تقسیم چندجمله ای با افزایش توان – از صفر تا صد

یکی از انواع تقسیم‌ها که در جبر با آن مواجه هستیم، تقسیم چندجمله ای به یکدیگر است. پیش‌تر در وبلاگ فرادرس در مطلبی به‌طور اختصاصی نحوه تقسیم چندجمله‌ای‌ها را شرح دادیم. با این حال در این مطلب قصد داریم با به شیوه‌ای جدید، نحوه محاسبه تقسیم را توضیح داده و چند نمونه از کاربرد‌های آن را معرفی کنیم.

تقسیم اقلیدسی

به‌منظور بیان کردن روش افزایش توان، ابتدا به ساکن باید با مفهومی تحت عنوان تقسیم اقلیدسی آشنا باشید. تقسیم اقلیدسی بیان می‌کند که اگر دو چند‌جمله‌ای به یکدیگر تقسیم شوند،‌ در این صورت تقسیم را باید تا جایی ادامه داد که درجه باقیمانده از درجه مخرج کمتر شود.

در حقیقت فرض کنید می‌خواهیم چند‌جمله‌ای $$A$$ را به $$B \neq 0$$ تقسیم کنیم. در چنین مواردی اگر خارج قسمت برابر با $$Q$$ و باقیمانده برابرِ $$R$$ باشد، می‌توان گزاره زیر را بیان کرد:

$$\large \displaystyle A = B Q + R \ , \ \deg ( R ) < \deg ( B )$$

گزاره فوق نشان دهنده الگوریتمی است که مرتبا و تا جایی تکرار شده که درجه مخرج از صورت کمتر می‌شود. در ادامه به‌صورت قدم به قدم مثالی ارائه شده که با استفاده از آن تقسیم اقلیدسی را یادآوری می‌کنیم. فرض کنید می‌خواهیم حاصلِ $$\frac { X ^ 3 + 1 } { X + 1 }$$ را بدست آوریم. در این صورت، به ترتیب زیر عمل می‌کنیم.

قدم اول ( $$3$$ = درجه صورت): $$X ^ 3 + 1 = ( X + 1 ) ( X ^ 2 ) + ( - X ^ 2 + 1 )$$

قدم دوم ( $$2$$ = درجه صورت): $$- X ^ 2 + 1 = ( X + 1 ) ( - X ) + ( X + 1 )$$

قدم سوم ( $$1$$ = درجه صورت): $$X + 1 = ( X + 1 ) ( 1 ) + 0$$

تقسیم چندجمله ای با افزایش توان

روشی جایگزین نیز به‌منظور محاسبه تقسیم وجود دارد که بر خلاف تقسیم اقلیدسی با استفاده از افزایش توان انجام می‌شود.

قضیه: فرض کنید $$n \in \mathbb { N }$$ عددی ثابت بوده و $$B$$,$$A$$ نشان‌دهنده دو چند‌جمله‌ای در فضای $$K [ X ]$$ باشند. در این صورت می‌توان دو چند‌جمله‌ای در نظر گرفته شده را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\large A = a _ 0 + a _ 1 X + \cdots + a _ p X ^ p$$
$$\large B = b _ 0 + b _ 1 X + \cdots + c _ m X ^ m$$

با فرضِ $$b _ 0 \neq 0$$ ترکیبی منحصر‌ به‌ فرد از $$( Q , R )$$ در فضای $$K [ X ]$$ را می‌توان به نحوی یافت که دو گزاره زیر برقرار باشند.

$$\large \begin {cases} A = B Q + X ^ { n + 1 } R & \\ deg ( Q ) ≤ n & \end {cases}$$

اثبات: در ابتدا وجود داشتن ترکیبِ $$( Q , R )$$ را با استفاده از استقرا اثبات می‌کنیم. بدین منظور، $$P ( n )$$ را برابر با خاصیتی به ازای $$n \in \mathbb { N }$$ در نظر می‌گیریم.

حالتِ $$\mathcal { P } ( n = 0 )$$: خارج قسمت را به‌صورت $$Q = \frac {a _ 0 } { b _0 }$$ در نظر بگیرید. همچنین فرض بر این است که $$b_0 \ne 0$$، غیر صفر باشد. بنابراین عبارت $$A - B Q$$ ثابتی در خود نخواهد داشت. نهایتا می‌توان گفت باقیمانده $$R$$ به‌صورت زیر قابل بیان است:

$$\large R = \frac { A - B Q } { X }$$

در نتیجه می‌توان چند جمله‌ای $$A$$ را نیز به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\large A = B Q + X R$$

حالتِ $$P ( n + 1 )$$: در ابتدا نامساوی $$\mathcal { P } ( k \leq n )$$ را صادق در نظر بگیرید. در این صورت با فرض این‌که مرتبه $$A$$ برابر با $$n$$ باشد، چند‌جمله‌ای $$A$$ به شکل زیر قابل بیان است:

$$\large A = B Q + X ^ { n + 1 } R$$

توجه داشته باشید که مینیمم مقدار برای $$n$$ می‌تواند برابر با درجه $$Q$$ باشد ($$A = B Q + X ^ { n + 1 } R$$). بنابراین با توجه به صفر بودن مرتبه $$R$$، می‌توان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد :

$$\large R = \lambda B + X S$$

توجه داشته باشید که مرتبه $$\lambda$$ کمتر از $$n$$ است ($$\deg(\lambda) = 0 \leq n$$). حال $$R$$ را در $$A$$ قرار داده، در نتیجه به رابطه زیر خواهیم رسید.

$$\large A = B ( Q + \lambda X ^ { n + 1 } ) + X ^ { n + 2 } S$$

همچنین مینیمم مقدار $$n + 1$$ برابر است با:

$$\large \deg ( Q + \lambda X ^ { n + 1 } ) \leq n + 1$$

بنابراین خاصیت $$\mathcal { P } ( n + 1 )$$ با فرض خارج قسمتِ $$Q + \lambda X ^ { n + 1 }$$ و باقیمانده $$S$$ برقرار است. حال تصور کنید $$( Q , R )$$ و $$( Q ^ { \prime } , R ^ { \prime } )$$ دو پاسخ باشند. در این صورت ارتباط بین آن‌ها را می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد:

$$\large B ( Q - Q ^ { \prime } ) + X ^ { n + 1 } ( R - R ^ { \prime } ) = 0$$

توجه داشته باشید که مینیمم توان برای $$Q$$ و $$Q ^ { \prime }$$ برابر با $$n$$ است. در نتیجه می‌توان گفت که با توجه به این رابطه، $$X ^ { n + 1 }$$ باید به $$Q - Q ^ { \prime }$$ بخش‌پذیر باشد. با توجه به نامساویِ $$\deg ( Q - Q ^ { \prime } ) \leq n$$ باید $$Q - Q ^ { \prime } = 0$$ نیز برقرار باشد. در نتیجه $$R - R ^ { \prime } = 0$$ نیز برقرار خواهد بود.

بسط سری

تقسیم به روش افزایش توان می‌تواند در محاسبه بسط سری‌ها نیز تاثیرگذار باشد.

فیلم آموزش جبر خطی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

برای نمونه فرض کنید می‌خواهیم $$\tan x$$ را تا خطای مرتبه $$6$$ تقریب بزنیم. بدین منظور می‌توان این تابع را به‌ترتیب زیر بیان کرد:

1. $$\displaystyle \tan X = \frac { \sin X } { \cos X }$$
2. $$\displaystyle \tan X = \frac { X - \frac { X ^ 3 } { 6 } + \frac { X^ 5 } { 120 } + o ( X ^ 6 ) } { 1 - \frac { X ^ 2 } { 2 } + \frac { X ^ 4 } { 24 } + o ( X^5 ) }$$
3. $$X - \frac { X ^ 3 } { 6 } + \frac { X ^ 5 } { 120 } = \left ( 1 -\frac { X ^ 2 } { 2 } + \frac { X ^ 4 } { 24 } \right ) X + \left ( \frac { X ^ 3 }{ 3 } - \frac { X ^ 5 } { 30 } \right )$$
4. $$\frac { X ^ 3 } { 3 } - \frac { X ^ 5 } { 30 } = \left ( 1 - \frac { X ^ 2 } { 2 } + \frac { X ^ 4 } { 24 } \right ) \frac { X ^ 3 } { 3 } + \left( \frac { 2 X ^ 5 } { 15 } - \frac { X ^ 7 } { 72 } \right )$$
5. $$\frac { 2 X ^ 5 } { 15 } - \frac { X ^ 7 } { 72 } = \left ( 1 - \frac { X ^2 } { 2 } + \frac { X ^ 4 }{ 24 } \right ) \frac { 2 X ^ 5 } { 15 } + \left ( \frac { 19 X ^ 7 } { 360 } - \frac {X ^9} { 180} \right )$$

در نتیجه نهایتا تابع تانژانت برابر با چندجمله‌ای زیر بدست خواهد آمد.

$$\large \displaystyle \tan X = X + \frac { X ^ 3 } { 3 } + \frac { 2 X ^ 5 }{ 15 } + o ( X ^ 6 )$$

تجزیه کسر

روش افزایش توان می‌تواند در تجزیه کسر نیز کمک‌کننده باشد. برای نمونه کسر زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \displaystyle \frac { 1 + X } { X ^ 4 ( 1 + X ^ 2 ) }$$

در این صورت عبارت $$1+X$$ را می‌توان به ترتیبی که در ادامه آمده، به $$1 + X ^ 2$$ تقسیم کرد.

1. $$1 + X = ( 1 + X ^ 2 ) 1 + ( X - X ^ 2 )$$
2. $$X - X ^ 2 = ( 1 + X ^ 2 ) X + ( - X ^ 2 - X ^ 3 )$$
3. $$- X ^ 2 - X ^ 3 = ( 1 + X ^ 2 ) ( - X ^ 2 ) + ( - X ^ 3 + X ^ 4 )$$
4. $$- X ^ 3 + X ^ 4 = ( 1 + X ^ 2 ) ( - X ^ 3 ) + ( X ^ 4 + X ^ 5 )$$

بنابراین می‌توان کسر فوق را به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

$$\displaystyle 1 + X = \left ( 1 + X ^ 2 \right ) \left ( 1 + X -X ^ 2 -X ^ 3 \right ) + \left ( X ^ 4 + X ^ 5 \right )$$

$$\displaystyle \frac { 1 +X } { X ^ 4 ( 1 + X ^ 2 ) } = \frac { 1 + X -X ^ 2 -X ^ 3 } {X ^ 4 } + \frac { 1+ X } { 1 + X ^ 2 }$$

$$\displaystyle \frac { 1 +X } { X ^4 (1 +X ^ 2 ) } = \frac { 1 } { X ^ 4 } + \frac { 1} { X ^ 3 } - \frac { 1} { X ^ 2 } - \frac { 1 } { X } + \frac { 1 + X } { 1 + X ^ 2 }$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• تقسیم چند جمله‌ای‌ها — به زبان ساده
• ضرب ماتریس‌ها – به زبان ساده
• تعریف‌های ابتدایی جبر – به زبان ساده

^^