در این مطلب قصد داریم تا نحوه محاسبه خمیدگی توابع برداری را توضیح دهیم. البته گفتنی است قبل از مطالعه، بهتر است مطالب توابع برداری را مطالعه فرمایید.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

مقدمه

خمیدگی در حقیقت معادل با میزان تغییر جهت یک تابع برداری یا همان تابع پارامتری نسبت به پارامتر وابسته است. روابط زیادی به منظور بدست آوردن خمیدگی توابع پارامتری وجود دارد. با این حال تعریف کلی خمیدگی به صورت زیر است.

$$ \Large \kappa = \left | { \frac { { d \, \overrightarrow T } } { {d s } } } \right| $$

در رابطه فوق، s برابر با طول خم و $$ \large \overrightarrow T $$ نشان دهنده بردار مماس به خم است. همان‌طور که در مطلب توابع برداری نیز بیان شد، به منظور بدست آوردن خمیدگی یک تابع، در ابتدا باید، آن را به صورت پارامتری بیان کرده، سپس قادر خواهیم بود تا خمیدگی آن را محاسبه کنیم.

بدست آوردن خمیدگی با استفاده از تعریف کاری مشکل است. معمولا استفاده از دو فرمول زیر برای بدست آوردن خمیدگی مناسب هستند.

$$ \large \kappa = \frac{{\left\| {\overrightarrow T ^ {\prime} \left( t \right)} \right\|}}{{\left\| {\overrightarrow r ^ {\prime} \left( t \right)} \right\|}}\hspace{1.0in}\kappa = \frac{{\left\| {\overrightarrow r ^{ \prime } \left( t \right) \times \overrightarrow r ^{\prime\prime} \left( t \right)} \right\|}}{{{{\left\| {\overrightarrow r ^ {\prime} \left( t \right)} \right\|}^3}}} $$

در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که با استفاده از آن‌ها می‌توانید به موضوع مسلط شوید.

مثال ۱

خمیدگی منحنی زیر را بیابید.

$$ \Large \overrightarrow r \left ( t \right ) = \left \langle { t , 3 \sin t , 3 \cos t } \right \rangle $$

در ابتدا مشتق تابع برداری را نسبت به پارامتر t می‌یابیم. با انجام این کار خواهیم داشت.

$$ \Large \begin {align*} \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) & = \left \langle { 1 , 3 \cos t, – 3 \sin t } \right \rangle \\ \overrightarrow T \left ( t \right ) & = \left \langle { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 0 } } } ,\frac { 3 } { { \sqrt { 1 0} } } \cos t, – \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } \sin t } \right \rangle \end {align*} $$

در مرحله بعد مشتق بردار مماس به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \Large \overrightarrow T ^ {\prime} \left ( t \right ) = \left \langle { 0 , – \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } \sin t, – \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } \cos t } \right \rangle $$

از طرفی اندازه بردار‌های $$ \large r ^ { \prime } ( t ) $$ و $$ \large T ^ { \prime } ( t ) $$ برابرند با:

$$ \Large \begin {align*} \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\| & = \sqrt { 1 + 9 { { \cos } ^ 2 } t + 9 { { \sin } ^ 2 } t } = \sqrt { 1 0 } \\ \left\| { \overrightarrow T ^ {\prime} \left( t \right)} \right\| & = \sqrt {0 + \frac{9}{{10}} { { \sin } ^ 2 } t + \frac { 9 } { { 10} } { { \cos } ^ 2 } t } = \sqrt {\frac { 9 } { {10 } } } = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \end {align*} $$

در نهایت خمیدگی برابر می‌شود با:

$$ \Large \kappa = \frac { { \left\| {\overrightarrow T ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\|} } { { \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\|} } =\frac {\frac {3}{\sqrt{ 1 0 } } } {\sqrt{ 1 0 } } = \frac { 3 } { { 1 0 } } $$

همان‌طور که می‌بینید، در این حالت خمیدگی بدست آمده مقدار ثابتی است. این جمله به معنای آن است که خم با سرعت ثابتی تغییر جهت می‌دهد.

مثال ۲

میزان خمیدگی تابع برداری $$ \large \overrightarrow r \left ( t \right ) = { t ^ 2 } \, \overrightarrow i + t \, \overrightarrow k $$ را بدست آورید.

در این حالت استفاده از فرمول دوم مربوط به محاسبه خمیدگی آسان‌تر خواهد بود. برای استفاده از فرمول مذکور در ابتدا مشتقات اول و دوم را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$ \Large \overrightarrow r ^ { \prime } \left ( t \right ) = 2 t \, \overrightarrow i + \, \overrightarrow k \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \overrightarrow r ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) = 2 \, \overrightarrow i $$

در مرحله بعد ضرب خارجی دو بردار را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

$$ \Large \begin {align*} \overrightarrow r ^ { \prime } \left ( t \right ) \times \overrightarrow r ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) & = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c }} { \overrightarrow i } & { \overrightarrow j } & { \overrightarrow k } \\ { 2t } & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end {array} } \right|\,\,\,\,\,\begin {array} { * { 2 0 } { c } } { \overrightarrow i } &{ \overrightarrow j } \\ { 2 t } & 0 \\ 2 & 0 \end {array} \\ & = 2 \overrightarrow j \end{align*} $$

اندازه دو بردار بدست آمده در بالا برابرند با:

$$ \Large \left\| {\overrightarrow r^ {\prime}\left( t \right) \times \overrightarrow r ^ { \prime\prime } \left( t \right)} \right\| = 2 \ \ , \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\| = \sqrt { 4 { t ^ 2 } + 1 } $$

نهایتا میزان خمیدگی بدست آمده به ازای مقادیر مختلف t برابر است با:

$$ \Large \kappa = \frac { 2} { { { { \left( { 4 { t ^ 2 } + 1 } \right ) } ^ { \frac { 3} { 2 } } }}} $$

در برخی از موارد تابع (f(x داده شده و هدف محاسبه خمیدگی آن است. در چنین مواردی تابع برداری را به صورت زیر بیان می‌کنیم.

$$ \Large \overrightarrow r \left ( x \right ) = x \, \overrightarrow i + f \left ( x \right ) \overrightarrow j $$

در این موارد خمیدگی مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \Large \kappa = \frac { { \left| { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } \right|} } { { { { \left ( { 1 + { { \left[ { f ^ {\prime} \left ( x \right ) } \right]} ^ 2 } } \right)}^{\frac{3}{2}}}}} $$

مثال ۳

میزان خمیدگی تابع برداری زیر را بیابید.

$$ \Large \overrightarrow r\left( t \right) = \left\langle {\cos \left( {2t} \right), – \sin \left( {2t} \right),4t} \right\rangle $$

همان‌طور که در بالا بیان شد، به منظور محاسبه خمیدگی یک تابع می‌توان از دو فرمول استفاده کرد. در این مسئله استفاده از روش مبتنی بر ضرب خارجی زمان بر خواهد بود. بنابراین از روش بردار مماس استفاده می‌کنیم. در ابتدا بردار مماس را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$ \large \begin{array}{c}\overrightarrow r^ {\prime}\left( t \right) = \left\langle { – 2\sin \left( {2t} \right), – 2\cos \left( {2t} \right),4} \right\rangle \hspace{0.5in}\left\| {\overrightarrow r^ {\prime}\left( t \right)} \right\| = \sqrt {4{{\sin }^2}\left( {2t} \right) + 4{{\cos }^2}\left( {2t} \right) + 16} = \sqrt {20} = 2 \sqrt 5 \\ \overrightarrow T\left( t \right ) = \frac { 1 } { { 2 \sqrt 5 }}\left\langle { – 2\sin \left( {2 t } \right), – 2\cos \left( { 2 t } \right),4} \right\rangle = \left\langle { – \frac{{\sin \left( { 2 t } \right ) } } { { \sqrt 5 } }, – \frac{{\cos \left ( { 2 t } \right)}}{{\sqrt 5 }},\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \end{array} $$

نهایتا میزان خمیدگی این بردار برابر خواهد بود با:

$$ \Large \kappa = \frac { { \left\| { \overrightarrow T ^ { \prime } \left ( t \right ) } \right\|} } { { \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\|} } = \frac {\frac{2}{\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}} = { { \frac{ 1 } { 5 } } } $$

همان‌طور که می‌بینید در این حالت نیز خمیدگی به پارامتر وابسته نخواهد بود.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش خمیدگی توابع برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی خمیدگی توابع برداری

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از خمیدگی توابع برداری

دانلود ویدیو

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 6 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *