دینامیک موشک با جرم متغیر – به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به معادلات دیفرانسیل را توضیح دادیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد کاربردی جذاب از این معادلات صحبت کنیم. در حقیقت دینامیک موشک با جرم متغیر را می‌توان با استفاده از معادلات دیفرانسیل توضیح داد.

دینامیک موشک

احتمالا می‌دانید که یک موشک برای خارج شدن از میدان گرانشی زمین باید سوخت زیادی را با خودش حمل کند. از طرفی این جرم با گذشت زمان کم می‌شود. از این رو رابطه مربوط به قانون دوم نیوتن را باید به صورت دیفرانسیلی برای آن بیان کرد. البته حالت‌های زیر نیز، جزء مواردی محسوب می‌شوند که در آن‌ها جرمِ سیستم با گذشت زمان تغییر می‌کند.

• سقوط دانه‌های برف
• حرکت یک تکه یخ روی سطح آب
• ورود شهاب سنگ به اتمسفر زمین

معادله دیفرانسیل حرکت

یک موشک بر اساس قانون سوم نیوتن کار می‌کند. این قانون بیان می‌کند برای هر عملی عکس العملی وجود دارد. این عکس العمل از نظر اندازه برابر و جهت آن خلاف جهت نیروی وارد شده به سیستم است. فرض کنید جرم اولیه یک موشک برابر با m باشد. هم‌چنین این موشک در لحظه t با سرعت v در حال حرکت است. در بازه زمانی dt جرم موشک به اندازه dm کم شده و سرعت آن به اندازه dv افزایش می‌یابد.

فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ – مفاهیم پایه + حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

در لحظه t تکانه موشک برابر با mv است. در بازه زمانی اندک dt تکانه موشک برابر می‌شود با:

$$\Large { { p _ 1 } } = { \left ( { m – d m } \right ) \left ( { v + d v } \right ) }$$

از طرفی مومنتوم گاز خارج شده نسبت به زمین برابر است با:

$$\Large { p _ 2 } = d m \left ( { v – u } \right )$$

در رابطه فوق u برابر با سرعت گاز خروجی نسبت به موشک است. در این مسئله فرض بر این است که جهت گاز خروجی عکس جهت حرکت موشک است.

با استفاده از قانون پایستگی مومنتوم می‌توان گفت:

$$\Large { p = { p _ 1 } + { p _ 2 }\;\;}\Rightarrow { m v = \left( { m – d m } \right) \left( { v + d v } \right ) }+{ d m \left ( { v – u } \right)}$$

این معادله را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$ \Large \require {cancel} { \cancel { { m v } } = \cancel { { m v } } - \cancel { { v d m } } } + { m d v – d m d v } + { \cancel { { v d m } } – u d m} $$

می‌توان از ترم dmdv در عبارت فوق، صرف نظر کرد. بنابراین شکل دیفرانسیلی رابطه بین سرعت و جرم به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large m d v = u d m$$

با تقسیم کردن طرفین رابطه فوق به dt رابطه مربوط به قانون دوم نیوتن به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large m \frac { { d v } }{ { d t } } = u \frac { { d m } } {{ d t } }$$

عبارت فوق، نشان دهنده معادله حرکت موشک است. ترم سمت چپ تراست یا پیشران نامیده شده و آن را با نماد T نشان می‌دهند. نهایتا رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large T = u\frac { { d m } } { { d t }}$$

همان‌طور که از رابطه فوق نیز می‌توان نتیجه گرفت نیروی رانشی وارد شده به موشک وابسته به نرخ گاز خارج شده از آن است. توجه داشته باشید که معادله فوق، حالتی ایده‌آل را توصیف می‌کند. در حقیقت در این معادله نیروی گرانشی و نیرو‌های آیرودینامیکی در نظر گرفته نشده‌اند.

پاسخ معادله دیفرانسیل

در بالا اثبات شد که به منظور توصیف یک سامانه جرم متغیر می‌توان از رابطه زیر استفاده کرد.

$$\Large m d v = u d m$$

با استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها، از رابطه فوق به صورت زیر انتگرال می‌گیریم.

$$\Large {dv = u\frac{{dm}}{m} \;\;}\Rightarrow { \int \limits _ { { v _ 0 } } ^ { {v _ 1 } } { d v } = \int \limits _ { { m _ 0 } } ^ { { m _ 1 } } { u \frac { { d m } } { m} } }$$

با فرض این که سرعت اولیه v₀ و جرم اولیه نیز m₀ بوده باشد. رابطه فوق پس از انتگرال‌گیری به صورت زیر در می‌آید.

$$\Large {\left. v \right|_{{v_0}}^{{v_1}} = – u\left. {\left( {\ln m} \right)} \right|_{{m_0}}^{{m_1}},\;\;}\Rightarrow {{v_1} – {v_0} = u\ln \frac{{{ m _ 0 } } }{ { { m_ 1 } } }}$$

در رابطه فوق v₁ و m₁ به ترتیب سرعت نهایی و جرم نهایی موشک هستند. با فرض این‌که سرعت v₀=۰ باشد، عبارت فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\Large \boxed {{{ v = u \ln \frac { { { m _ 0 } } } { m } } }}$$

با استفاده از رابطه فوق می‌توان سرعت لحظه‌ای موشک را بر حسب جرم لحظه‌ای آن بدست آورد.

مثال ۱

شتاب یک موشک را در لحظه رسیدن به مدار زمین بدست آورید. متغیر‌ها را برابر با مقادیر زیر در نظر بگیرید.

• سرعت خروج گاز: $$\large u = 3000\,{\large\frac{\text { m } } { \text { s } } \normalsize }$$
• جرم سیستم در لحظه قرارگیری در مدار زمین: $$\large m = 5000\,\text{kg}$$
• نرخ سوختنِ سوخت: $$\large \mu = 100 \, { \large \frac{\text{kg}}{\text{ s}}\normalsize}$$

در ابتدا از رابطه بدست آمده در بالا استفاده می‌کنیم.

$$\Large v = u \ln \frac { { { m _ 0 } } } { m }$$

در رابطه فوق، سرعت موشک یا همان v وابسته به جرم موشک یا همان $$\large m ( t )$$ است. ما در فرضی ساده، تصور می‌کنیم که جرم موشک با گذشت زمان به طور خطی تغییر می‌کند. در حقیقت رابطه مربوط به جرم موشک را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\Large m \left ( t \right ) = { m _ 0 } – \mu t$$

جرم نهایی موشک معلوم است؛ بنابراین تغییرات جرم موشک بر حسب زمان را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large { v \left ( t \right ) } = { u\ln \frac { { {m _0 } } }{ { { m _ 0 } – \mu t} } }$$

با مشتق‌گیری از رابطه فوق بر حسب زمان، شتاب موشک را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

$$ \Large \require{cancel} {\frac{{dv}}{{dt}} = a\left( t \right) }<br /> = {{u\frac{1}{{\frac{{{m_0}}}{{{m_0} – \mu t}}}} \cdot}\kern0pt { \frac { { \left( { – {m_0}} \right)\left( { – \mu } \right)}}{{{{\left( {{m_0} – \mu t} \right ) } ^ 2 } }} }} = { \frac { { u \mu } } { { { m _0 } – \mu t}}} $$

بنابراین نهایتا شتاب موشک برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\Large a \left ( t \right) = \frac{{u\mu } } { { { m_ 0 } – \mu t} }$$

توجه داشته باشید که می‌توان با استفاده از مشتق‌گیری جزئی از شتاب a، دریافت که با گذشت زمان، شتاب نیز با زمان افزایش می‌یابد. بنابراین می‌توان گفت:

$$\Large { \frac { { \partial a } } { { \partial t } } } = { – \frac{{u\mu } } { { { { \left( { { m _ 0 } – \mu t } \right)}^2}}} \cdot \left( { – \mu } \right) } = {\frac { { u { \mu ^2} }} { { { { \left( {{m_0} – \mu t} \right)}^2}}} \gt 0}$$

برای بدست آوردن شتاب سیستم در زمان رسیدن به مدار زمین، کافی است کمیت‌ها را در لحظه مذکور در رابطه بدست آمده جایگذاری کرد. نهایتا شتاب در لحظه مذکور برابر است با:

$$\Large {a = \frac { { u \mu } } { { {m _ 0 } – \mu t}} } = {\frac { { u \mu } } { m } } = {\frac{{3000 \cdot 100}}{{5000}} } = {60\,\frac{\text{m}}{{{\text{s}^2}}} \approx 6 \, g }$$

مثال ۲

راکتی تک مرحله‌ای را در نظر بگیرید که قصد دارد ماهواره‌ای به جرم 50kg را به مدار زمین بفرستد. با فرض این‌که نرخ خروج گاز از این موشک برابر با $$\large 3000 \, { \large\frac{\text {m}}{\text{s}}\normalsize}$$ باشد، سوخت مورد نیاز برای این ماموریت را محاسبه کنید.

در ابتدا با استفاده از رابطه ایده‌آل موشک داریم:

$$\Large v = u \ln \frac { { { m _ 0} } } { m }$$

از طرفی سرعت خروج گاز نیز برابر است با:

$$\Large u = 3000\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

جرم نهاییِ سیستم برابر با m=50kg است. جرم اولیه $$\Large m _ 0$$ از دو جرم ماهواره (m) و جرمِ سوخت ($$\Large m _ p$$) تشکیل شده است. بنابراین جرم اولیه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large { m _ 0 } = m + { m _ p }$$

کافی است تا عبارت فوق را در رابطه اصلی موشک جایگزین کرده و جرم سوخت مورد نیاز را بدست آوریم. بنابراین جرم m_p برابر است با:

$$\Large {v = u\ln \frac{{m + {m_p}}}{m} \;\;}\Rightarrow { { m _ p } = m \left( {{ e ^ { \huge\frac{v}{u}\normalsize}} – 1} \right) } = {50\left( { { e ^ { \huge \frac { { 7910}}{{3000}}\normalsize}} – 1} \right) } \approx {50\left( {13.97 – 1} \right) } \approx {700\left[ \text{kg} \right] }$$

جالب است بدانید که جرم بدست آمده برای سوخت مورد نیاز، ۱۷ برابر جرمِ خود ماهواره است.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تابع پتانسیل و جریان پتانسیل در سیالات — از صفر تا صد
• تابع جریان در سیالات — به زبان ساده

^^