معادله دیفرانسیل اویلر مراتب بالاتر — به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس انواع مختلف معادلات دیفرانسیل را توضیح دادیم. هم‌چنین در مطلبی دیگر نوعی از معادله دیفرانسیل، تحت عنوان معادله دیفرانسیل اویلر را مورد بررسی قرار دادیم. در این مطلب قصد داریم تا مراتب بالاتر این نوع از معادلات را بررسی کرده و روش حل آن‌ها را توضیح دهیم.

جهت درک بهتر این مطلب، پیشنهاد می‌شود مطالب معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل مرتبه بالا و معادله دیفرانسیل اویلر را مطالعه فرمایید.

روش‌های حل

در راستای ارائه مفاهیم ریاضیات در وبلاگ فرادرس، معادله دیفرانسیل اویلر را به صورت زیر معرفی کردیم.

$$\Large \begin {equation} a { x ^ 2 } y ^ { \prime\prime } + b x y ^ { \prime } + c y = 0 \end {equation}$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

معادله‌ای همچون معادله بالا را با استفاده از تغییر متغیر $$\large y = x ^ { r }$$ می‌توان حل کرد. حال فرض کنید معادله فوق دارای مشتق مراتب بالاتر نیز باشد. در حقیقت معادله‌ای به صورت زیر را در نظر بگیرید.

$$\Large { { x ^ n } { y ^ { \left ( n \right ) } } + { a _ 1 } { x ^ { n – 1 } } { y ^ { \left ( { n – 1 } \right ) } } + \cdots } + { { a _ { n – 1 } } xy ^ { \prime } + { a _ n } y = 0 \ , \; \; } \kern-0.3pt {x \gt 0 }$$

معادله فوق، معادله دیفرانسیل اویلر با مرتبه n محسوب می‌شود. توجه داشته باشید در این رابطه، ضرایب a_n، اعدادی ثابت هستند. البته در حالت کلی می‌توان از روش‌های بسیاری به منظور حل معادله دیفرانسیل اویلر مراتب بالاتر استفاده کرد،‌ اما در این مطلب سه مورد از روش‌های پرکاربرد را توضیح خواهیم داد.

حل معادله دیفرانسیل اویلر مراتب بالا با فرض $$\large x = { e ^ t }$$

در این روش با فرض $$\large x = { e ^ t }$$، معادله دیفرانسیل مرتبه n را می‌توان به معادله‌ای با ضرایب ثابت تبدیل کرد. در این حالت مشتق y را بر حسب پارامتر جدیدی تحت عنوان t بیان می‌کنیم. به منظور انجام این کار می‌توان از عملگر ریاضی D استفاده کرد. در رابطه ارائه شده در پایین، D نشان دهنده مشتق اول y نسبت به t است. بنابراین عملگر D را می‌توان به شکل زیر تعریف کرد.

$$\large D y = { \large \frac { { d y } } { {d t } } \normalsize}$$

با استفاده از فرض فوق، مشتق اول y را می‌توان نسبت به t، به صورت زیر محاسبه کرد.

$$\large { y ^ { \prime } = \frac { { d y } } { { d x }} = \frac { { \frac { { d y } } { { d t } } } }{ { \frac { { d x } }{{ d t } } } } } = { \frac { { \frac { { d y } } { { d t } } } } { { {e ^ t } }} } = {{ e ^ { – t }} \frac{{d y }}{{ d t }} } = {{ e ^ { – t } } D y }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

به همین صورت مشتق مرتبه دوم را نیز می‌توان بر حسب D بدست آورد.

$$\large \begin {align*} {y ^ { \prime \prime} = \frac { d } { { d x }} \left( {\frac{ { d y } }{ { d x } } } \right) } & = {\frac{d}{{dx}}\left( {{e^{ – t}}\frac{{dy}}{{dt}}} \right) } \\ & = {\frac{{\frac{d}{{dt}}}}{{{e^t}}}\left( {{e^{ – t}}\frac{{dy}}{{dt}}} \right) } \\ & = {{e^{ – t}}\frac{ d } { {d t} }\left( {{e^{ – t}}\frac{{dy}}{{dt}}} \right) } \\ & = {{e^{ – t}}\left( { – {e^{ – t}}\frac{ {d y }} { {d t } } + { e ^ { – t}}\frac{{{ d ^ 2 } y }} { { d { t^ 2 } }}} \right) } \\ & = {{e^{ – 2 t } } \left( { { D ^ 2} – D} \right)y } \\ & = {{e^{ – 2t}}\left[ { D \left( {D – 1} \right)} \right]y } \end {align*}$$

مشتق مرتبه سوم نیز برابر است با:

$$\large \begin{align*} { y ^ { \prime \prime \prime} = \frac { d } { { d x } }\left( {\frac{{ { d ^ 2 } y } } { { d { x ^ 2} }}} \right) } & = {\frac { d } { { d x }}\left[ {{ e ^{ – 2 t } } \left ( {\frac { { { d ^ 2 } y }} { { d{ t ^ 2 }}} – \frac{{ d y } }{ { d t } } } \right)} \right] } \\ & = {\frac{{\frac{d}{{dt}}}}{{{e^t}}}\left[ {{e^{ – 2t}}\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} – \frac{{dy}}{{dt}}} \right)} \right] } \\ & = {{e^{ – t } } \left[ { – 2{e^{ – 2t}}\left( {\frac{{{ d ^ 2} y} } { { d { t^ 2}}} – \frac{{d y}}{{d t}}} \right) + } \right.}\kern0pt {\left. {{e^{ – 2t}}\left( {\frac{{{d^3} y}}{{ d{ t ^3}}} – \frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}}} \right)} \right]} \\ & = {{e^{ – 3t}}\left( { – 2\frac{{{d ^2} y}}{{d {t^2}}} + 2\frac{{d y}}{{ d t}} }\right.}+{\left.{ \frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} – \frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}}} \right) } \\ & = {{e^{ – 3t}}\left( {\frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} – 3\frac{{{ d ^ 2 } y} } { { d{ t ^ 2} }} + 2\frac{{ d y } } {{ d t } } } \right) } \\ & = {{e^{ – 3 t } } \left( { { D ^ 3 } – 3{ D ^ 2 } + 2D} \right)y } \\ & = {{e^{ – 3t}}\left[ {D\left( {D – 1} \right)\left( {D – 2} \right)} \right]y} \end{align*}$$

به همین طریق مشتق مرتبه nام را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

$$\Large { { y ^ { \left ( n \right ) } } } = { { e ^ { – n t } } \left [ { D \left ( { D – 1 } \right ) \left ( { D – 2} \right ) \cdots } \right.}\kern0pt{\left.{ \left( { D – n + 1 } \right ) } \right] y }$$

در نتیجه تغییر متغیر در نظر گرفته شده، معادله به صورت مرتبه n در آمده و با استفاده از روش‌های استاندارد می‌توان آن را حل کرد. توجه داشته باشید که عبارت e^nt از طرفین معادله بدست آمده، حذف شده و به صورت معادله‌ای با ضرایب ثابت در می‌آید.

نهایتا پاسخ بدست آمده با استفاده از رابطه $$\large t = \ln x$$ بر حسب x قابل بیان است. به مثال ارائه شده در ادامه توجه فرمایید.

مثال ۱

پاسخ کلی معادله دیفرانسیل اویلر زیر را برای مقادیر x>0 بیابید.

$$\Large { x ^ 3 } y ^ { \prime \prime\prime} – 2 { x ^ 2} y ^ { \prime \prime } +\; 4 x y ^ {\prime } – 4 y$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مطابق با روش ارائه شده در بالا، ابتدا از تغییر متغیر $$\large x = { e ^ t }$$ استفاده می‌کنیم. با جایگذاری تغییر متغیر در نظر گرفته شده در معادله اصلی داریم:

$$ \Large \require{cancel} {\cancel { e ^ {3 t } } \cancel { e ^ { – 3t}}\left( {{D^3} – 3{D^2} + 2D} \right)y } – {2\cancel{e^{2t}}\cancel{e^{ – 2t}}\left( {{D^2} – D} \right)y } + { 4 \cancel{ e ^ t } \cancel { e ^ { – t} } D y – 4 y }={ 0} $$

عبارت فوق را به صورت استاندارد و مطابق با معادله زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$\Large { \frac { { { d ^ 3 } y } } { { d { t ^ 3 } } } – 5 \frac { { { d ^2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } }+{ 8 \frac { { d y} } { { d t } } – 4 y }={ 0 }$$

معادله مشخصه‌ی معادله دیفرانسیل فوق به صورت زیر است.

$$\Large {{k ^ 3 } – 5 { k ^ 2 } + 8 k – 4 }={ 0 }$$

مقدار k=2 در رابطه بالا صدق می‌کند. از این رو رابطه بالا را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

$$\Large \begin{align*} { { { k ^ 3 } – 2 { k ^ 2 } – 3{ k ^ 2 } } + { 6 k + 2 k – 4 = 0 \; \; } } & \Rightarrow { { { k^ 2 } \left ( { k – 2 } \right) } - {3 k \left ( { k – 2} \right) }+{ 2\left( {k – 2} \right) = 0 \; \; } } \\ & \Rightarrow { { \left ( { k – 2 } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { { k ^ 2 } – 3 k + 2 } \right ) } = { 0 }} \end{align*}$$

عبارت فوق نشان می‌دهد که پاسخ‌های معادله برابر با k=1,2,2 هستند. همان‌طور که می‌بینید پاسخِ ۲ به صورت ریشه مضاعف است. بنابراین پاسخ معادله برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\Large { y \left ( t \right ) } = { { C _ 1 } { e ^ t } } + { \left ( { { C _ 2 } + { C _ 3 } t } \right ) { e ^ { 2t } } }$$

در رابطه فوق Cها اعدادی ثابت هستند. در مرحله آخر باید پاسخ را از فضای t به فضای x ببریم. بدین منظور از $$\large t = \ln x$$ استفاده می‌کنیم. با جایگذاری این عبارت به جای t، پاسخ نهایی معادله به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\Large { y \left ( x \right ) } = { { C _ 1 } { e ^ { \ln x } } } + { \left ( { {C _ 2 } + { C _ 3 } \ln x } \right){e^{2\ln x } } } = { { C _ 1 } x } + { \left( { { C _ 2 } + { C _ 3 } \ln x } \right ) { x ^ 2 } }$$

حل معادله با فرض $$\large y = x ^ k$$

یکی از روش‌های معمول به منظور حل معادله دیفرانسیل اویلر مراتب بالاتر استفاده از پاسخِ فرضیِ $$\large y = { x ^ k }$$ است. با این فرض داریم:

$$\Large y ^ { \prime } = k { x ^ { k – 1 } }$$
$$\Large y ^ { \prime \prime } = k \left ( { k – 1 } \right ) { x ^ { k – 2 } }$$
$$\Large \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$$
$$\Large {{y^{\left( n \right)}} } = { \left [ {k \left ( { k – 1 } \right ) \cdots } \right.} \kern0pt { \left.{ \left ( { k – n + 1 } \right ) } \right] { x ^ { k – n } } }$$

با جایگذاری پاسخ فرض شده در معادله اصلی، ترم‌های $$y = { x ^ k } \ne 0$$ حذف شده و به عبارت زیر می‌رسیم.

$${\left[ { k \left ( { k – 1 } \right) \cdots \left ( { k – n + 1 } \right ) } \right] } + { { a _ 1 } \left[ { k \left ( { k – 1 } \right ) \cdots \left( {k – n + 2} \right ) } \right] } + { \cdots } + {{a _ { n – 1}}k }+{ {a _ n } } = { 0 }$$

رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر و در قالب سیگما بیان کرد.

$$\large { \sum \limits _ { s = 0 } ^{n – 1} {{a_s}\left[ {k\left( {k – 1} \right) \cdots }\kern0pt { \left( {k – n + s + 1} \right)} \right]} }+{ {a_n} = 0 \;\;}\kern-0.3pt {\text{where}\;\;{a_0} = 1 }$$

با حل معادله مشخصه فوق، مقادیر k بدست آمده و پاسخ نهایی را می‌توان بر حسب آن‌ها بیان کرد. در نهایت با استفاده از رابطه $$\large t = \ln x$$، شکل نهایی پاسخ بر حسب x بدست خواهد آمد. در ادامه مثالی با استفاده از این روش حل شده است.