معادله دیفرانسیل برنولی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم کلی معادلات دیفرانسیل را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم به روشی بپردازیم که پرکاربرد بوده و در حل معادلات درجه اول کاربرد دارد.

معادله برنولی

معادله دیفرانسیل برنولی، به معادله‌ای به شکل زیر اطلاق می‌شود.

$$\large y^{\prime} + p \left ( x \right ) y = q \left ( x \right ) { y ^ n }$$

در رابطه فوق $$p ( x )$$ و $$q ( x )$$ توابعی پیوسته و n نیز عددی حقیقی است. بدیهی است که در این رابطه،‌ اگر $$n = 0$$ یا $$n = ۱$$ باشد، معادله به صورت خطی بوده و می‌توان پاسخ آن را با استفاده از روش‌های حل معادلات خطی بدست آورد.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

به منظور حل معادله دیفرانسیل برنولی، در ابتدا طرفین آن را به $${ y ^ n }$$ تقسیم کرده و به رابطه زیر خواهیم رسید.

$${ y ^ { - n } } \,y ^{\prime} + p \left ( x \right ) { y ^ { 1 - n } } = q \left ( x \right )$$
رابطه ۱

حال می‌توان از تغییر متغیر $$v = { y ^ { 1 - n } }$$ به‌منظور حل معادله فوق استفاده کرد. با مشتق‌گیری ضمنی از رابطه فوق داریم:

$$v ^{\prime} = \left ( { 1 - n } \right ) { y ^ { - n } } y ^{\prime}$$
رابطه ۲

حال با جایگذاری v و $$v^{\prime}$$ در رابطه ۱، خواهیم داشت:

$$\frac { 1 } { { 1 - n } } v ^{\prime} + p \left ( x \right ) v = q \left ( x \right )$$

رابطه فوق، معادله دیفرانسیلی خطی را نشان می‌دهد که می‌توان آن را بر حسب v حل کرده و با جایگذاری در رابطه ۲، پاسخ نهایی معادله را بر حسب y بدست آورد. در ادامه مثالی ارائه شده که می‌توانید با مطالعه‌ی آن‌ به روش حل معادلات برنولی مسلط شوید.

مثال ۱

پاسخ معادله مقدار اولیه زیر را بیابید.

$$\large y ^{\prime} + \frac { 4 } { x } y = { x ^ 3 } { y ^ 2 } \hspace {0.25in} y \left( 2 \right) = - 1,\hspace { 0.25in } x > 0$$

مطابق با روش توضیح داده شده در بالا، در ابتدا رابطه فوق را به $${ y ^ 2 }$$ تقسیم می‌کنیم.

$${ y ^ { - 2 } } \, y ^{\prime} + \frac { 4 } { x } { y ^ { - 1 } } = { x ^ 3 }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

سپس تغییر متغیر v را به صورت در نظر گرفته و مشتق ضمنی آن را محاسبه می‌کنیم.

$$v = { y ^ { - 1 } } \hspace { 0.25in }, \enspace v ^{\prime} = - { y ^ { - 2 } } y ^{\prime}$$

با استفاده از تغییر متغیر فوق،‌ صورت معادله به شکل زیر در خواهد آمد.

$$- v ^{\prime} + \frac { 4 } { x } v = { x ^ 3 }$$

همان‌طور که بیان شد، با استفاده از این تغییر متغیر، معادله‌ اصلی به شکل معادله‌ای خطی در می‌آید (معادله فوق). حال به منظور حل رابطه فوق از روش‌های ارائه شده در معادلات خطی استفاده می‌شود. پاسخ v نیز در معادله فوق برابر است با:

$$v^{\prime} - \frac{4}{x}v = - { x ^ 3 } \hspace { 0.25in } \, \, \, \, \Rightarrow \hspace { 0.25in } \mu \left ( x \right) = { { \bf { e } } ^ { \int { { - \, \, \frac{ 4 } { x } \, d x } } } } = { { \bf { e } } ^ { - 4 \, \, \ln \left| x \right| } } = { x ^ { - 4 } }$$

$$\begin{align*}\int{{{{\left( {{x^{ - 4}}v} \right)}^\prime }\,dx}} & = \int{{ - {x^{ - 1}}\,dx}}\\ {x^{ - 4}}v & = - \ln \left| x \right| + c\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v\left( x \right) = c{x^4} - {x^4}\ln x\end{align*}$$

حال با بدست آمدن v بر حسب x، کافی است آن را در y قرار داده و معادله جدید بدست آمده را حل کنیم. با جایگذاری v در y داریم:

$${ y ^ { - 1 } } = { x ^ 4 } \left ( { c - \ln x } \right )$$

با اعمال مقدار اولیه در رابطه فوق، مقدار c برابر است با:

$${ \left ( { - 1 } \right ) ^ { - 1 } } = c { 2 ^ 4 } - { 2 ^ 4 } \ln 2\hspace { 0.25in } \Rightarrow \hspace { 0.25in } c = \ln 2 - \frac { 1 } { { 1 6 } }$$

با بدست آمدن c، پاسخ نهایی معادله برابر است با:

$$y \left( x \right) = \frac { 1 } { { { x ^ 4 } \left( { \ln 2 - \frac { 1 } { { 1 6 } } - \ln x} \right) } } = \frac { { - 1 6 } } { { { x ^ 4 } \left( { 1 + 1 6 \ln x - 1 6 \ln 2 } \right ) } } = \frac { { - 1 6 } } { { { x ^ 4 } \left ( { 1 + 1 6 \ln \frac { x } { 2 } } \right ) } }$$

مثال ۲

پاسخ معادله مقدار اولیه‌ی زیر را بیابید.

$$y ^{\prime} = 5 y + { { \bf { e } } ^ { - 2 \, x } } { y ^ { - 2 } } \hspace { 0.25in } y \left ( 0 \right ) = 2$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

با تقسیم کردن رابطه فوق به $$y ^ { - 2 }$$، شکل معادله به صورت زیر در می‌آید.

$${ y ^ 2 }\,y ^{\prime} - 5 { y ^ 3 } = { { \bf { e } } ^ { - 2\,x } }$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

با در نظر گرفتن تغییر متغیر زیر و هم‌چنین محاسبه مشتق آن داریم:

$$v = { y ^ 3 } \hspace { 0.25in } v ^{\prime} = 3 { y ^ 2 } y ^{\prime}$$

با جایگذاری رابطه فوق در معادله اصلی،‌ تغییر متغیر μ به منظور حل معادله به صورت زیر بدست می‌آید (نحوه بدست آمدن μ در مطلب معادلات خطی توضیح داده خواهد شد).

$$\frac { 1 } { 3 } v ^{\prime} - 5 v = { { \bf { e } } ^ { - 2 \, x } } \hspace { 0.25in } \Rightarrow \hspace { 0.25 in } v ^{\prime} - 1 5 v = 3 { { \bf { e } } ^ { - 2 \, x } } \hspace { 0.25in } \mu \left ( x \right ) = { { \bf { e } } ^ { - 1 5 \, x } }$$

با حل معادله فوق، v برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$v \left ( x \right ) = c { { \bf { e } } ^ { 1 5 \, x } } - \frac { 3 } { { 1 7 } } { { \bf { e } } ^ { - 2 \, x } }$$

با جایگذاری v در تغییر متغیر انجام شده، رابطه مربوط به y برابر خواهد بود با:

$${ y ^ 3 } = c { { \bf {e } } ^ { 1 5 \, x } } - \frac { 3 } { { 1 7 } } { { \bf { e } } ^ { - 2 \, x } }$$

با اعمال شرایط اولیه پاسخ نهایی y به صورت زیر بدست می‌آید:

$$8 = c - \frac{3} { { 1 7 } } \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{ 0.25in } c = \frac { { 1 3 9 } } { { 1 7 } }$$