قضیه دیورژانس (Divergence Theorem) — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در این مطلب قصد داریم تا روشی را جهت محاسبه انتگرال میدان‌های برداری روی سطح معرفی کنیم. از این روش معمولا در مسائل محاسباتی در مهندسی بسیار استفاده می‌شود. در حقیقت قضیه دیورژانس مفهومی است که حل معادلات پیچیده را با استفاده از روش‌های عددی ممکن می‌کند.

توصیه می‌شود قبل از مطالعه این مطلب، مطالب قضیه استوکس، مختصات استوانه‌ای، مختصات کروی و دیورژانس مطالعه شوند.

صورت قضیه دیورژانس

همان‌طور که در مقدمه نیز مطرح شد، قضیه دیورژانس مفهومی است که با استفاده از آن انتگرالِ‌ یک میدان برداری روی سطحی مشخص محاسبه می‌شود. در ابتدا تنها صورت این قضیه را بیان کرده،‌ سپس به ارائه مثال‌هایی از آن خواهیم پرداخت.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

قضیه دیورژانس: فرض کنید E ناحیه‌ای بسته باشد، که سطح آن نیز با استفاده از S توصیف می‌شود. با فرض این‌که $$\overrightarrow F$$ تابعی برداری و پیوسته باشد، در این صورت انتگرال سطحی تابعِ برداری $$\overrightarrow F$$ را می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$\large \boxed { \mathbf { \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } } = \iiint \limits _ { E } { { { \mathop { \rm div } \nolimits } \overrightarrow F \, d V } } } }$$

توجه داشته باشید که رابطه فوق ورژن سه‌بعدی قضیه دیورژانس را نشان می‌دهد. دقیقا در حالت دوبعدی نیز همین قضیه برقرار است. اشکال زیر حالت‌های دوبعدی و سه‌بعدی قضیه دیورژانس نشان داده شده است.

مثال ۱

با استفاده از قضیه دیورژانس حاصل انتگرالِ $$\displaystyle \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } }$$ را روی سطح S بیابید. تابع $$\overrightarrow { F }$$ را برابر با $$\overrightarrow F = x y \, \overrightarrow i - \frac { 1 } { 2 } { y ^ 2 } \, \overrightarrow j + z \, \overrightarrow k$$ در نظر گرفته و سطح S را زیر صفحه‌ی $$z = 4 - 3 { x ^ 2 } - 3 { y ^ 2 }$$ در فاصله‌ی $$1 \le z \le 4$$ به همراه استوانه $${ x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 1$$ در فاصله $$0 \le z \le 1$$ در نظر بگیرید. هم‌چنین بخش انتهایی سطح S نیز توسط دیسک z=0 بسته شده است.

به منظور حل سوال فوق، در ابتدا بایستی شکلِ سطحِ بیان شده در صورت سوال را درک کرد. با توجه به مطلب بیان شده در توابع چند متغیره سطح S به صورت زیر است.

توجه داشته باشید که اگر سطح S را در مختصات استوانه‌ای بنویسیم، حاصل انتگرال نیز راحت‌تر محاسبه خواهد شد. نهایتا بازه‌های انتگرال‌گیری در مختصات استوانه‌ای به صورت زیر قابل بیان هستند.

$$\large \begin {array} { c } 0 \le z \le 4 - 3 { r ^ 2 } \\ 0 \le r \le 1\\ 0 \le \theta \le 2 \pi \end {array}$$

در مرحله بعد بایستی دیورژانس تابع را بدست آوریم.

$$\large {\mathop { \rm div} \nolimits } \overrightarrow F = y - y + 1 = 1$$

نهایتا حاصل انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large \begin {align*} \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } } & = \iiint \limits _ { E } { { { \mathop { \rm div } \nolimits } \overrightarrow F \, d V } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 \pi } } { { \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 1 } } { { \int _ { { \, 0 } } ^ { { 4 - 3 { r ^ 2 } } } { { r \, d z } } \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 \pi } } { { \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 1 } } { { 4 r - 3 { r ^ 3 } \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 \pi } } { { \left. { \left ( { 2 { r ^ 2 } - \frac { 3 } { 4 } { r ^ 4 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 \, d \theta } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 \pi } } { { \frac { 5 }{ 4 } \, d \theta } } \\ & = \frac { 5 } { 2 } \pi \end {align*}$$

معمولا در سئوالات مطرح شده در زمینه قضیه دیورژانس، استفاده از دیگر مختصات‌ها، بسیار کمک کننده است. جهت نحوه به کارگیری مختصات کروی، پیشنهاد می‌شود، مثال ۲ را مطالعه فرمایید.

مثال ۲

با استفاده از قضیه دیورژانس، حاصل انتگرال $$\displaystyle \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F\small \bullet d \overrightarrow S } }$$ را روی سطح S بیابید. فرض کنید تابع F برابر با $$\overrightarrow F = y { x ^ 2 } \, \overrightarrow i + \left ( { x { y ^ 2 } - 3 { z ^ 4 } } \right) \, \overrightarrow j + \left ( { { x ^ 3 } + { y ^ 2 } } \right ) \, \overrightarrow k$$ بوده و S برابر با ناحیه‌ای از کره‌ای با شعاع ۴ است که در آن مقادیر y و z منفی هستند.

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به توصیفات انجام شده، ناحیه انتگرال‌گیری به صورت زیر است.

از شکل نیز معلوم است که اگر مختصات را به شکل کروی بیان کنیم، فرآیند انتگرال‌گیری نیز راحت‌تر خواهد بود. فرض کنید فضای انتگرال‌گیری را با E نمایش دهیم. در این صورت به منظور بیان این فضا در مختصات کروی، می‌توان از بازه‌های زیر استفاده کرد.

$$\large \begin {array} { c } \pi \le \theta \le 2\pi \\ \displaystyle \frac { \pi } { 2 } \le \varphi \le \pi \\ 0 \le \rho \le 4 \end {array}$$

از طرفی دیورژانس تابع F نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { \mathop { \rm div } \nolimits } \overrightarrow F = \frac { \partial } { { \partial x } } \left ( { y { x ^ 2 } } \right ) + \frac { \partial } { { \partial y } } \left( { x { y ^ 2 } - 3 { z ^ 4 } } \right ) + \frac { \partial }{ { \partial z } } \left ( { { x ^ 3 } + { y ^ 2 } } \right ) = 4 x y$$

در مرحله بعد بایستی بازه‌های انتگرال را در مختصات کروی بیان کرد. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large \begin {align*} \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } } & = \iiint \limits _ { E }{ { { \mathop { \rm div } \nolimits } \overrightarrow F \, d V } } \\ & = \iiint \limits _ { E } { { 4 x y \, d V } } \\ & = \int _ { \pi } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { { \frac { 1 } { 2 } \pi } } ^ { \pi } { { \int _ { 0 } ^ { 4 } { { 4 \left ( { \rho \sin \varphi \cos \theta } \right ) \left ( { \rho \sin \varphi \sin \theta } \right ) \left ( { { \rho ^ 2 } \sin \varphi } \right ) \, d \rho } } \, d \varphi } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { \pi } ^ { { 2 \pi } }{ { \int _ { { \frac { 1 } { 2 } \pi } } ^ { \pi } { { \int _ { 0 } ^ { 4 } { { 4 { \rho ^ 4 } { { \sin } ^ 3 } \varphi \cos \theta \sin \theta \, d \rho } } \, d \varphi } } \, d \theta } } \end {align*}$$

توجه داشته باشید که عبارت $${ \rho ^ 2 } \sin \varphi$$ در تبدیل dV به مختصات کروی را نبایستی فراموش کرد. نهایتا حاصل انتگرال فوق نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } } & = \int _ { \pi } ^ { { 2 \pi } }{ { \int _ { { \frac { 1 } { 2 } \pi } } ^ { \pi } { { \int _ { 0 } ^ { 4 } { { 4 { \rho ^ 4 } { { \sin } ^ 3 } \varphi \cos \theta \sin \theta \, d \rho } } \, d \varphi } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { \pi } ^ { { 2 \pi } }{ { \int _ { { \frac { 1 } { 2 } \pi } } ^ { \pi } { { \left. { \left ( { \frac { 4 } { 5 } { \rho ^ 5 } { { \sin } ^ 3 } \varphi \cos \theta \sin \theta } \right ) } \right | _ 0 ^ 4 \, d \varphi } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { \pi } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { { \frac { 1 } { 2 } \pi } } ^ { \pi } { { \frac { { 409 6 } } { 5 } \sin \varphi \left ( {1 - {{\cos }^2}\varphi } \right)\cos \theta \sin \theta \,d\varphi }}\,d\theta }}\\ & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\left. {\left( { - \frac { { 4 0 9 6 } } { 5 } \left ( { \cos \varphi - \frac { 1 } { 3 } { { \cos } ^ 3 } \varphi } \right ) \cos \theta \sin \theta } \right)} \right | _ { \frac { 1 } { 2 } \pi } ^\pi<br /> \,d\theta }}\\ & = \int _ { \pi } ^ { { 2 \pi } } { { \frac { { 8 1 9 2 } } { { 1 5 } } \cos \theta \sin \theta \,d\theta } } \\ & = \int _ { \pi } ^ { { 2 \pi } } { { \frac { { 4096 } } { { 1 5 } } \sin \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = \left. { \frac { { 2 0 4 8 } } { { 1 5 } } \cos \left ( { 2 \theta } \right ) } \right | _ \pi ^ { 2 \pi } = \require{bbox} {0} \end {align*} $$

مثال ۳

با استفاده از قضیه دیورژانس حاصل انتگرال $$\displaystyle \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } }$$ را محاسبه کنید. تابع F را نیز به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large \overrightarrow F = 2 x z \overrightarrow i + \left ( { 1 - 4 x { y ^ 2 } } \right ) \, \overrightarrow j + \left ( { 2 z - { z ^ 2 } } \right ) \, \overrightarrow k$$

هم‌چنین فرض کنید سطح S زیر ناحیه $$z = 6 - 2{x^2} - 2{y^2}$$ و بالای z=0 قرار دارد. سطح انتگرال‌گیری در شکل زیر نشان داده شده است.

جهت استفاده از قضیه دیورژانس بایستی بازه‌های انتگرال‌گیری را در مختصات استوانه‌‌ای بیان کرد. از این رو بیشترین شعاع انتگرال‌گیری به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large 0 = 6 - 2 { x ^ 2 } - 2 { y ^ 2 } \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 3$$

بنابراین شعاع از صفر تا $$\sqrt { 3 }$$ تغییر می‌کند. نهایتا بازه‌های انتگرال‌گیری در مختصات استوانه‌ای را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large \begin {array} { c } 0 \le \theta \le 2 \pi \\ 0 \le r \le \sqrt 3 \\ 0 \le z \le 6 - 2 { x ^ 2 } - 2 { y ^ 2 } = 6 - 2 { r ^ 2 } \end {array}$$

توجه داشته باشید که مطابق با عبارت فوق، نوشتن z در مختصات استوانه‌ای بایستی به‌ درستی انجام شود. در قدم بعدی دیورژانسِ تابع F به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large { \mathop { \rm div } \nolimits } \overrightarrow F = \frac {\partial } { { \partial x } } \left ( { 2 x z } \right ) + \frac { \partial } { { \partial y } } \left ( { 1 - 4 x { y ^ 2 } } \right ) + \frac { \partial } { { \partial z } } \left ( { 2 z - { z ^ 2 } } \right ) = 2 - 8 x y$$

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی – حل سوالات کنکور ارشد و دکتری در فرادرس

کلیک کنید

در مرحله بعد، حاصل انتگرال در مختصات استوانه‌ای، به شکل زیر بیان می‌شود.

$$\large \begin {align*} \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } } & = \iiint \limits _ { E } { { { \mathop { \rm div } \nolimits } \overrightarrow F \, d V } } \\ & = \iiint \limits _ { E } { { 2 - 8 x y \, d V } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { { \sqrt 3 } } { { \int _ { 0 } ^ { { 6 - 2 { r ^ 2 } } } { { \left ( { 2 - 8 { r ^ 2 } \cos \theta \sin \theta } \right)r\,d z } } \, d r } } \,d \theta } } \\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{{\sqrt 3 } } { { \int _ { 0 } ^ { { 6 - 2 { r ^ 2 } } } { { 2 r - 8 { r ^ 3 } \cos \theta \sin \theta \, d z } }\,dr}}\,d\theta }}\end{align*}$$

نهایتا حاصل انتگرال فوق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} \iint \limits _ { S } { { \overrightarrow F \small \bullet d \overrightarrow S } } & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { { \sqrt 3 } } { { \int _ { 0 } ^ { { 6 - 2 { r ^ 2 } } } { { 2 r - 8 { r ^ 3 } \cos \theta \sin \theta \, d z } } \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { { \sqrt 3 } } { { \left. { \left ( { 2 r - 8 { r ^ 3 } \cos \theta \sin \theta } \right ) z } \right | _ 0 ^ { 6 - 2 { r ^ 2 } } \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { { \sqrt 3 } } { { \left ( { 2 r - 8 { r ^ 3 } \cos \theta \sin \theta } \right)\left( {6 - 2 { r ^ 2 } } \right ) \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \int _ { 0 } ^ { { \sqrt 3 } } { { 1 2 r - 4 { r ^ 3 } - \left ( { 4 8 { r ^ 3 } - 1 6 { r ^ 5 } } \right ) \cos \theta \sin \theta \, d r } } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { \left. { \left ( { 6 { r ^ 2 } - { r ^ 4 } - \left ( { 1 2 { r ^ 4 } - \frac { 8 } { 3 } { r ^ 6 } } \right ) \cos \theta \sin \theta } \right ) } \right| _ 0 ^ { \sqrt 3 } \, d \theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { 9 - 3 6 \cos \theta \sin \theta \,d\theta } } \\ & = \int _ { 0 } ^ { { 2 \pi } } { { 9 - 1 8 \sin \left( { 2 \theta } \right ) \, d \theta } } \\ & = \left. {\left( {9\theta - 9\cos \left( { 2 \theta } \right ) } \right ) } \right|_0 ^ { 2 \pi } = { { 1 8 \pi } } \end {align*}$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• قضیه گرین (Green Theorem) - به زبان ساده
• قضیه استوکس - به زبان ساده
• دیورژانس (Divergence) - به زبان ساده