معادله خطی است که در نقطه $$ \left ( { { x _ 0 } , { y  _0 } } \right ) $$ به صفحه اصلی مماس است. در حقیقت مختصات تمامی نقاط قرار گرفته روی این خط، در $$ y = y _ 0 $$ قرار داشته و شیب این خط نیز برابر با $$ A $$ است. بنابراین می‌توان گفت معادله فوق نشان‌دهنده خط $$ L _ 1 $$ است. از طرفی می‌دانیم که شیب خط مماس به صفحه در یک نقطه مشخص برابر با $$ { f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y_ 0 } } \right ) $$ است. در حقیقت $$ A $$ را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$ \large A = { f _ x } \left ( { { x _0 } , { y _ 0 } } \right ) $$

به همین صورت می‌‌توان گفت با ثابت بودن $$ x $$ در $$ x = x _ 0 $$ نیز، $$ B $$ برابر است با:

$$ \large B = { f _ y } \left ( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right ) $$

بنابراین نهایتا می‌توان معادله صفحه مماس بر $$ z = f \left ( { x , y } \right ) $$ در نقطه $$ ( x _ 0 , y _ 0 ) $$ را به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large z - { z _ 0 } = { f _ x } \left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _0 } } \right ) + { f _ y } \left ( { { x _0 } , { y _0 } } \right ) \left ( { y - { y _ 0 } } \right ) $$

با در نظر گرفتنِ $$ { z _ 0 } = f \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$، شکل نهایی معادله صفحه مماس برابر می‌شود با:

$$ \begin {align*} z - f \left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right ) & = { f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _ 0 } } \right) + { f _ y } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left ( { y - { y _ 0 } } \right ) \\ z & = f\left ( { { x _ 0 }, { y _ 0 } } \right ) + {f_x}\left( { { x _ 0 },{ y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + { f _ y } \left( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right ) \left( { y - { y _ 0 } } \right ) \end{align*}$$

مثال ۱

معادله صفحه مماس بر صفحه $$ z = \ln \left ( { 2 x + y } \right ) $$ را در نقطه $$ \left ( { - 1 , 3 } \right ) $$ بیابید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

به منظور یافتن معادله صفحه، کافی است، عبارت‌های مورد نیاز در عبارت فوق را بدست آورد. در ادامه این کار انجام شده است.

$$ \large \begin{align*}f\left ( { x , y } \right ) & = \ln \left ( { 2 x + y} \right ) \hspace {0.25in} & { z _ 0 } & = f \left ( { - 1 , 3 } \right) = \ln \left ( 1 \right ) = 0 \\ { f _ x } \left( {x,y} \right ) & = \frac { 2 } { { 2 x + y } } \hspace {0.25in} & { f _ x } \left ( { - 1,3} \right) & = 2 \\ {f_y}\left( { x , y } \right ) & = \frac { 1 } { { 2 x + y } } \hspace {0.25in} & { f _ y } \left( { - 1 , 3 } \right ) & = 1 \end {align*} $$

با توجه به مشتقات بدست آمده در بالا، معادله صفحه مماس برابر می‌شود با:

$$ \large \begin {align*}z - 0 & = 2 \left( { x + 1 } \right) + \left( 1 \right ) \left ( { y - 3 } \right ) \\ z & = 2 x + y - 1 \end {align*} $$

یکی از کاربرد‌های صفحه مماس این است که می‌توان با استفاده از آن‌ها معادله صفحه نزدیک یک نقطه را حدس زد. با توجه به این‌که به نقطه $$ \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) $$ نزدیک هستیم، بنابراین با استفاده از این معادله می‌توان مقدار تابع را در نقطه مذکور تقریب زد. بدین منظور تقریب خطی زیر را تعریف می‌کنیم.

$$ \large L \left ( { x , y } \right) = f\left ( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right) + { f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left( {x - { x _ 0 } } \right) + { f _ y } \left ( { { x_ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left( { y - { y _ 0 } } \right ) $$

با توجه به این‌که به نقطه $$ \left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right ) $$ نزدیک هستیم، بنابراین می‌توانیم از تقریب زیر استفاده کنیم.

$$ f \left ( { x , y } \right ) \approx L \left ( { x , y } \right ) = f \left ( { { x _ 0 } , { y _0 } } \right) + { f _ x } \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) \left ( { x - { x _ 0 } } \right ) + { f _ y } \left ( { { x _ 0 } ,{ y _ 0 } } \right ) \left ( {y - { y _ 0 } } \right ) $$

مثال ۲

تقریب خطی صفحه زیر را در نقطه $$ \left ( { - 4 , 3 } \right ) $$ بیابید.

$$ \large z = 3 + \frac { { { x ^ 2 } } } { { 16 } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { 9 } $$

در ابتدا باید معادله صفحه مماس را در نقطه مذکور بیابیم. بدین منظور در ابتدا مقادیر زیر را به منظور بدست آوردن معادله صفحه مماس محاسبه می‌کنیم.

$$ \large \begin{align*}f\left( {x,y} \right) & = 3 + \frac{ { { x ^ 2 } } } { { 1 6 } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { 9 } \hspace{0.25in} & f\left( { - 4,3} \right) & = 3 + 1 + 1 = 5 \\ { f _ x } \left( {x,y} \right) & = \frac { x } { 8 } \hspace {0.25in} & {f_x}\left( { - 4,3} \right) & = - \frac { 1 } { 2 } \\ { f _ y } \left( { x , y } \right ) & = \frac { { 2 y } } { 9 } \hspace {0.25in} & { f _ y } \left ( { - 4 , 3 } \right ) & = \frac{2}{3}\end{align*}$$

بنابراین معادله صفحه مماس یا همان تقریب خطی برابر است با:

$$ \large L \left ( { x , y } \right ) = 5 - \frac { 1 } { 2 } \left ( { x + 4 } \right ) + \frac { 2 } { 3 } \left ( { y - 3 } \right ) $$

در ادامه شکل صفحه و مماس بر آن نشان داده شده‌اند.

مثال ۳

تقریب خطی سطح زیر و معادله صفحه مماس بر آن را در نقطه $$ \left ( { - 2 , 4 } \right ) $$ بیابید.

$$ \large z = 4 { x ^ 2 } - y { { \bf { e } } ^ { 2 x + y } } $$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، تقریب خطی یک سطح سه‌بعدی در یک نقطه برابر با معادله صفحه در آن نقطه است. در ابتدا مشتقات مرتبه اول در جهات $$ x , y $$ را به صورت زیر بدست می‌آوریم:

$$ \large { f _ x } = 8 x - 2 y { { \bf{e}} ^ { 2 x + y } } \hspace {0.5in} \hspace{0.25in}{f_y} = - { { \bf{e}} ^ { 2 x + y } } - y { { \bf{e} } ^ { 2 x + y } } $$

هم‌چنین مقادیر تابع چندمتغیره در نقطه مذکور برابر است با:

$$ f \left ( { - 2 , 4 } \right ) = 12 \hspace {0.5in} { f _ x } \left ( { - 2 , 4 } \right ) = - 24 \hspace {0.5in} { f _ y } \left ( { - 2 , 4 } \right ) = - 5 $$

در نتیجه، تقریب خطی به صورت زیر خواهد بود:

$$\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{L\left( {x,y} \right) = 12 - 24\left( {x + 2} \right) - 5\left( {y - 4} \right) = - 24x - 5y - 16}} $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• معادله صفحه - به زبان ساده
• ترکیب توابع — به زبان ساده

^^