کاربرد معادلات دیفرانسیل در اقتصاد — به زبان ساده

۱۲۵۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۸ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۲ دقیقه
دانلود PDF مقاله
کاربرد معادلات دیفرانسیل در اقتصاد — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با کاربرد بهینه‌سازی در اقتصاد آشنا شدیم. فرایندهای اقتصادی را می‌توان با استفاده از دستگاه معادلات دیفرانسیل توصیف کرد. برای مثال، مدلی که در آن، قیمت، میزان فروش‌ و موجودی کالا در انبار با یکدیگر ارتباط دارند و در طول زمان تغییر می‌کنند. در این آموزش، نمونه‌ای از کاربرد معادلات دیفرانسیل در اقتصاد را بیان خواهیم کرد.

997696

مثالی از کاربرد معادلات دیفرانسیل در اقتصاد

در یک بازار منعطف، میزان فروش به قیمت کالا یا خدمات بستگی دارد. این وابستگی را می‌توان، برای مثال، به صورت زیر توصیف کرد:

dSdt=β(PP) \large \frac { { d S } } { { d t } } = \beta \left ( { P – { P ^ * } } \right )

که در آن، S S حجم فروش در واحد زمان، PP قیمت کنونی، P P ^ * قیمت تعادلی نزدیک به میانگین بازار و β\beta ضریب تناسب است. تابع S(t) S ( t) نرخ فروش فعلی را نشان می‌دهد. بنابراین، حجم فروش محصول در بازه زمانی Δt \Delta t برابر با S(t)Δt S\left( t \right)\Delta t خواهد بود. بُعد ضریب β\beta به واحدهای SS و PP بستگی دارد. اگر S S و PP را کمیت‌هایی بدون بعد در نظر بگیریم و زمان tt را برحسب روز تعیین کنیم، واحد β\beta برابر با معکوس روز یا [1day] \left[ {\large\frac{1}{\text{day}}\normalsize} \right] است.

معادله دیفرانسیل این سیستم چنین تعبیری دارد: تغییر نرخ فروش dSdt \frac{{dS}}{{dt}}\normalsize به اندازه انحراف قیمت فعلی PP از قیمت تعادلی PP^* بستگی دارد. ضریب β \beta را کوچک‌تر از صفر در نظر می‌گیریم (β<0\beta < 0 ). بنابراین، در محدوده P<P {P \lt {P^*}} ، نرخ فروش در قیمت‌های پایین‌تر افزایش خواهد یافت و بالعکس. چنین استراتژی بازاریابی تهاجمی اغلب در مواردی مانند فصل فروش یا جمعه سیاه مورد استفاده قرار می‌گیرد.

صف طولانی خرید
شکل ۱

در پیاده‌سازی این روش، یک کسب‌وکار می‌تواند به اهداف دیگری نیز دست یابد: نگه داشتن موجوودی کالا در سطح قابل قبول پایین I I ^ * با تغییر قیمت کالا. این روش کنترل را می‌توان با معادله‌ دیفرانسیل زیر بیان کرد:

dPdt=α(II) \large \frac { { d P } } { {d t } } = \alpha \left ( { I – { I ^ * } } \right )

که در آن، α\alpha ضریب تناسب و منفی است. در این حالت، قیمت با کمبود کالا افزایش خواهد یافت (برای I<I {I \lt {I^*}} ). بر هیمن اساس، وقتی I>I {I \gt {I^*}} باشد، قیمت با وجود کالای مازاد کم خواهد شد. واحد ضریب α \alpha (مانند ضریب β\beta) [1day] \left[ {\large\frac{1}{\text{day}}\normalsize} \right] است.

برای تشکیل یک مدل کامل، لازم است یک معادله دیگر نیز بنویسیم که تعادل کالا در بازار را نشان می‌دهد:

dIdt=QS \large \frac { { d I } } { { d t } } = Q – S

که در آن، QQ نرخ تأمین کالا توسط یک تولیدکننده یا تأمین‌کننده و SS نرخ فروش است که قبلاً درباره آن بحث کردیم.

