تصاعد حسابی — به زبان ساده

در این مطلب قصد داریم تا مفهومی بسیار مهم در ریاضیات،‌ تحت عنوان «تصاعد حسابی» (Arithmetic Sequence) را توضیح دهیم. در ابتدا فرض کنید می‌خواهید حاصل ‌جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ را بدست آورید.

به نظر شما اگر بخواهید این عمل را دستی -یا حتی با ماشین حساب- انجام دهید، چقدر وقت نیاز خواهید داشت؟ بدیهی است که عمل مذکور بسیار زمان‌بر خواهد بود؛‌ اما با استفاده از مفهوم تصاعد حسابی می‌توانید این کار را به آسانی و حتی به‌صورت ذهنی انجام دهید! در انتهای این مطلب به این سوال پاسخ خواهیم داد. جهت یادگیری تصاعد حسابی در ابتدا نیاز است تا با مفهومِ‌ دنباله آشنا باشید.

دنباله

یک دنباله به مجموعه‌ای از اشیاء (معمولا اعداد) اطلاق شده که در بیشترِ مواقع با نظم مشخصی بیان می‌شوند.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در زیر نمونه‌ای از یک دنباله نشان داده شده است.

به هرکدام از اعداد ارائه شده در بالا، جمله -یا تِرم- گفته می‌شود. برای نمونه دنباله فیبوناچی به مجموعه‌ای از اعداد اطلاق می‌شود که از ویژگی‌های شگفت‌انگیزی برخوردار است.

تصاعد حسابی

تصاعد حسابی، دنباله‌ای است که فاصله بین اعداد آن، مقداری ثابت است. برای ساختن دنباله‌ای حسابی، در ابتدا عددی در نظر گرفته و عدد مشخصی را به آن اضافه کنید. برای نمونه اگر عدد اولیه برابر با ۱ و مقدار ثابت اضافه شده، برابر با ۳ باشد، تصاعد حسابی مرتبط با آن به‌صورت زیر در خواهد آمد.

همان‌طور که در دنباله بالا نیز می‌بینید هرکدام از جملات به اندازه‌ی ۳ افزایش یافته.

بنابراین یک تصاعد حسابی را می‌توان به شکلی عمومی، به‌صورت زیر بیان کرد:

اجزاء رابطه بالا برابرند با:

• a: جمله‌ی اول تصاعد
• d: اختلاف میان دو جمله‌ی متوالیِ تصاعد که معمولا آن را تحت عنوان قدرِ نسبت می‌شناسند.

مثال ۱

ثابت‌های a و d را در دنباله‌ی زیر مشخص کنید.

فیلم آموزش ریاضیات گسسته – جامع و به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

جمله‌ی اول دنباله بالا برابر با ۱ بوده که همان a محسوب می‌شود. از طرفی فاصله هر دو جمله از دنباله فوق برابر با ۳ بوده که نشان دهنده d=3 است. در زیر الگوی جملات دنباله مفروض نشان داده شده است.

فرمول عمومی دنباله حسابی

یک دنباله حسابی را می‌توان در قالب فرمول زیر بیان کرد:

در رابطه فوق a و d به‌ترتیب نشان دهنده جمله اول و قدرنسبت هستند. هم‌چنین عدد n نشان دهنده شماره جمله است. توجه داشته باشید که دلیل استفاده از n-1 این است که در جمله اول از قدرنسبت استفاده نمی‌شود.

مثال ۲

رابطه عمومی دنباله زیر را به‌دست آورده و جمله نهم را نیز محاسبه کنید.

مطابق با شکل زیر، اختلاف هر دو جمله از سری بالا برابر با ۵ است.

در حقیقت قدر نسبت دنباله فوق برابر با ۵ و جمله اول آن نیز ۳ است. از این رو با استفاده از رابطه ۱ و جایگذاری a و d در آن، رابطه عمومی دنباله فوق به‌صورت زیر بدست می‌آید.

با استفاده از رابطه فوق، جمله‌ی نهم برابر با عدد زیر بدست می‌آید.

حاصل جمع جملات

یکی از کاربرد‌های مهم تصاعد حسابی، محاسبه حاصل جمع اعدادی است که شاید محاسبه دستی آن‌ها زمان‌گیر و سخت باشند.

در ابتدا دنباله‌‌ای حسابی را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

حاصل جمع جملات اول تا nام را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

علامت $$\sum$$ در رابطه بالا نشان دهنده حاصل جمع است. استفاده از این نماد مطابق با الگوی زیر است.

رابطه بالا به‌صورت "حاصل جمع n، زمانی که n از ۱ تا ۴ تغییر کند"، خوانده می‌شود.

مثال ۳

حاصل جمع ۱۰ جمله‌ی اول دنباله زیر را بیابید.

مقادیر d ،a و n برابرند با:

• a=1
• d=3
• n=10

با جایگذاری مقادیر فوق در رابطه ۲ حاصل جمع ۱۰ جمله اول برابر است با:

حال قصد داریم تا چالشی را پاسخ دهیم که در ابتدای این مطلب ذکر شد. فرض کنید می‌خواهید حاصل جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ را بدست آورید. برای انجام این کار دنباله‌ای را ‌به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

در دنباله فوق a=1 و d نیز برابر با ۱ است. جهت بدست آوردن حاصل جمع ۱۰۰ جمله‌ی اول، n=100 را در رابطه ۲ قرار داده و حاصل جمع را همان‌گونه که در زیر نشان داده شده بدست می‌آوریم.

اثبات فرمول محاسبه حاصل جمع

شاید این سوال در ذهن شما مطرح شده باشد که چرا رابطه ۲ درست کار می‌کند؟ جهت اثبات رابطه مذکور، جملات دنباله را در دو حالتِ زیر می‌نویسیم:

این جملات را می‌توان از آخر به ابتدا نیز نوشت:

فیلم آموزش ریاضی و آمار 3 – پایه دوازدهم علوم انسانی در فرادرس

کلیک کنید

حال طرفین دو رابطه بالا را به‌صورت زیر جمع می‌زنیم.

نکته جالب در حاصل جمع بدست آمده در بالا این است که تمامی مقادیرِ 2S با هم‌ برابر هستند. هم‌چنین تعداد این جملات نیز همان n است. در نتیجه حاصل 2S برابر است با:

با تقسیم کردن طرفین رابطه بالا به ۲، مقدار S برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

عبارت بالا نیز در حقیقت همان رابطه ۲ را نشان می‌دهد؛ در نتیجه رابطه مذکور صحیح است. نمونه‌ای دیگر از تصاعد تحت عنوان تصاعد هندسی نیز وجود دارد که در آن هر دو جمله متوالی ضریب ثابتی از یکدیگر هستند. در مطلبی به‌صورت مجزا این مفهوم را نیز تشریح خواهیم کرد.