مضرب چیست؟ — به زبان ساده و با مثال

حتما با جدول ضرب آشنایی دارید. از این جدول برای محاسبه ضرب اعداد یک رقمی (از ۱ تا ۱۰) استفاده می‌کنیم. البته اغلب در یک جدول ضرب، سطر و ستونی نیز برای محاسبه ضرب عدد ۱۰ نیز در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه جدول ضرب در این حالت، تشکیل یک جدول ۱۰ در ۱۰ را می‌دهد. هر سطر از جدول ضرب، نشانگر مضرب‌های ستون اول این جدول است. برای روشن‌تر شدن موضوع، مطلبی با عنوان مضرب چیست تهیه کردیم تا به کمک آن قادر به محاسبه مضرب‌ها (یا مضارب) اعداد صحیح باشید.

برای آشنایی با ویژگی‌های ضرب و مضرب‌های اعداد بهتر است نوشتار ضرب متقاطع یا طرفین و وسطین — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن متن اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند ؟ — به زبان ساده و با مثال نیز پیشنهاد می‌شود.

مضرب چیست ؟

همانطور که گفتیم، اصطلاح ضرب و مضرب در بیشتر اوقات برای مجموعه اعداد طبیعی با کار می‌رود. می‌دانید که اعداد طبیعی، به اعدادی گفته می‌شود که برای شمارش در طبیعت به کار می‌روند. برای مثال ۱ درخت، ۲ ماهی، ۳ خانه و $$\cdots$$. پس می‌توانیم آن‌ها را به صورت مجموعه‌ای به شکل زیر نمایش دهیم.

{ 1 , 2 , 3 , 4 , $$\cdots$$ }

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

علامت $$\cdots$$ به معنی «تا بی‌نهایت» است. بنابراین بی‌نهایت عدد طبیعی داریم و برای این مجموعه بزرگترین عدد وجود ندارد و می‌توان با اضافه کردن یک واحد به هر عدد بزرگی که تصور کنید، یک عدد طبیعی دیگر بوجود آورد.

برای آنکه با مفهوم مضرب‌های اعداد بیشتر آشنا شویم، از جدول ضرب کمک می‌گیریم. در ادامه جدول ضرب برای مقادیر از ۱ تا ۱۰ را معرفی می‌کنیم.

جدول ضرب و مضرب های اعداد طبیعی

جدول ضرب دارای تعدادی سطر و تعدادی ستون است که در هر یک از آن‌ها، یک عدد طبیعی نوشته شده. برای یک جدول ضرب اعداد ۱ تا ۱۰، سطر اول این جدول شامل مقادیر ۱ تا ۱۰ است. همچنین ستون اول نیز با مقدارهای ۱ تا ۱۰ پر شده. به تصویر شماره ۱ توجه کنید.

برای پر کردن سطر به سطر این جدول ضرب، از مضرب‌های ستون اول استفاده می‌کنیم. پس بهتر است ابتدا با مفهوم مضرب‌های اعداد آشنا شویم و آن را در تکمیل جدول ضرب به کار بریم.

مضرب چیست و به چه کار می آید؟

فرض کنید یک عدد مثلا ۵ را در ۲ ضرب کرده‌ایم. مشخص است که حاصل برابر با ۱۰ خواهد بود. در این جا چون ۱۰ از ضرب دو مقدار ۲ و ۵ حاصل شده، ۱۰ را مضرب ۲ یا مضرب ۵ می‌نامیم. بنابراین هر عددی که نتیجه حاصل ضرب دو عدد دیگر باشد، مضرب آن‌ها خواهد بود.

اگر بخواهیم همه مضرب‌های عدد ۲ را بنویسیم، باید عدد ۲ را در هر یک از اعداد طبیعی ضرب کنیم و آن‌‌ها را به ترتیب بنویسیم. به رابطه زیر نگاه کنید.

۱ × ۲ = ۲,    ۲ × ۲ = ۴,   ۳ × ۲ = ۶,   ۴ × ۲ = ۸, $$\cdots$$

عددی که در اول عمل ضرب نوشته شده، همگی اعداد طبیعی هستند و عدد دوم نیز همان ۲ است. بنابراین حاصل‌ضرب‌ها بدست آمده، همگی مضرب‌های ۲ خواهند بود. مجموعه زیر مضرب‌های ۲ را نشان می‌دهد.

{ ۲ , ۴ , ۶ , ۸ , $$\cdots$$ }

اعداد نوشته شده در مجموعه بالا، همان حاصل‌ضرب‌های قسمت قبل هستند. این مجموعه را مضرب‌های ۲ می‌گوییم.

این بار مضرب‌های عدد ۳ را محاسبه می‌کنیم. پس باید عدد ۳ را در تمامی اعداد طبیعی ضرب کنیم و جدا جدا در یک مجموعه بنویسیم.

۱ × ۳ = ۳,    ۲ × ۳ = ۶,   ۳ × ۳ = ۹,   ۴ × ۳ = ۱۲, $$\cdots$$

فیلم آموزش ریاضی صنف هفتم – ویژه دانش آموزان افغانستانی (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

همین عملیات را برای ۴ و ۵ تا عدد ۱۰ انجام می‌دهیم و نتایج حاصل را برای سطر دوم تا دهم جدول ضرب می‌چینیم. سطر اول جدول ضرب، همه مضارب عدد یک است که می‌دانیم همان اعداد ۱ تا ۱۰ را نشان می‌دهد.

می‌بینید که جدول ضرب، در هر سطر، مضرب‌های عددی که در ستون اول نوشته شده را نشان می‌دهد. مضرب‌های اعداد دیگر نیز به همان شکلی که برای جدول ضرب گفته شد، محاسبه می‌شود.

ویژگی های جدول ضرب

در این قسمت به بعضی از ویژگی‌ها و خصوصیات جدول ضرب می‌پردازیم که البته خانه‌هایی که دارای خاصیت‌های گفته شده هستند، با رنگ‌های آبی، سبز یا نارنجی مشخص شده‌اند.

همانطور که در تصویر ۲ مشاهده می‌کنید، اعدادی که در خانه‌های آبی رنگ هستند، اعداد کامل هستند. به این معنی که به صورت ضرب عدد در خودش بوجود آمده‌اند. به بیان دیگر اعداد کامل، اعدادی هستند که هر دو عامل ضربی آن یک عدد بوده یا با هم برابر هستند. در نتیجه ریشه دوم آن‌ها قابل محاسبه و یک عدد طبیعی است. برای مثال عدد ۳۶ از ضرب ۶ در ۶ حاصل شده، بنابراین مربع کامل است و جذر آن نیز برابر با ۶ خواهد بود. عدد ۹، ۴۹ و ۸۱ یا ۱۰۰ نیز از این گونه اعداد (مربع کامل) هستند.

قسمت بالایی جدول ضرب که به رنگ سبز کمرنگ مشخص شده با قسمت پایین (با رنگ سبز پر رنگ) دارای مقادیر یکسانی است. به این معنی که مثلا در خانه نارنجی رنگ قسمت بالایی، حاصل ضرب ۹ در 3 دیده می‌شود. به بیان دیگر مضرب‌های ۲۷ که همان ۹ و 3 هستند دیده می‌شود. در قسمت پایینی نیز همین رنگ را برای خانه مربوط به حاصل ضرب 3 در ۹ می‌بینیم. پس هر قسمت از خانه های سبز کم رنگ اگر به صورت ضرب مثلا سطر سوم در ستون نهم باشد، قسمت‌های پایینی جدول مربوط به ضرب ستون سوم در سطر نهم است.

نکته: این موضوع را به عنوان خاصیت جابجایی در ضرب می‌شناسیم. یعنی ۷ × ۹ = ۹ × ۷ = ۶۳.

مضرب های عددهای دو رقمی

این بار به سراغ مضرب‌های اعداد دو رقمی می‌رویم. البته کاری که باید انجام دهیم، با مرحله قبل تفاوتی ندارد و فقط برای تاکید بیشتر برای نحوه محاسبه مضرب‌ها به آن اشاره می‌کنیم.

مثال: مضرب‌های عدد ۱۲ را بنویسید.

پاسخ: مجموعه اعداد طبیعی که در قسمت قبل آن را معرفی کردیم، در نظر بگیرید. کافی است حاصل ضرب ۱۲ را در همه آن‌ها بدست آوریم. پس داریم:

۱ × ۱۲ = ۱۲,   ۲ × ۱۲= ۲۴,  ۳ × ۱۲ = ۳۶, ۴ × ۱۲ = ۴۸, $$\cdots$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

مشخص است که این مضرب‌ها از ۱۲ بزرگتر هستند و تعدادشان بسیار زیاد است. در حقیقت بی‌نهایت عدد وجود دارد که مضرب ۱۲ هستند.

مثال:  سه مضرب صحیح عدد ۳۸ را بنویسید که از بقیه مضرب‌های آن کوچکترند و از ۳۸ بزرگترند.

پاسخ: باز هم از مجموعه اعداد طبیعی کمک می‌گیریم و سه مضرب اولی که برای ۳۸ وجود دارد را محاسبه می‌کنیم.

۱ × 38 = 38,   ۲ × 38 = 76,  ۳ × 38 = 114,  ۴ × 38 = 152, $$\cdots$$

همانطور که می‌بینید، به غیر از ۳۸ (اولین محاسبه ضرب در سمت چپ) بقیه مضرب‌ها از ۳۸ بزرگتر هستند. بنابراین پاسخ این سوال مجموعه زیر خواهد بود.

{ 76 , 114 , 152 }

نکته: البته می‌دانیم که بی‌نهایت مضرب ۳۸ وجود دارد ولی مجموعه بالا، کوچکترین آن‌ها را نشان می‌دهد که بزرگتر از ۳۸ هستند.

مثال: مضرب‌های عدد ۱۲ را که بین ۶۰ تا ۱۰۰ هستند را پیدا کنید.

پاسخ: ابتدا باید مضرب‌های ۱۲ را بنویسیم. مشخص است که همه این مضرب‌ها از ۱۲ بزرگتر یا مساوی هستند. ولی برای اینکه سرعت پاسخ به سوال را افزایش دهیم، از ضرب ذهنی هم کمک می‌گیریم. می‌دانیم که اگر ۱۰ را در ۱۲ ضرب کنیم، حاصل برابر با ۱۲۰ خواهد بود. از طرفی حاصل ضرب ۵ در ۱۲ برابر است با ۶۰. پس باید مضرب‌هایی از ۱۲ را پیدا کنیم که از حاصل ضرب مقادیر بزرگتر از ۵ و کوچکتر از ۱۰ حاصل می‌شوند. این مجموعه را می‌نویسیم.

۶ × ۱۲ = ۷۲,  ۷ × ۱۲ = ۸۴,   ۸ × ۱۲ = ۹۶,   ۹ × ۱۲ = ۱۰۸

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین مجموعه مضرب‌های عدد ۱۲ که از ۵۰ بزرگتر و از ۱۰۰ کوچکتر باشند به صورت مجموعه زیر نوشته می‌شود. همانطور که دیدید، احتیاجی به نوشتن همه مضرب‌های ۱۲ برای پیدا کردن این مجموعه نبود و با یک ضرب سرانگشتی به محدوده جواب نزدیک شدیم.

{ ۷۲ ، ۸۴ ، ۹۶ }

آزمون سنجش یادگیری مضرب

در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث مضرب را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.