دیفرانسیل تابع – به زبان ساده

در این مطلب قصد داریم تا یکی از مفاهیم بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال را توضیح دهیم. مفهوم دیفرانسیل تابع پیش‌زمینه‌ای برای مشتق و شیب خط بوده و آموزش آن به منظور یادگیری مفاهیم حسابان ضروری است.

تعریف دیفرانسیل تابع

تابعی هم‌چون $$\large y = f \left ( x \right )$$ را به صورتی در نظر بگیرید که در بازه $$\large \left[ {a , b} \right]$$ پیوسته است. فرض کنید در نقطه‌ای ‌همچون $$\large { x _ 0 } \in \left [ { a , b } \right]$$، جابجایی اندک $$\large Δ x$$ نشان دهنده فاصله بین دو نقطه $$\large x _ 0$$ و نقطه همسایه‌اش یعنی $$\large x _ 0 + \Delta x$$ باشد. در این صورت تغییرات اندک $$\large Δ y$$ را می‌توان به صورت زیر و بر حسب $$\large Δ x$$ بیان کرد:

$$\large { \Delta y = \Delta f \left( { {x _ 0 } } \right) } = { f \left( { { x _ 0 } + \Delta x} \right) – f\left( { { x _ 0 } } \right ) }$$

به ازای هر تابع مشتق‌پذیر، افزایش جزئی $$\large Δ y$$ را می‌توان به صورت مجموع دو عبارت زیر بیان کرد:

$$\large { \Delta y } = { A \Delta x + \omicron \left ( { \Delta x } \right) }$$
رابطه ۱

بدیهی است که ترمِ اول به صورت خطی به $$\large Δ x$$ وابسته بوده و جمله ترمِ دوم نیز از مرتب $$\large Δ x$$ است. ترمِ اول یا همان $$\large A \Delta x$$ تحت عنوان دیفرانسیل تابع شناخته شده و به صورت یکی از حالات زیر نشان داده می‌شود.

$$\Large d y \ \ , \ \ d f ( x _ 0 )$$

به منظور درک مفهوم دیفرانسیل تابع، مربعی به ضلع ۱ متر را در نظر بگیرید. بدیهی است که مساحت این مربع برابر است با:

$$\large { S _ 0 } = x _ 0 ^ 2 = 1 \, \text{m} ^ 2$$

بنابراین $$S$$ تابعی محسوب می‌شود که وابسته به طول یا همان $$\large x _ 0$$ است. حال فرض کنید ابعاد مربع فوق به اندازه $$\large \Delta x = 1 \, \text{cm}$$ تغییر کند. در این صورت مساحت جدید آن برابر است با:

$$\large S = { x ^ 2 } = { \left ( { { x _ 0 } + \Delta x } \right ) ^ 2 } = {1,{01^2} }\kern0pt{\text{= } 1,0201 \,\text{m}^2 }\;\;$$

در حقیقت افزایش مساحتِ $$\large \Delta S$$ برابر است با:

$$\large { \Delta S = S – { S _ 0 } } = { 1,0201 – 1 } = { 0,0201\,\text{m}^2 } = {201 \,\text{cm} ^ 2 }$$

بنابراین دیفرانسیل $$\large \Delta S$$ را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

$$ \large \begin {align*} \require{cancel}<br /> {\Delta S = S – { S _ 0 } } = { {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} – x_0^2 }<br /> & = {\cancel{x_0^2} + 2{ x _ 0 } \Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} – \cancel{x_0^2} }<br /> \\ & = {2 { x _ 0 } \Delta x + {\left( {\Delta x} \right ) ^ 2 } }<br /> \\ & = { A \Delta x + \omicron \left ( { \Delta x } \right ) }<br /> \\ & = { d y + o\left( { \Delta x} \right) } \end {align*} $$

با توجه به رابطه فوق اندازه دیفرانسیل $$dy$$ برابر است با:

$$\large \begin {align*} { d y = A \Delta x } = { 2 { x _ 0 } \Delta x } = { 2 \cdot 1 \cdot 0,01 }={ 0,02 \,\text{m}^2 }={ 200\,\text{cm}^2 } \end {align*}$$

هم‌چنین باقیمانده از مرتبه $$\large {\Delta x} ^ 2$$ بوده و به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { \omicron \left ( { \Delta x } \right ) = { \left ( { \Delta x } \right ) ^ 2 } } = { {0,01 ^ 2 } = 0,0001\,\text{m}^2 }={ 1\,\text{cm}^2 }$$

توجه داشته باشید که در این مثال اندازه $$A$$ برابر با مشتق $$S$$ در نقطه $$\large x _ 0$$ است. این مشتق برابر است با:

$$\large A = 2 { x _ 0 }$$

بنابراین برای هر تابع مشتق‌پذیر گزاره زیر را می‌توان بیان کرد:

ضریب $$A$$ در رابطه مربوط به تغییرات یک تابع در نقطه $$\large { x _ 0 }$$ برابر با مشتق تابع $$\large f$$ در نقطه مذکور است. نهایتا تغییرات اندک تابع $$\large f$$ در نقطه $$\large { x _ 0 }$$ برابر است با:

$$\large { \Delta y = A \Delta x + \omicron\left( {\Delta x} \right) } = {f ^ { \prime } \left( { { x _ 0 } } \right ) \Delta x + \omicron\left( {\Delta x} \right) }$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

با تقسیم کردن طرفین رابطه فوق به مقدار غیر صفر $$\large \Delta x \ne 0$$، به عبارت زیر می‌رسیم.

$$\large { \frac { { \Delta y } } { { \Delta x } } = A + \frac{{\omicron\left( {\Delta x} \right ) } } {{\Delta x}} } = {f ^ { \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right) + \frac { { \omicron\left( {\Delta x} \right ) } } { { \Delta x } } }$$

در حالتی حدی که $$\large \Delta x \rightarrow 0$$ برقرار باشد، مشتق در نقطه $$\large x _ 0$$ به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { y ^ { \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right) = \lim \limits _ { \Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = { A } = { f ^ { \prime } \left( {{x_0}} \right ) }$$

توجه داشته باشید که در محاسبه حد فوق، عبارت‌هایی در صورت که از مرتبه $${ \Delta x } ^ 2 , { \Delta x } ^ 3 , ...$$ هستند، برابر با صفر در نظر گرفته ‌شده‌اند. اگر این ترم‌ها را با نماد $$O (\Delta x)$$ نشان دهیم، در حقیقت فرض زیر در نظر گرفته شده است.

$$\large \lim \limits _ { \Delta x \to 0} \frac { { \omicron \left ( { \Delta x } \right ) } } { { \Delta x } } = 0$$

زمانی که تغییرات $$\Delta x$$ به صفر نزدیک می‌شود، آن را با $$d x$$ بیان می‌کنند. بنابراین در این حالت گزاره زیر را می‌توان بیان کرد:

$$\large d x = \Delta x$$

نهایتا مشتق تابع $$y$$ نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large d y = A \Delta x = y ^ { \prime } d x$$

بنابراین همان‌طور که رابطه فوق نیز بر می‌آید، مشتق یک تابع برابر با نسبت دو دیفرانسیل است.

مفهوم هندسی دیفرانسیل تابع

شکل زیر تغییراتِ $$Δ y$$ را به صورت مجموعِ $$A Δ x$$ و ترم‌های کوچک‌تر $$Δx$$ نشان می‌دهد.

مماسِ $$MN$$ که بر منحنی $$\large y= f ( x )$$،‌ در نقطه $$M$$ ترسیم شده، دارای شیبی با زاویه $$\large \alpha$$ است. تانژانت این زاویه برابر است با:

$$\large \tan \alpha = f ^ {\prime} \left ( { { x _ 0 } } \right )$$

زمانی که متغیر مستقل به اندازه $$Δx$$ تغییر کند، $$y$$ به میزان $$AΔx$$ تغییر می‌کند. باقیمانده تغییرات که با خط $$NM_1$$ نشان داده شده است، مربوط به ترم‌های $${ \Delta x } ^ 2 , { \Delta x } ^ 3 , ...$$ هستند.

ویژگی‌های دیفرانسیل تابع

فرض کنید دو تابع $$u$$ و $$v$$ وابسته به $$x$$ باشند.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

در این صورت دیفرانسیل تابع دارای ویژگی‌های زیر است.

1. یک ثابت را می‌توان از دیفرانسیل خارج کرد. بنابراین رابطه $$\large d \left( { C u } \right ) = C d u$$ را می‌توان برای تابع $$u$$ بیان کرد.
2. دیفرانسیل مجموع دو تابع برابر با مجموع دیفرانسیل دو تابع است. منظور از این گزاره برقرار بودن رابطه $$\large { d \left ( { u \pm v } \right ) } = { d u \pm d v }$$ است.
3. دیفرانسیل یک ثابت برابر با صفر است ($$\large d ( C ) = 0$$).
4. دیفرانسیل حاصل‌ضرب دو تابع به صورت زیر است.
   $$\large { d \left ( { u v } \right ) } = { d u \cdot v + u \cdot d v }$$
5. دیفرانسیل یک تابع کسری همچون $$\large \frac { u } { v }$$ برابر است با:
   $$\large { d \left ( { \large \frac { u } { v } \normalsize } \right ) } = { \large \frac { { d u \cdot v – u \cdot d v } } { { {v ^ 2 } } } \normalsize.}$$
6. دیفرانسیل یک تابع برابر با حاصل ضرب مشتق تابع در دیفرانسیل متغیر مستقل است. بنابراین می‌توان گفت:
   $$\large { d y = d f \left( x \right) } = { f ^ { \prime } \left( x \right) d x }$$

دیفرانسیل گیری زنجیره‌ای

دو تابع ترکیب شده در یکدیگر همچون $$\large y = f \left ( u \right )$$ و $$\large u = g \left ( x \right )$$ را در نظر بگیرید.

در چنین شرایطی مشتق $$y$$ نسبت به $$x$$ را می‌توان به صورت زیر و با استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای بر حسب $$x$$ بدست آورد.

$$\large { y ^ { \prime } _ x } = { y ^ { \prime } _ u } \cdot {u ^ {\prime} _ x }$$

توجه داشته باشید که در روابط فوق مشتق‌گیری نسبت به اندیس‌ها انجام شده است. از طرفی دیفرانسیل تابع $$y$$ را می‌توان به صورت زیر نیز بیان کرد:

$$\large d y = { y ^ { \prime } _ u } \, d u$$

دیفرانسیل $$u$$ نیز برابر است با:

$$\large d u = { u ^ { \prime } _ x } \, d x$$

با استفاده از دو رابطه فوق، دیفرانسیل $$y$$ نسبت به $$x$$ به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود.

$$\large { d y = { y ^ { \prime } _ u } \, d u } = { { y ^ { \prime } _ u} { u ^ { \prime } _ x } \, d x }$$

مثال ۱

دیفرانسیل تابع $$\large y = \sin x – x \cos x$$ را بیابید.

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

در ابتدا باید مشتق این تابع معلوم شود. بنابراین مشتق y برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel}<br /> { y ^ { \prime } = { \left ( { \sin x – x \cos x } \right ) ^ \prime } }<br /> & = {\cos x }-{ \left( {x ^ { \prime } \cos x + x { { \left( {\cos x} \right ) } ^ \prime }} \right) }<br /> \\ & = {\cos x }-{ \left( {\cos x + x\left( { – \sin x} \right)} \right) }<br /> \\ & = {\cancel{\cos x} – \cancel { \cos x } }+{ x \sin x } = { x \sin x } \end {align*} $$

از این رو دیفرانسیل تابع $$y$$ نیز برابر است با:

$$\large { d y = y ^ { \prime } d x } = { x \sin x \, d x }$$

مثال ۲

میزان افزایش و دیفرانسیل تابع $$\large y = {x^2} – x + 1$$ را در نقطه $$x=2$$ به ازای افزایش دیفرانسیلی $$dx=1$$ بدست آورید.

همان‌طور که در بالا بیان شد، افزایش تابع $$y$$ برابر است با:

$$\large { \Delta y } = { f \left ( { x + \Delta x } \right ) – f \left ( x \right ) }$$

در این مسئله نقطه همسایگی $$\large x _ 0$$ در $$\large { x + \Delta x } = { 2 + 1 = 3 }$$ قرار دارد. بنابراین مقدار تغییرات تابع y برابر است با:

$$\large { \Delta y = f \left ( 3 \right ) – f \left( 2 \right) } = { \left ( { { 3 ^ 2 } – 3 + 1} \right) }-{ \left( { { 2 ^ 2 } – 2 + 1} \right) } = {7 – 3 = 4 }$$

از طرفی به منظور محاسبه دیفرانسیلِ تغییرات تابع در این نقطه باید از مفهوم مشتق استفاده کرد. بنابراین اندازه دیفرانسیل $$dy$$ در این نقطه برابر است با:

$$\large \begin {align*} { d y = f ^ {\prime} \left ( x \right ) \Delta x } = { { \left ( { { x ^ 2 } – x + 1 } \right ) ^ \prime } \Delta x } & = {\left( {2x – 1} \right)\Delta x } \\ & = {\left( {2 \cdot 2 – 1} \right) \cdot 1 }={ 3 } \end {align*}$$

مثال ۳

دیفرانسیل تابع $$\large y = x \sin { \large \frac { { \pi x } }{ 2 } \normalsize}$$ را در نقطه $$\large x = { \large \frac { 1} { 2 } \normalsize }$$ در حالتی بیابید که دیفرانسیل متغیر برابر با $$\large d x = 0,01$$ باشد.

دیفرانسیل تغییرات در حالت کلی برابر است با:

$$\large \begin {align*} {d y = f ^ { \prime } \left ( y \right ) d x } = { { \left ( { x \sin \frac { { \pi x } } { 2 } } \right ) ^ \prime } d x } & = {\left( {1 \cdot \sin \frac{{\pi x}}{2} }\right.}+{\left.{ x \cdot \cos \frac{{\pi x}}{2} \cdot \frac{\pi }{2}} \right)dx } \\ & = {\left( {\sin \frac{{\pi x}}{2} }+{ \frac{{\pi x}}{2}\cos \frac{{\pi x}}{2}} \right ) d x } \end {align*}$$

نهایتا با قرار دادن مختصات نقطه در عبارت فوق دیفرانسیل $$\large d y$$ برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} { d y } = { \left ( {\sin \frac{{\pi \cdot \frac{1}{2}}}{2} }\right.}+{\left.{ \frac{{\pi \cdot \frac{1}{2}}}{2}\cos \frac{{\pi \cdot \frac{1}{2}}}{2}} \right) \cdot 0,01 } & = {\left( {\sin \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{4}} \right) \cdot}\kern0pt{ 0,01 } \\ & = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{\pi }{4}\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cdot}\kern0pt{ 0,01 } \\ & = {\frac{{\sqrt 2 }}{{200}}\left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) }\approx{ 0,0126.} \end {align*}$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شود:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• دایره مثلثاتی - به زبان ساده
• مشتق توابع معکوس مثلثاتی - به زبان ساده

^^