در نتیجه، دستگاهی با سه معادله دیفرانسیل خواهیم داشت:‌

dIdt=QS,    dPdt=α(II),    dSdt=β(PP). \large { \frac { { d I } } { { d t } } = Q – S , \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { d P } } { { d t } } = \alpha \left ( { I – { I^ * } } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { d S } } { { d t } } = \beta \left ( { P – { P ^ * } } \right ) . }

در ادامه، جواب عمومی را به دست می‌آوریم و رفتار توابع I(t) I ( t) ، P(t)P(t) و S(t) S ( t) را بررسی خواهیم کرد.

جواب عمومی دستگاه معادلات

دستگاه معادلاتی که به آن رسیدیم، یک دستگاه خطی ناهمگن با ضرایب ثابت است و می‌توانیم آن را به فرم زیر بنویسیم:

Z(t)=AZ(t)+F  \large \mathbf { Z’ } \left ( t \right ) = A \mathbf { Z } \left ( t \right ) + \mathbf { F } 

که در آن:

$$ \large { \mathbf { Z } \left ( t \right ) = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { I \left ( t \right ) } \\<br /> { P \left ( t \right ) } \\<br /> { S \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right ] , \; \; } \kern-0.3pt<br /> { A = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> 0 & 0 & { – 1 } \\<br /> \alpha & 0 & 0 \\<br /> 0 & \beta & 0<br /> \end {array}} \right] , \; \; } \kern-0.3pt<br /> { \mathbf { F } = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> Q \\<br /> { – \alpha { I ^ * } } \\<br /> { – \beta { P ^ * } }<br /> \end {array} } \right ] . } $$

ابتدا جواب دستگاه همگن را به دست می‌آوریم. مقادیر ویژه ماتریس AA به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$ \large \begin {align*} & \det \left ( { A – \lambda I } \right ) = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { – \lambda } & 0 & { – 1 } \\<br /> \alpha & { – \lambda } & 0 \\<br /> 0 & \beta & { – \lambda }<br /> \end {array} } \right | = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { { \left ( { – \lambda } \right ) \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { – \lambda } & 0 \\<br /> \beta & { – \lambda }<br /> \end {array} } \right | } - { \alpha \left | {\begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> 0 & { – 1 } \\ \beta & { – \lambda }<br /> \end {array} } \right | = 0 , \; \; } } \\ & \Rightarrow<br /> { – \lambda \cdot { \lambda ^ 2 } – \alpha \cdot \beta = 0 , \; \; } \Rightarrow<br /> { – { \lambda ^ 3 } – \alpha \beta , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { { \lambda ^ 3 } = – \alpha \beta , \; \; } \Rightarrow<br /> { { \lambda _ 1 } = – \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \alpha \beta } } . } \end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، معادله مشخصه دارای ریشه تکراری مرتبه سوم با k=3k = 3 است. رتبه ماتریس Aλ1I A - \lambda _ 1 I به صورت زیر محاسبه می‌شود:

فرمول رتبه

رتبه ماتریس ۲ است. بنابراین، تعدد هندسی برابر خوهد بود با:

s=n–rank(Aλ1I)=32=1. \large { s = n – \text {rank} \left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) } = { 3 – 2 } = { 1 . }

این ماتریس با یک بلوک جردن با ابعاد 3×3 3 \times 3 توصیف می‌شود؛ یعنی ماتریس AA یک بردار ویژه عادی و دو بردار ویژه تعمیم‌یافته خواهد داشت.

برای به دست آوردن جواب، از روش ضرایب نامعین استفاده می‌کنیم. می‌خواهیم جواب را به فرم زیر بیابیم:

$$ \large { \mathbf { Z } \left ( t \right ) = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { I \left ( t \right ) } \\<br /> { P \left ( t \right ) } \\<br /> { S \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right ] }<br /> = { { \mathbf { M } _ { k – s } } \left ( t \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } }<br /> = { { \mathbf { M } _ { 3 – 1 } } \left ( t \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } }<br /> = { { \mathbf { M } _ 2 } \left ( t \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } } $$

که در آن، Mks(t) { \mathbf { M } _ { k – s } } \left ( t \right ) یک چندجمله‌ای برداری است که در اینجا یک تابع درجه دوم است:

M2(t) = A0+A1t+A2t2. \large { { \mathbf { M } _ 2 } \left ( t \right ) \text { = }}\kern0pt { { \mathbf { A } _ 0 } + { \mathbf { A } _ 1 } t + { \mathbf { A } _ 2 } { t ^ 2 } . }

اکنون مقادیر ضرایب چندجمله‌ای برداری را تعیین می‌کنیم. بردارهای A0 {\mathbf{A}_0} ، A1 {\mathbf{A}_1} و A2 {\mathbf{A}_2} را با مختصات زیر در نظر بگیرید:

$$ \large \begin {align*}<br /> & { \mathbf { A } _ 0 } = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c} }<br /> { { a _ 0 } } \\<br /> { { b _ 0 } } \\<br /> { { c _ 0 } }<br /> \end {array}} \right ] , \; \; \kern-0.3pt<br /> { { \mathbf { A } _ 1 } = \left [ { \begin {array} { * { 20 } { c } }<br /> { { a _ 1 } } \\<br /> { { b _ 1 } } \\<br /> { { c _ 1 } }<br /> \end {array} } \right ] , \; \; } \kern-0.3pt<br /> { { \mathbf { A } _ 2 } = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { a _ 2 } } \\<br /> { { b _ 2 } } \\<br /> { { c _ 2 } }<br /> \end {array} } \right ] , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \mathbf { Z } \left ( t \right ) = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { I \left ( t \right ) } \\<br /> { P \left ( t \right ) } \\<br /> { S \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right ] }<br /> = { \left [ { \begin {array} { *{ 2 0 } { c } }<br /> { \left ( { { a _ 0 } + { a _ 1 } t + { a _ 2 } { t ^ 2 } } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } } \\<br /> { \left ( { { b _ 0 } + { b _ 1 } t + { b _ 2 } { t ^ 2 } } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } } \\<br /> { \left ( { { c _ 0 } + { c _ 1 } t + { c _ 2 } { t ^ 2 } } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } }<br /> \end {array} } \right ] . }<br /> \end {align*} $$

بنابراین، مشتق‌ها در معادلات به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

dIdt=(a1+2a2t)eλ1t+λ1(a0+a1t+a2t2)eλ1t,dPdt=(b1+2b2t)eλ1t+λ1(b0+b1t+b2t2)eλ1t,dSdt=(c1+2c2t)eλ1t+λ1(c0+c1t+c2t2)eλ1t. \large \begin{align*} \frac { { d I } } { { d t } } & = \left ( { { a _ 1 } + 2 { a _2 } t } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } + { { \lambda _ 1 } \left ( { { a _ 0 } + { a _ 1 } t + { a _ 2 } { t ^ 2 } } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } , } \\ \frac { { d P } } { { d t } } & = \left ( { { b _ 1 } + 2 { b _ 2 } t } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } + { { \lambda _ 1 } \left ( { { b _ 0 } + { b _ 1 } t + { b _ 2 } { t ^ 2 } } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } , } \\ \frac { { d S } } { { d t } } & = \left ( { { c _ 1 } + 2 { c _ 2 } t } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } + { { \lambda _ 1 } \left ( { { c _ 0 } + { c _ 1 } t + { c _ 2 } { t ^ 2 } } \right ) { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } . } \end {align*}

با جایگذاری توابع I(t) I ( t) ، P(t) P ( t) و S(t) S ( t) و مشتق ‌آن‌ها در دستگاه همگن و حذف eλ1t {e^{{\lambda _1}t}} ، خواهیم داشت:

$$ \large { \left \{ \begin {array} { l }<br /> \frac { { d I } } { { d t } } = – S \\<br /> \frac { { d P } } { { d t } } = \alpha I \\<br /> \frac { { d S } } { { d t } } = \beta P<br /> \end {array} \right . , \; \; } \kern0pt<br /> { \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { { a _ 1 } + 2 { a _ 2 } t + { \lambda _ 1 } { a _ 0 } } + { { \lambda _ 1 } { a _ 1 } t + { \lambda _ 1 } { a _ 2} { t ^ 2 } } = { – { c _ 0 } – { c _ 1 } t – { c _ 2 } { t ^ 2 } } \\<br /> { { b _ 1 } + 2 { b _ 2 } t + { \lambda _ 1 } { b _ 0 } } + { { \lambda _ 1 } { b _1 } t + { \lambda _ 1 } { b _ 2 } {t ^ 2 } } = { \alpha { a _ 0 } + \alpha { a _ 1 } t + \alpha { a _ 2 }{ t ^ 2 } } \\<br /> { { c _ 1 } + 2 { c _ 2} t + { \lambda _ 1 } { c _ 0 } } + { { \lambda _ 1 } { c _ 1 } t + { \lambda _ 1 } { c _ 2 } { t ^ 2 } } = { \beta { b _ 0 } + \beta { b _ 1 } t + \beta { b _ 2 } { t ^ 2 } }<br /> \end {array} } \right . , \; \; }<br /> \\ \large<br /> \Rightarrow<br /> { \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } } \\<br /> { { a _ 1 } + { \lambda _ 1 } { a _ 0 } = – { c _ 0 } } \\<br /> { 2 { a _ 2 } + { \lambda _ 1 } { a _ 1 } = – { c _ 1 } } \\<br /> { { \lambda _ 1 } { a _ 2} = – { c _ 2 } } \\<br /> { { b _1 } + { \lambda _ 1 } { b _ 0 } = \alpha { a _ 0 } } \\<br /> { 2 { b _ 2 } + { \lambda _ 1 } { b _ 1 } = \alpha { a _ 1 } } \\<br /> { { \lambda _ 1 } { b _ 2 } = \alpha { a _ 2 } } \\<br /> { { c _ 1 } + { \lambda _ 1 } { c _ 0 } = \beta { b _ 0 } } \\<br /> { 2 { c _ 2 } + { \lambda _ 1 } { c _ 1 } = \beta { b _ 1 } } \\<br /> { { \lambda _ 1 } { c _ 2 } = \beta { b _ 2 } }<br /> \end {array} } \right . . } $$

تساوی‌های a0=C1 a _ 0 = C _ 1، a1=C2 a _ 1 = C _ 2 و a2=C3 a _ 2 = C _ 3 را در نظر می‌گیریم. سایر ضرایب را نیز برحسب C1 C_ 1 ، C2 C _ 2 و C3 C _ 3 می‌نویسیم. همچنین می‌دانیم که مقدار ویژه λ1=αβ3 {\lambda _1} = – \sqrt[\large 3\normalsize]{{\alpha \beta }} است. بنابراین، داریم:

فرمول ضرایب

در نتیجه، جواب دستگاه معادلات همگن به صورت زیر خواهد بود:

جواب دستگاه

یا به فرم برداری، داریم:

فرم برداری

در ادامه، مقداری ساده‌سازی انجام می‌دهیم. ابتدا هر جمله را در 1ββ=1 {\large\frac{1}{\beta }\normalsize} \cdot \beta = 1 ضرب کرده و پارامتر β\beta را در مختصات هر بردار وارد می‌کنیم:

محاسبه بردار

ضرایب دلخواه C1 C _ 1، C2 C_ 2 و C3 C_ 3 را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:

C1βC1,    C2βC2,    C3βC3. \large { \frac { { { C _ 1 } } } { \beta } \to { C _ 1 } , \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { { C _2 } } } { \beta } \to { C_ 2 } , \; \; } \kern-0.3pt { \frac { { { C _ 3 } } } { \beta } \to { C _ 3 } . }

جواب شامل ۳ بردار مستقل خطی است. با نوشتن αβ3=k {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\alpha \beta }}} = k ، جواب عمومی به فرم زیر در می‌آید:

$$ \large \begin {align*}<br /> \mathbf { Z } \left ( t \right ) & = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { I \left ( t \right ) } \\<br /> { P \left ( t \right ) } \\<br /> { S \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right ]<br /> = { { C _ 1 } { e ^ { – k t } } \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \beta \\<br /> { – { k ^ 2 } } \\<br /> { \beta k }<br /> \end {array} } \right ] }<br /> + { { { C _ 2 } { e ^ { – k t } } \left ( { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> 0 \\<br /> { 2 k } \\<br /> { – \beta }<br /> \end {array} } \right ] } \right . } + { \left . { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \beta \\<br /> { – { k ^ 2 } } \\<br /> { \beta k }<br /> \end {array} } \right ] t } \right ) } } \\ &<br /> + { { { C _ 3 } { e ^ { – k t } } \left ( { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { r } }<br /> 0 \\<br /> { – 2 } \\<br /> 0<br /> \end {array} } \right ] + \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> 0 \\<br /> { 4 k } \\<br /> { – 2 \beta }<br /> \end {array} } \right ] t } \right . } } + { { \left . { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \beta \\<br /> { – { k ^ 2} } \\<br /> { \beta k }<br /> \end {array} } \right ] { t ^ 2 } } \right ) . } }<br /> \end {align*} $$

اکنون یک جواب خصوصی برای دستگاه ناهمگن به دست می‌آوریم. جمله ناهمگن دستگاه معادلات از ثوابت تشکیل شده است:

$$ \large \mathbf { F } = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c} }<br /> q \\<br /> { – \alpha { I ^ * } } \\<br /> { – \beta { P ^ * } }<br /> \end {array} } \right ] $$

جواب خصوصی را به فرمی مشابه زیر محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { \mathbf { Z } _ 1 } = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { I _ 1 } } \\<br /> { { P _ 1 } } \\<br /> { { S _ 1 } }<br /> \end {array} } \right ] . $$

ثوابت I1I_1، P1P_1 و S1 S_ 1 را به جای II، PP و S S قرار می‌دهیم:

$$ \large { \left\{ \begin {array} { l }<br /> \frac { { d I } } { { d t } } + S = q \\<br /> \frac { { d P } } { { d t } } – \alpha I = – \alpha { I ^ * } \\<br /> \frac { { d S } }{ { d t } } – \beta P = – \beta { P ^ * }<br /> \end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow<br /> { \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { { S _ 1 } = q } \\<br /> { – \alpha { I _ 1 } = – \alpha { I ^ * } } \\<br /> { – \beta { P _ 1 } = – \beta { P ^ * } }<br /> \end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow<br /> { \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { { S _ 1 } = q } \\<br /> { { I _ 1 } = { I ^ * } } \\<br /> { { P _ 1 } = { P ^ * } }<br /> \end {array} } \right . . } $$

یک جواب خصوصی به شکل زیر به دست می‌آید:

$$ \large { \mathbf { Z } _ 1 } = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { I _ 1 } } \\<br /> { { P _ 1 } } \\<br /> { { S _ 1 } }<br /> \end {array} } \right ] = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { I ^ * } } \\<br /> { { P ^ * } } \\<br /> q<br /> \end {array} } \right ] . $$

بنابراین، جواب عمومی دستگاه ناهمگن اصلی را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \mathbf { Z } \left ( t \right ) & = { C _ 1 } { e ^ { – k t } } \left [ { \begin {array} {* { 2 0 } { c } }<br /> \beta \\<br /> { – { k ^ 2 } } \\<br /> { \beta k }<br /> \end {array} } \right ]<br /> + { { { C _ 2 } { e ^ { – k t } } \left ( { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> 0 \\<br /> { 2 k } \\<br /> { – \beta }<br /> \end {array} } \right ] } \right . } + { \left . { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \beta \\<br /> { – { k ^ 2 } } \\<br /> { \beta k }<br /> \end {array} } \right ] t } \right ) } } \\ &<br /> + { { { C _ 3 } { e ^ { – k t } } \left ( { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { r } }<br /> 0 \\<br /> { – 2 } \\<br /> 0<br /> \end {array} } \right ] + \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c} }<br /> 0 \\<br /> { 4 k } \\<br /> { – 2 \beta }<br /> \end {array} } \right ] t } \right . } } + { { \left . { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \beta \\<br /> { – { k ^ 2 } } \\<br /> { \beta k }<br /> \end {array} } \right ] { t ^ 2 } } \right ) } }<br /> + { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { I ^ * } } \\<br /> { { P ^ * } } \\<br /> q<br /> \end {array} } \right ] . }<br /> \end {align*} $$

تحلیل جواب

فرمول بالا رفتار توابع I(t) I(t)، P(t)P(t) و S(t) S( t) را توصیف می‌کند که به چند پارامتر وابسته است. مدل مورد نظر ما شامل پنج پارامتر α\alpha ، β \beta ، I I ^ * ، PP ^*، q q ^ * و سه مقدار اولیه متغیرها است که آن‌ها را با I0 I_ 0 ، P0 P_0 و S0 S_ 0 نشان می‌دهیم.

حالتی را در نظر بگیرید که α=β=1 \alpha = \beta = -1 . در نتیجه، جواب عمومی به فرم زیر خواهد بود:

فرمول

$$ \large \begin {align*}<br /> \mathbf { Z } \left ( t \right ) & = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } {c } }<br /> { I \left ( t \right ) } \\<br /> { P \left ( t \right ) } \\<br /> { S \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right ]<br /> = { { C _ 1 } { e ^ { – t } } \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { – 1 } \\<br /> { – 1 } \\<br /> { – 1 }<br /> \end {array} } \right ] }<br /> + { { { C _ 2 } { e ^ { – t } } \left ( { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c} }<br /> 0 \\<br /> 2 \\<br /> 1<br /> \end {array} } \right ] } \right . } + { \left . { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { – 1 } \\<br /> { – 1 } \\<br /> { – 1 }<br /> \end {array} } \right ] t } \right ) } }<br /> \\ & + { { { C _ 3 } { e ^ { – t } } \left ( { \left [ { \begin {array}{ * { 2 0 } { r } }<br /> 0 \\<br /> { – 2 } \\<br /> 0<br /> \end {array} } \right ] + \left [ { \begin {array} { * { 2 0 }{ c } }<br /> 0 \\<br /> 4 \\<br /> 2<br /> \end {array} } \right ] t } \right . } } + { { \left . { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { – 1 } \\<br /> { – 1 } \\<br /> { – 1 }<br /> \end {array} } \right ] { t ^ 2 } } \right ) + \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { I ^ * } } \\<br /> { { P ^ * } } \\<br /> q<br /> \end {array} } \right ] . } }<br /> \end {align*} $$

یا

$$ \large { \mathbf { Z } \left ( t \right ) = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { I \left ( t \right ) } \\<br /> \color {red} { P \left ( t \right ) } \\<br /> \color {green} { S \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right ] \text{ = }} { e ^ { – t } \cdot } \kern0pt<br /> { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { – { C _ 1 } – { C _ 2 } t – { C _ 3 } { t ^ 2} } \\<br /> \color {red} { { – { C _ 1 } + { C _ 2 } \left ( { 2 – t } \right ) } + { { C _ 3 } \left ( { – 2 + 4 t – { t ^ 2 } } \right ) } } \\<br /> \color {green} { { – { C _ 1 } + { C _ 2 } \left ( { 1 – t } \right ) } + { { C _ 3 } \left ( { 2 t – { t ^ 2 } } \right ) } }<br /> \end {array} } \right ] \; \; }<br /> + { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { { I ^ * } } \\<br /> \color {red} { { P ^ * } } \\<br /> \color {green} { q }<br /> \end {array} } \right ] . } $$

ثوابت C1 C _ 1 ، C2 C_ 2 و C3 C_ 3 از شرایط اولیه به دست می‌آیند. در حالت کلی، فرض می‌کنیم:

$$ \large \mathbf { Z } \left ( 0 \right ) = \left [ { \begin {array}{ * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { I \left ( 0 \right ) } \\<br /> \color {red} { P \left ( 0 \right ) } \\<br /> \color {green} { S \left ( 0 \right ) }<br /> \end {array} } \right ] = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { { I _ 0 } } \\<br /> \color {red} { { P _ 0 } } \\<br /> \color {green} { { S _ 0 } }<br /> \end {array} } \right ] . $$

بنابراین، ضرایب مذکور به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$ \large { { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { – { C _ 1 } } \\<br /> \color {red} { – { C _ 1 } + 2 { C _ 2 } – 2 { C _ 3 } } \\<br /> \color {green} { – { C _ 1 } + { C _ 2 } }<br /> \end {array} } \right ] } + { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { { I ^ * } } \\<br /> \color {red} { { P ^ * } } \\<br /> \color {green} { q }<br /> \end {array} } \right ] = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { { I _ 0 } } \\<br /> \color {red} { { P _ 0 } } \\<br /> \color {green} { { S _ 0 } }<br /> \end {array} } \right ] , \; \; } } \\ \large \Rightarrow<br /> { \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> {C _ 1 } = { I ^ * } – { I _0 } \\<br /> { { C _ 2 } = { S _ 0 } – q } + { { I ^ * } – { I _ 0 } } \\<br /> { { C _ 3 } = \frac { 1 } { 2 } \left ( { { P ^ * } – { P _ 0 } } \right . } + { \left . { { I ^ * } – { I _ 0 } } \right ) } + { { S _ 0 } – q }<br /> \end {array} } \right . } $$

در نتیجه، جواب در این حالت به صورت زیر است:

$$ \large { \mathbf { Z } \left ( t \right ) = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { I \left ( t \right ) } \\<br /> \color {red} { P \left ( t \right ) } \\<br /> \color {green} { S \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right ] \text { = }} { e ^ { – t } \cdot } \kern0pt<br /> { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { – { C _ 1 } – { C _ 2 } t – { C _ 3 } { t ^ 2 } } \\<br /> \color {red} { { – { C _ 1 } + { C _ 2 } \left ( { 2 – t } \right ) } + { { C _ 3 } \left ( { – 2 + 4 t – { t ^ 2 } } \right ) } } \\<br /> \color {green} { { – { C _ 1 } + { C _ 2 } \left ( { 1 – t } \right ) } + { { C _ 3 } \left ( { 2 t – { t ^ 2 } } \right ) } }<br /> \end {array} } \right ] \; \; }<br /> + { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \color {blue} { { I ^ * } } \\<br /> \color {red} { { P ^ * } } \\<br /> \color {green} { q }<br /> \end {array} } \right ] } $$

که در آن:

$$ \large { \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { C _ 1 } = { I ^ * } – { I _ 0 } \\<br /> { { C _ 2 } = { S _ 0 } – q } + { { I ^ * } – { I _ 0 } } \\<br /> { { C _ 3 } = \frac { 1 } { 2 } \left ( { {P ^ * } – { P _ 0 } } \right . } + { \left . { { I ^ * } – { I _ 0 } } \right ) } + { { S _ 0 } – q }<br /> \end {array} } \right . } $$

شکل زیر نمودارهای رایج سطح موجودی I(t) I( t) ، قیمت P(t) P(t) و حجم فروش S(t) S( t) را نشان می‌دهد. این منحنی‌ها، متناظر با پارامترهای زیر هستند:

α=β=1,I=100,P=60,q=20,I0=150,P0=100,S0=10. \large \alpha = \beta = 1, {I^*} = 100, {P^*} = 60, q = 20, {I_0} = 150, {P_0} = 100, {S_0} = 10.

نمودار موجودی، قیمت و فروش
شکل ۲

همان‌طور که در این نمودارها مشخص است، بعد از فرایند گذار، همه کمیت‌های دینامیکی به مقادیر مجانبی‌شان میل می‌کنند که به مؤلفه ناهمگن F\mathbf{F} بستگی دارد. وقتی مقدار ویژه λ \lambda منفی باشد، آنگاه جواب صفر دستگاه همگن پایدار مجانبی است. این، منجر به این واقعیت می‌شود که بخش همگن جواب در طول زمان «تضعیف شود» و توابع I(t) I(t)، P(t)P(t) و S(t) S(t)، صرف‌نظر از شرایط اولیه، به مقادیر مجانبی‌شان میل کنند. بنابراین، در این مدل می‌توان موجودی را با استفاده از ساز و کار انعطاف پذیر برای تغییرات قیمت در یک سطح از پیش تعیین شده مشخص نگه داشت.

بر اساس رای ۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *