تقریب استرلینگ – به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد سری‌ها و نحوه تقریب زدن آن‌ها بحث کردیم. با این حال در این مطلب قصد داریم تا تقریبی تحت عنوان تقریب استرلینگ را توضیح دهیم که با استفاده از آن می‌توان سری‌هایی به‌شکل فاکتوریل را حدس زد.

در ریاضیات تقریب استرلینگ، به تقریبی گفته می‌شود که به‌منظور تخمین زدن فاکتوریل‌های بزرگ از آن استفاده می‌شود. این تقریب حتی برای مقادیر کوچک $$n$$ نیز مقدار دقیقی را ارائه می‌دهد. هم‌چنین این تقریب به یاد «جیمز استرلینگ» (James Stirling) به این اسم، نامگذاری شده است.

تقریب استرلینگ

تقریب استرلینگ بیان می‌کند که برای مقادیر بزرگ $$n$$ می‌توان از رابطه زیر به‌منظور محاسبه $$n !$$ استفاده کرد.

$$\large {\displaystyle \ln n ! = n \ln n - n + O ( \ln n ) }$$

البته با تغییر مبنای لگاریتم، می‌توان رابطه زیر را نیز بیان کرد:

$$\large {\displaystyle \log _ { 2 } n ! = n \log _ { 2 } n - n \log _ { 2 } e + O ( \log _ { 2 } n ) }$$

با خارج کردن رابطه فوق از حالت لگاریتمی، به عبارت زیر خواهیم رسید.

$$\large { \displaystyle n ! \sim { \sqrt { 2 \pi n } } \left ( { \frac { n }{ e } } \right ) ^ { n } }$$

توجه داشته باشید که علامت ~ نشان‌دهنده تقریبی بودن رابطه فوق است. البته در حالتی که $$n$$ به سمت بینهایت میل کند، عبارت فوق نیز به‌صورت تساوی در خواهد آمد. البته در هر مقداری از $$n$$، نامساوی زیر را نیز می‌توان بیان کرد:

$$\large { \displaystyle {\sqrt { 2 \pi } } \ n ^ { n + { \frac { 1 } { 2 } } } e ^ { - n } \leq n ! \leq e \ n ^ { n + { \frac { 1 } { 2 } } } e ^ { - n } }$$

اثبات

تقریب استرلینگ را می‌توان در ساده‌ترین حالت به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\large { \displaystyle \ln n ! = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \ln j }$$

حاصل جمع ارائه شده در سمت راست را می‌توان با استفاده از یک انتگرال در بازه بین $$1$$ تا $$n$$ بدست آورد.

$$\large { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n } \ln j \approx \int _ { 1 } ^ { n } \ln x \, { \rm { d } } x = n \ln n - n + 1 }$$

توجه داشته باشید که لگاریتم $$n !$$ برابر است با:

$$\large { \displaystyle \ln n ! = \ln 1 + \ln 2 + \cdots + \ln n }$$

عبارت $${ \displaystyle { \tfrac { 1 } { 2 } } ( \ln 1 + \ln n ) = { \tfrac { 1 }{ 2 } } \ln n }$$ را از لگاریتم طبیعی فوق کم می‌کنیم. در این صورت به عبارت زیر می‌رسیم.

$$\large { \displaystyle \ln n ! - { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln n \approx \int _ { 1 } ^ { n } \ln x \, { \rm { d } } x = n \ln n - n + 1 }$$

مقدار خطا در عبارت بالا را می‌توان با استفاده از فرمول اویلر-مک‌لورن بدست آورد.

$${ \displaystyle { \begin {aligned} \ln n ! - { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln n & = { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln ( n - 1 ) + { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln n \\ & = n \ln n - n + 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { m } { \frac { ( - 1 ) ^ { k} B _ { k } }‌ { k ( k - 1 ) } } \left ( { \frac { 1 } { n ^ { k-1 } } } - 1 \right ) + R _ { m , n } , \end{aligned} } }$$

در رابطه فوق $$B _ k$$ نشان‌دهنده عدد برنولی بوده و $$R { m , n }$$ مقدار باقیمانده است. در مرحله بعد از طرفین رابطه فوق حد می‌گیریم.

$${ \displaystyle \lim _ { n \to \infty } \left ( \ln n ! - n \ln n + n - { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln n \right ) = 1 - \sum _ { k = 2 } ^ { m } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } B _ { k } } { k ( k - 1 ) } } + \lim _ { n \to \infty } R _ { m , n } . }$$

بنابراین مقدار باقیمانده نیز برابر با عبارت زیر بدست خواهد آمد.

$$R _ { m , n } = \lim _ { n \to \infty } R _ { m , n } + O \left ( { \frac { 1 }{ n ^ { m } } } \right)$$

علامت $$O$$ نشان‌دهنده مرتبه جمله‌ای است که در پرانتز قرار گرفته است. با ترکیب کردن معادلات فوق، فرمول تقریب نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

$${ \displaystyle \ln n ! = n \ln \left ( { \frac { n } { e } } \right ) + { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln n + y + \sum _ { k = 2 } ^ { m } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } B _ { k } }{ k ( k - 1 ) n ^ { k - 1 } } } + O \left ( { \frac { 1 } { n ^ { m } } } \right ) }$$

پایه $$e$$ را به توان جملات فوق می‌رسانیم. در این صورت عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large n ! = e ^ { y } { \sqrt { n } } \left ( { \frac { n } { e } } \right ) ^ { n } \left ( 1 + O \left ( { \frac { 1 } { n } } \right ) \right)$$

مقدار $$e ^ y$$ را می‌توان با میل دادن $$n$$ به بینهایت به دست آورد. اندازه این مقدار به ازای $$m = 1$$ برابر با $$e ^ y = \sqrt {2 \pi }$$ است. در این صورت فرمول استرلینگ مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$\boxed { n ! = { \sqrt { 2 \pi n } } \left ( { \frac { n } { e } } \right ) ^ { n } \left ( 1 + O \left ( { \frac { 1 } { n } } \right ) \right)}$$

اثبات انجام شده در بالا به روش کلاسیک بود. اما می‌توان با استفاده از روشی جایگزین نیز این اثبات را انجام داد. در حقیقت می‌توان با استفاده از تابع گاما مقدار $$n !$$ را به‌صورت زیر بیان کرد:

$${ \displaystyle n ! = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { n } e ^{ -x } \, { \rm { d } } x }$$

انتگرال فوق را می‌توان با استفاده از روش تغییر متغیر‌‌ها، با استفاده از تغییر متغیر $$x = n y$$ بدست آورد. در این صورت انتگرال فوق را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.

$${ \displaystyle n ! = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { n \ln x - x } \, { \rm { d } }x = e ^ { n \ln n } n \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { n ( \ln y - y ) } \, { \rm { d } } y }$$

با استفاده از لاپلاس می‌توان از تقریب زیر نیز به‌منظور محاسبه رابطه فوق استفاده کرد.

$${ \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { n ( \ln y - y ) } \, { \rm { d } } y \sim { \sqrt { \frac { 2 \pi } {‌n } } } e ^ { - n } }$$

نهایتا استفاده از تقریب فوق منجر به تقریب لاپلاس می‌شود.

$$n ! \sim e ^ { n \ln n } n { \sqrt { \frac { 2 \pi } { n } } } e ^ { - n } = { \sqrt { 2 \pi n } } \left ( { \frac { n } { e } } \right ) ^ { n }$$

در حقیقت می‌توان با استفاده از لاپلاس به تقریب‌های بالاتر نیز دست یافت. برای نمونه بسط مرتبه دوم با استفاده از لاپلاس به‌صورت زیر بدست می‌آید.

$${ \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { n ( \ln y - y ) } \, { \rm { d } } y \sim { \sqrt { \left ( \frac { 2 \pi } { n } \right ) } } e ^ { - n } \left ( 1 + { \frac { 1 }{ 12 n } } \right ) }$$

در این صورت تقریب لاپلاس نیز برای مرتبه دوم، برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$n ! \sim e ^ { n \ln n } n { \sqrt { \frac { 2 \pi } { n } } } e ^ { - n } \left ( 1 +{ \frac { 1 } { 12 n } } \right ) = { \sqrt { 2 \pi n } } \left ( { \frac { n }{ e} } \right ) ^ { n } \left ( 1 + { \frac { 1 } { 12 n } } \right )$$

سرعت همگرایی و تقریب خطا

فرمول استرلینگ در حقیقت تقریب مرتبه اول سری زیر است (در این‌‌جا به آن سری استرلینگ می‌گوییم).

$${ \displaystyle n ! \sim { \sqrt { 2 \pi n } } \left ( { \frac { n }{ e} } \right ) ^ { n } \left ( 1 + { \frac { 1 } { 12 n } } + { \frac { 1 } { 288 n ^ { 2 } } } - { \frac { 139 } { 51840 n ^ { 3 } } } - { \frac { 571 } { 2488320 n ^ { 4} } } + \cdots \right) }$$

نمودار زیر نشان‌دهنده میزان خطا به ازای مقادیر مختلف $$n$$ است.

با میل کردن مقدار $$n$$ به سمت بینهایت، مقدار خطا در سری را می‌توان تنها با جمله اول تقریب زد. جمله باقیمانده نمونه‌ای از یک بسط مجانبی محسوب می‌شود. توجه داشته باشید که این سری همگرا نیست. به ازای هر مقداری از $$n$$ می‌توان از بینهایت عبارت به‌منظور افزایش دقت سری استفاده کرد. تا عددی مشخص، دقت سری افزایش یافته و پس از آن با افزایش جملات، مقدار خطا نیز افزایش می‌یابد. در شکل زیر مقدار خطا به ازای مقادیر مختلف $$n$$ نشان داده شده است.

به‌طور دقیق‌تر فرض کنید $$S ( n , t )$$ سری‌هایی با $$t$$ عبارت بوده که در $$n$$ محاسبه شده است. نمودار فوق نشان‌دهنده قدرمطلق زیر است.

$$\left | \ln \left ( { \frac { S ( n , t ) } { n ! } } \right ) \right|$$

فرمول استرلینگ برای تابع گاما

در ریاضیات تابعی تحت گاما ($$\Gamma$$) داریم که به‌صورت زیر تعریف می‌شود. البته در آینده به‌طور مجزا در مورد تابع گاما صحبت خواهیم کرد.

$$\large { \displaystyle \Gamma ( n ) = ( n - 1 ) ! \ }$$

فیلم آموزش ترمودینامیک آماری ۱ – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به تعریف فوق، مقدار فاکتوریل را می‌توان به‌صورت زیر، بر حسب تابع گاما بیان کرد:

$$\large n ! = \Gamma ( n + 1 )$$

البته برخلاف فاکتوریل، تابع گاما معمولا برای اعداد مختلط تعریف می‌شود. با فرض این‌که بخش حقیقی $$z$$ مثبت باشد، می‌توان لگاریتم طبیعی را به‌صورت زیر بیان کرد:

$${ \displaystyle \ln \Gamma ( z ) = z \ln z - z + { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi } { z } } + \int _ { 0 }^ { \infty } { \frac { 2 \arctan \left ( { \frac { t } { z } } \right ) } { e ^ { 2 \pi t } - 1 } } \, { \rm { d } } t }$$

با انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء، عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large { \displaystyle \ln \Gamma ( z ) \sim z \ln z - z + { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi } { z } } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } { \frac { B _ { 2 n } } { 2 n ( 2 n - 1 ) z ^ {2 n-1 } } } }‌$$

در رابطه فوق $$B _ n$$ عدد برنولی با مرتبه $$n$$ است. رابطه فوق برای $$z$$، زمانی درست است که اندازه آن به مقدار کافی بزرگ بوده و آرگومان یا زاویه آن نیز در کمتر از مقدار زیر باشد.

$$\large | \arg ( z ) | < π − ε$$

از طرفی $$ε$$ مقداری مثبت بوده و خطای آن نیز از مرتبه $$O ( z ^ { − 2 N + 1 } )$$ است. در این صورت تابع گامای مرتبط با این خطا، مطابق با رابطه زیر بدست می‌‌آید.

$${ \displaystyle \Gamma ( z ) = { \sqrt { \frac { 2 \pi } { z } } } \, { \left ( { \frac { z } { e } } \right ) } ^ { z } \left ( 1 + O \left ( { \frac { 1 } { z } } \right ) \right) }$$

دیگر کاربردهای بسط مجانبی نیز مربوط به اعداد مختلطی است که مقادیر حقیقی $$z$$ ثابت هستند ($$Re ( z ) = c t e$$). به ازای هر عدد طبیعی $$N$$ می‌توان تقریب استرلینگ را به‌صورت زیر نوشت.

$${ \displaystyle \ln \Gamma ( z ) = z \ln z - z + { \tfrac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi }{ z } } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ { N - 1 } { \frac { B _ { 2 n } } { 2 n \left ( { 2 n - 1 } \right ) z ^ { 2 n -1 } } } + R _ { N } ( z ) }$$

از طرفی تابع گاما را نیز مطابق با رابطه زیر بدست آوردیم.

$${ \displaystyle \Gamma ( z ) = { \sqrt { \frac { 2 \pi } { z } } } \left({\frac {z}{e}}\right ) ^ {z } \left({\sum \limits _ { n = 0 } ^ { N- 1 }{\frac { a _ { n }} {z ^ { n }} } + { \widetilde { R } } _ { N } ( z ) } \right) }$$

برای تابع گاما و تقریب بیان شده در بالا،‌ مقادیر خطا برابرند با:

$${ \displaystyle { \begin {aligned}| R _ { N } ( z ) | & \leq { \frac { |B _ { 2 N } |} { 2 N ( 2 N - 1 ) | z | ^ { 2 N - 1 } } } { \begin {cases} 1 & { \text { if }}|\arg z|\leq {\frac {\pi }{4}},\\|\csc(\arg z)|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<|\arg z|<{\frac {\pi }{2}},\\\sec ^{2N}\left({\tfrac {\arg z } { 2 } } \right)&{\text{ if }}|\arg z|<\pi ,\end {cases}}\\[6pt]\left|{\widetilde { R } } _ { N } ( z ) \right|&\leq \left({\frac {\left|a _ { N } \right| } { |z| ^ { N } } } + { \frac {\left|a_{N+1}\right|}{|z| ^ { N + 1 } } } \right ) { \begin {cases}1&{\text{ if }}|\arg z|\leq {\frac {\pi } { 4 } } ,\\|\csc(\arg z)|&{\text { if }}{\frac {\pi }{4}}<|\arg z| < { \frac {\pi } { 2 } }.\end {cases} }\end {aligned} } }$$

در مطلبی در آینده در مورد تابع گاما بیشتر صحبت خواهیم کرد. توجه داشته باشید که با استفاده از تابع گاما می‌توان روش‌هایی را به‌منظور همگرا کردن تقریب استرلینگ ارائه کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تابع گرین — به زبان ساده
• انتگرال دوگانه روی سطوح عمومی — از صفر تا صد
• ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع دو متغیره — به زبان ساده

^^