درصد چیست؟ + نحوه محاسبه و مثال – ریاضی به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با نسبت در ریاضی آشنا شدیم و دیدیم که درصد نوعی نسبت با مخرج ۱۰۰ است. در این آموزش از مجله فرادرس، با جزئیات و مثال‌های بیشتری خواهیم دید که درصد چیست و چگونه باید مسائل مرتبط با آن را حل کنیم.

درصد چیست؟‌

واژه «درصد» (Percentage) از کلمه لاتین "Percentum" گرفته شده که به معنای «تقسیم بر صد» است. درصد، در واقع، کسری است که مخرج آن ۱۰۰ است. به عبارت دیگر، این رابطه بین جزء و کل است که در آن مقدار کل همیشه برابر با ۱۰۰ در نظر گرفته می‌شود. به عبارت دیگر، درصد به ما می‌گوید چند قسمت از ۱۰۰ را داریم.

اگر بخواهیم درصد را با زبان نزدیک به ریاضی تعریف کنیم، باید بگوییم که درصد، کسر یا نسبتی است که مقدار کل یا مخرج آن همیشه ۱۰۰ است. مثلاً اگر احمد در امتحان ریاضی خود ۳۰ درصد نمره را کسب کرده باشد، به این معنی است که از ۱۰۰ نمره ۳۰ گرفته است. شکل کسری آن $$ \frac {30}{100}$$ است.

نماد درصد چیست؟

اما نماد درصد چیست؟ درصد به عنوان یک قسمت یا مقدار معین در هر صد تعریف می‌شود و با نماد "%" در انگلیسی و "٪" در فارسی نشان داده می‌شود. درصد روش دیگری برای نشان دادن صدم است؛ به طوری که ٪۱ برابر با یک صدم است، یعنی $$1 \% = \frac {1}{100} = 0.01 $$.

روش محاسبه درصد چیست؟

محاسبه درصد به معنای یافتن سهم از کل، بر حسب ۱۰۰ است. برای یافتن درصد کافی است نسبت را به‌شکل یک کسر بنویسیم، سپس تغییراتی در کسر ایجاد کنیم تا مخرج آن به ۱۰۰ تبدیل شود. این تغییر ضرب یا تقسیم صورت و مخرج در یک عدد است تا مخرج کسر به عدد ۱۰۰ تبدیل شود.

تمرین درصد: کاشی‌های نرگس

وقتی دو یا چند مقدار داریم که مجموع آن‌ها برابر با ۱۰۰ است، درصد آن مقادیرِ جزء به مقدار کل، خود آن عدد است. به‌عنوان مثال، نرگس کاشی‌هایی با سه رنگ مختلف برای خانه خود خریده است. جزئیات خرید او در جدول زیر آمده است.

از آنجا که تعداد کل اقلام برابر با ۱۰۰ است، درصدها را می‌توان به‌راحتی محاسبه کرد. اما اگر مجموع اقلام ۱۰۰ نشود چه؟ در چنین مواردی کسرها را به کسرهای معادل با مخرج ۱۰۰ تبدیل می‌کنیم.

تمرین درصد: دستبند رعنا

به عنوان مثال، فرض کنید رعنا یک دستبند دارد که از ۲۰ مهره در دو رنگ مختلف قرمز و آبی تشکیل شده است. به جدول زیر توجه کنید که درصد مهره‌های قرمز و آبی را از بین ۲۰ مهره نشان می‌دهد.

خواهران رعنا، نورا و نادیا، نیز درصدها را محاسبه کردند، اما به روش‌های مختلف. نورا می‌گوید از ۲۰ مهره، تعداد ۸ مهره قرمز است. بنابراین، از ۱۰۰ مهره، تعداد مهره‌های قرمز $$ \frac {20} { 8} × 100 = 40 $$ درصد خواهد بود. نادیا از روش دیگری استفاده می‌کند. او کسر $$ \frac {8 } { 20 } $$ را با ضرب صورت و مخرج در عدد $$ 5 $$ به کسر معادل $$\frac {40}{100}$$ تبدیل می‌کند. بنابراین، $$ \frac { 8 } { 2 0 } = \frac { 8 × 5 } { 2 0 × 5 } = \frac { 40 } { 100 } = 40 \%$$. می‌بینیم که هر دو به نتیجه یکسانی دست یافته‌اند.

فرمول محاسبه درصد چیست؟

از فرمول درصد برای یافتن سهم یک بخش از کل نسبت به ۱۰۰ استفاده می‌شود. با استفاده از این فرمول می‌توان یک عدد را به‌شکل کسری از ۱۰۰ نشان داد. اگر دقت کنید، با این فرمول، به‌دست آوردن درصد به‌راحتی قابل انجام است. با استفاده از فرمول زیر، درصد محاسبه می‌شود:

۱۰۰ × (مقدار کل ÷ مقدار موجود) = درصد

تمرین درصد: مدادهای علی

برای مثال، فرض کنید علی ۸ مداد دارد و می‌خواهد ۲ تای آن‌ها را به خواهرش بدهد. می‌خواهیم ببینیم که علی چند درصد از مدادهایش را به خواهرش داده است. تعداد مدادهایی که علی به خواهرش داده، ۲ عدد است. تعداد کل مدادها هم ۸ عدد بوده است. اکنون، با استفاده از فرمولی که بیان کردیم، خواهیم داشت:

۲۵٪ = ۱۰۰ × (۰٫۲۵) = ۱۰۰ × (۸ ÷ ۲) = ۱۰۰ × (تعداد کل خودکارها ÷ تعداد خودکارهایی که علی به خواهرش می‌دهد) = درصد

بنابراین، علی ۲۵ درصد از مدادهایش را به خواهرش می‌دهد.

درصد اختلاف بین دو عدد چیست؟

گاهی لازم است افزایش یا کاهش مقداری را به‌صورت درصد بیان کنیم که به آن درصد تغییر یا درصد اختلاف می‌گویند. درصد اختلاف عبارت است از تغییر در یک مقدار در یک دوره زمانی که آن را بر حسب درصد بیان می‌کنیم. مثلاً افزایش جمعیت، کاهش فقر و غیره را احتمالاً از اخبار و رسانه‌ها شنیده‌اید که به‌صورت درصد بیان می‌کنند.

با فرمول‌های ساده‌ای می‌توان تغییر کمیت را به‌شکل درصدی بیان کرد. دو مورد ممکن است هنگام محاسبه درصد اختلاف پیش بیاید که عبارت‌اند از افزایش و کاهش.

روش محاسبه درصد افزایش چیست؟

درصد افزایش به تغییر درصدی در مقدار اشاره دارد که در یک دوره زمانی افزایش می‌یابد. به‌عنوان مثال افزایش جمعیت، افزایش تعداد باکتری‌ها در یک سطح و... . درصد افزایش را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

۱۰۰ × [مقدار اولیه ÷ (مقدار اولیه - مقدار جدید افزایش‌یافته)] = درصد افزایش

تمرین درصد: درآمد حسن

برای مثال، درآمد حسن در یک ماه ۵ میلیون تومان بوده است. درآمد ماه جدید او به ۶ میلیون تومان رسیده است. می‌خواهیم ببینیم درآمد او چند درصد افزایش یافته است. از فرمول بالا استفاده می‌کنیم. پیش از آن، اطلاعات مسئله را می‌نویسیم:

• درآمد ماه قبل: ۵ میلیون تومان
• درآمد ماه جدید: ۶ میلیون تومان
• میزان افزایش درآمد: ۱ = ۵ - ۶ میلیون تومان

بنابراین، خواهیم داشت:

۲۰٪ = ۱۰۰ × [۰٫۲] = ۱۰۰ × [۵ ÷ (۱)] = ۱۰۰ × [۵ ÷ (۵ - ۶)] = درصد افزایش درآمد حسن

بنابراین، درآمد حسن ۲۰ درصد افزایش پیدا کرده است.

روش محاسبه درصد کاهش چیست؟

درصد کاهش به تغییر درصدی در مقدار اشاره دارد که در طی یک دوره زمانی کاهش می‌یابد. به عنوان مثال،  کاهش سطح بارندگی، کاهش تعداد مبتلایان به کووید و... . درصد کاهش را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

۱۰۰ × [مقدار اولیه ÷ (مقدار جدید کاهش‌یافته - مقدار اولیه)]  = درصد کاهش

تمرین درصد: کاهش تعداد مبتلایان به ویروس کرونا

برای مثال، فرض کنید تعداد مبتلایان به بیماری کووید ۱۹ در یک روز ۱۲۵۰ نفر بوده است و در روز بعد به ۱۰۰۰ نفر رسیده است. می‌خواهیم این مقدار کاهش را برحسب درصد بیان کنیم. از فرمول بالا استفاده می‌کنیم.

• تعداد اولیه: ۱۲۵۰ نفر
• تعداد جدید کاهش‌یافته: ۱۰۰۰ نفر
• تعداد جدید کاهش‌یافته منهای تعداد اولیه: ۲۵۰ = ۱۰۰۰ - ۱۲۵۰

بنابراین، خواهیم داشت:

۲۰٪ = ۱۰۰ × [۰٫۲] = ۱۰۰ × [۱۲۵۰ ÷ (۲۵۰)] = ۱۰۰ × [۱۲۰۰ ÷ (۱۰۰۰ - ۱۲۵۰)] = درصد کاهش مبتلایان

بنابراین، تعداد مبتلایان به‌اندازه ۲۰ درصد کاهش یافته است.

روش تبدیل کسرها به درصد چیست؟

کسر رابطه‌ای است بین یک جزء و یک کل و به‌شکل $$\frac p q $$ نوشته می‌شود که در آن، $$q$$ صفر نیست. همان‌طور که پیش‌تر گفتیم، درصد نوعی کسر با مخرج ۱۰۰ است. بنابراین، برای بیان کسر به درصد، این‌گونه عمل می‌کنیم: صورت و مخرج را در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم می‌کنیم که مخرج به ۱۰۰ تبدیل شود. در نهایت، صورت کسر همان مقدار درصد خواهد بود.

مثال تبدیل کسر به درصد

فرض کنید کسر $$ \frac {17}{20} $$ را داریم. برای تبدیل این کسر به درصد، کافی است صورت و مخرج را در عددی ضرب کنیم که مخرج به ۱۰۰ تبدیل شود. می‌بینیم که ۱۰۰ بر ۲۰ بخش‌پذیر است و با ضرب همزمانِ مخرج و صورت در ۵ می‌توانیم مخرج را به ۱۰۰ تبدیل کنیم. بنابراین، داریم:

$$ \frac {17} {20} = \frac {17} {20} \times \frac {5} {5} = \frac {17\times 5 }{20\times 5 } = \frac {85}{100} = 85\%$$

بنابراین، این کسر معادل ۸۵ درصد است.

نکته: دقت کنید که هنگام ضرب یا تقسیم مخرج بر یک عدد برای تبدیل آن به ۱۰۰، همان کار را برای صورت نیز انجام دهید تا مقدار کسر تغییری نکند. مثلاً اگر مخرج را در عددی ضرب می‌کنید، باید صورت را نیز در همان عدد ضرب کنید. یا اگر مخرج را بر عددی تقسیم می‌کنید، باید صورت را نیز بر آن تقسیم کنید.

یک و نیم برابر یعنی چند درصد؟

از این پرسش دو منظور را می‌توان دریافت کرد:

1. یک و نیم برابر چیزی معادل با چه درصدی است؟
2. مقدار چیزی یک و نیم برابر شده است. مقدار این چیز چند درصد افزایش یافته است؟

مورد اول را می‌توانیم به‌شکل $$1.5 = \frac {1.5}{1} $$ بنویسیم. برای تبدیل آن به درصد، کافی است صورت و مخرج را در عدد ۱۰۰ ضرب کنیم:

$$ \frac {1.5} 1 = \frac { 1.5 \times 100 } { 1 \times 100 } = \frac {150}{100} = 150\% $$

بنابراین، یک و نیم برابر یعنی ۱۵۰ درصد.

اکنون مورد دوم را بررسی می‌کنیم. در اینجا، از فرمول درصد افزایش استفاده می‌کنیم که در بخش‌های قبل به آن اشاره کردیم:

۱۰۰ × [مقدار اولیه ÷ (مقدار اولیه - مقدار جدید افزایش‌یافته)] = درصد افزایش

مقدار اولیه را می‌توانیم هر عدد دلخواهی در نظر بگیریم. در اینجا ما ۱۰ را در نظر می‌گیریم. بنابراین، یک و نیم برابر آن می‌شود ۱۵ و خواهیم داشت:

۵۰٪ = ۱۰۰ × [۰٫۵] = ۱۰۰ × [۱۰ ÷ (۵)] = ۱۰۰ × [۱۰ ÷ (۱۰ - ۱۵)] = درصد افزایش

بنابراین، اگر چیزی یک و نیم برابر شود، معادل با این است که ۵۰ درصد افزایش یافته است.

دو برابر یعنی چند درصد؟‌

این پرسش مشابه پرسش قبل است و باز هم می‌توان آن را به دو شکل تفسیر کرد:

1. دو برابر چیزی معادل با چه درصدی است؟
2. مقدار چیزی دو برابر شده است. مقدار این چیز چند درصد افزایش یافته است؟

برای پاسخ به پرسش نخست، می‌توان گفت دو برابر در واقع عدد ۲ یا کسر $$ \frac 2 1 $$ است. برای نوشتن آن به‌شکل درصد، کافی است صورت و مخرج را در عددی ضرب کنیم که مخرج برابر با ۱۰۰ شود. بدین منظور، صورت و مخرج را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \frac {2} 1 = \frac { 2 \times 100 } { 1 \times 100 } = \frac {200}{100} = 200\% $$

بنابراین، دو برابر یعنی ۲۰۰ درصد.

برای پرسش دوم از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

۱۰۰ × [مقدار اولیه ÷ (مقدار اولیه - مقدار جدید افزایش‌یافته)] = درصد افزایش

مقدار اولیه را می‌توانیم هر عدد دلخواهی در نظر بگیریم. در اینجا ما ۲۰ را در نظر می‌گیریم. بنابراین، دو برابر آن می‌شود ۴۰ و خواهیم داشت:

۱۰۰٪ = ۱۰۰ × [۱] = ۱۰۰ × [۲۰ ÷ (۲۰)] = ۱۰۰ × [۲۰ ÷ (۲۰ - ۴۰)] = درصد افزایش

بنابراین، اگر چیزی دو برابر شود، معادل با این است که بگوییم ۱۰۰ درصد افزایش یافته است. حتماً در رسانه‌ها شنیده‌اید که می‌گویند آمار چیزی بیش از ۱۰۰ درصد افزایش یافته. در واقع، منظور این است که آن چیز بیش از دو برابر شده است.

۲۰۰ درصد یعنی چه؟‌

طبق آنچه در دو بخش قبل دیدیم، برای این پرسش نیز می‌توان دو پاسخ را بیان کرد:

• اگر چیزی ۲۰۰ درصد زیاد شده باشد، یعنی مقدار آن ۳ برابر شده است.
• ۲۰۰ درصد چیزی یعنی دو برابر آن.

واحد درصد چیست؟

درصد واحدی ندارد، زیرا خود از تقسیم دو مقدار یا کمیت هم‌واحد به‌دست می‌آید و به همین دلیل، واحدهای آن‌ها با هم حذف می‌شوند.

مثال‌های درصد

در این بخش، چند مثال را از محاسبه درصد بیان می‌کنیم.

مثال اول درصد

۱۷ دانش‌آموز از ۲۰ نفر دانش‌آموز یک کلاس حاضر هستند. چند درصد دانش‌آموزان غایب هستند؟

حل: ابتدا تعداد دانش‌آموزان غایب را محاسبه می‌کنیم:

تعداد دانش‌آموزان حاضر - تعداد کل دانش‌آموزان = تعداد دانش‌آموزان غایب

۳ = ۱۷ - ۲۰ = تعداد دانش‌آموزان غایب

می‌توانیم برای سادگی جدول زیر را تشکیل دهیم.

برای به‌دست آوردن درصد، کافی است عددی ۲۰ را ۵ ضرب کنیم. دقت کنید که با این کار، باید ۳ را نیز در ۵ ضرب کنیم تا تغییری در نسبت رخ ندهد. بنابراین، جدول زیر را خواهیم داشت.

در نتیجه، جواب ۱۵ درصد است. یعنی ۱۵ درصد دانش‌آموزان غایب هستند.

مثال دوم درصد

کتابی ۴۰۰ صفحه دارد و نیلوفر ۸۰ صفحه آن را خوانده است. نیلوفر چند درصد کتاب را خوانده است؟

حل: این مثال را با استفاده از نسبت‌ها حل می‌کنیم. نسبت تعداد صفحاتی که نیلوفر مطالعه کرده به تعداد کل صفحات کتاب، ۸۰ به ۴۰۰ است و می‌توان آن را به‌شکل جدول زیر نوشت.

همان‌طور که در جدول بالا می‌بینیم، باید ۴۰۰ را بر ۴ تقسیم کنیم تا به ۱۰۰ تبدیل شود. به همین صورت، باید ۸۰ را نیز بر ۴ تقسیم کنیم. در نتیجه، به جدول زیر می‌رسیم.

بنابراین، می‌توان گفت که نیلوفر ۲۰ درصد کتاب را خوانده است.

مثال سوم درصد

۹ خانه از ۵۰ خانه شکل زیر رنگ شده است. خانه‌های رنگ‌شده چند درصد از کل خانه‌ها را تشکیل می‌دهند؟

حل: ابتدا نسبت تعداد خانه‌های رنگ‌شده به کل خانه‌ها را می‌نویسیم:

$$ \frac 9 {50}$$ = نسبت تعداد خانه‌های رنگ‌شده به کل خانه‌ها

باید این کسر را به درصد تبدیل کنیم. برای این کار، کافی است صورت و مخرج را در ۲ ضرب کنیم:

$$ \frac 9 { 50} = \frac { 9 \times 2 } { 50 \times 2 } = \frac { 18 } { 100 } = 18 \% $$

مثال چهارم درصد

قیمت روی جلد یک کتاب ۲۰٬۰۰۰ تومان است. اگر بخواهیم با تخفیف ۲۰ درصد این کتاب را بخریم، باید چقدر پرداخت کنیم؟

حل: ابتدا جدول تناسب را تشکیل می‌دهیم. باید محاسبه کنیم که ۲۰ درصد مبلغ روی جلد کتاب چقدر می‌شود.

برای آنکه به عدد مورد نظر برسیم، باید هر دو عدد صورت و مخرج را در ۲۰۰ ضرب کنیم.

بنابراین، مقدار تخفیف برابر با ۴٬۰۰۰ تومان است. در نتیجه، مقدار قابل پرداخت به‌شکل زیر به‌دست می‌آسد:

مبلغ تخفیف - مبلغ روی جلد = مبلغ قابل پرداخت

۱۶٬۰۰۰ = ۴٬۰۰۰ - ۲۰٬۰۰۰ = مبلغ قابل پرداخت

بنابراین، باید ۱۶٬۰۰۰ تومان پرداخت کنیم.

مثال پنجم درصد

کسر $$ \frac 15 $$ معادل چند درصد است؟‌

حل: ابتدا کسر را به‌شکل زیر می‌نویسیم:

$$ \frac 15 $$

برای آنکه این کسر را به درصد تبدیل کنیم، باید با ضرب یک عدد در صورت و مخرج، مخرج کسر را به ۱۰۰ تبدیل کنیم‌. اگر دقت کنیم، می‌بینیم که با ضرب در عدد ۲۰ به این هدف می‌رسیم:

$$ \frac 15 = \frac { 1 \times 20 } { 5 \times 20 }= \frac { 2 0 }{ 100 } = 20 \% $$

بنابراین، $$\frac 15 $$ معادل با ۲۰ درصد است.

مثال ششم درصد

۵ درصد ۱٬۸۰۰ تومان چقدر است؟‌

حل: می‌توانیم ۵ از جدول تناسب زیر استفاده کنیم.

کافی است ستون سمت چپ را در ۱۸ ضرب کنیم. بنابراین، به جدول زیر می‌رسیم.

بنابراین، جواب ۹۰ تومان است.

مثال هفتم درصد

۱۴ درصد عددی ۷۰۰ است. این عدد را به‌دست آورید.

حل: جدول تناسب زیر را تشکیل می‌دهیم. این بار چون کل را نداریم، ۷۰۰ را در ردیف بالا قرار می‌دهیم.

باید ببینیم که چه عددی در ۱۴ ضرب شده که حاصلش ۷۰۰ شده است. می‌توانیم این عدد را از تقسیم ۷۰۰ بر ۱۴ به‌دست آوریم:

$$ \frac {700} { 14} = 50 $$

بنابراین، باید عدد ۵۰ را در ستون سمت چپ ضرب کنیم.

بنابراین، عددی که به‌دست می‌آید ۵٬۰۰۰ است.

مثال هشتم درصد

شخصی ۶ سیب و ۴ پرتقال دارد. چند درصد از کل میوه‌های او پرتقال هستند؟

حل: ابتدا اطلاعات مثال را می‌نویسیم:

• تعداد سیب‌ها: ۶
• تعداد پرتقال‌ها: ۴
• تعداد کل میوه‌ها: ۱۰ = ۴ + ۶

برای محاسبه درصد پرتقال‌ها، ابتدا باید نسبت تعداد پرتقال‌ها به کل میوه‌ها را بیابیم. همان‌طور که از اطلاعات مسئله می‌دانیم، نسبت تعداد پرتقال‌ها به کل میوه‌ها، $$ 4 $$ به $$ 10 $$ است که به‌شکل کسری $$ \frac 4 { 10 } $$ نوشته می‌شود. برای تبدیل این نسبت به درصد، باید با یک ضریب عدد مخرج را به $$ 100$$ تبدیل کنیم. با توجه به اینکه عدد مخرج $$ 10 $$ است، باید آن را در $$ 10 $$ ضرب کنیم. اما صورت را نیز باید در $$ 10 $$ ضرب کنیم تا اصل نسبت تغییری نکند. بنابراین، با ضرب صورت و مخرج در عدد $$ 10$$، خواهیم داشت:

$$ \frac { 4 } { 10 } = \frac {4 \times 10}{10 \times 10} = \frac {40} {100} $$

مشاهده می‌کنیم که به نسبت معادل $$ \frac {40}{100} $$ رسیده‌ایم که مخرج آن $$100$$ و صورتش $$ 40 $$ است. بنابراین، پرتقال‌ها $$40%$$ از همه میوه‌ها را تشکیل می‌دهند.

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس با تعریف درصد و چگونگی محاسبه آن با ذکر مثال‌های متنوع آشنا شدیم.