ب م م یا بزرگترین مقسوم علیه مشترک چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، درباره تجزیه اعداد به عوامل اول بحث کردیم. همچنین با مفهوم و نحوه محاسبه کوچکترین مضرب مشترک یا ک م م آشنا شدیم. در این آموزش از مجله فرادرس، مفهوم «بزرگترین مقسوم علیه مشترک» (Greatest Common Divisor) یا ب م م یا GCD و نحوه به دست آوردن آن را بررسی می‌کنیم.

مقسوم علیه یا عامل چیست؟

مقسومٌ‌ علَیه یا عامل، در ریاضیات به معنای عددی است که عددی دیگر بر آن تقسیم شده است.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

به عبارت دیگر، عامل‌ها اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را در یکدیگر ضرب کرد و عدد دیگری را به‌ دست آورد. برای مثال، عامل‌های عدد ۶ به صورت زیر هستند:

هر عدد، مقسوم علیه‌های مختلفی دارد. برای مثال، مقسوم علیه‌های عدد ۱۲، اعداد 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند. زیرا:

۶ × 2 = 12 یا 3 × ۴ = 12 یا ۱۲ × ۱ = 12

بزرگترین مقسوم علیه مشترک چیست؟

مقسوم علیه‌های مشترک چند عدد، مقسوم علیه‌ها یا عواملی هستند که در هر دو عدد مشترک باشند.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

بزرگترین مقسوم علیه مشترک نیز، همان‌ گونه که از نامش پیداست، بزرگترین عدد بین مقسوم‌ علیه‌های مشترک دو عدد است.

مثال ۱

برای مثال، مقسوم علیه‌های دو عدد 12 و 30 را می‌توان به صورت زیر فهرست کرد:

• مقسوم علیه‌های ۱۲: 1، 2، 3، 4، 6 و 12.
• مقسوم علیه‌های 30: 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15 و 30.

همان‌طور که می‌بینیم، اعداد 1، 2، 3 و 6 در فهرست مقسوم علیه‌های هر دو عدد وجود دارند. بنابراین، مقسوم علیه‌های مشترک 12 و 30، اعداد 1، 2، 3 و 6 هستند. بزرگترین این اعداد، عدد ۶ است.

مثال ۲

یک مثال دیگر را برای سه عدد بررسی می‌کنیم. سه عدد 15، 30 و 105 را در نظر بگیرید.می‌خواهیم مقسوم علیه‌های مشترک آن‌ها را به دست آوریم.

• مقسوم علیه‌های عدد 15: 1، 3، 5 و 15.
• مقسوم علیه‌های عدد 30: 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15 و 30.
• مقسوم علیه‌های عدد 105: 1، 3، 5، 7، 15، 21، 35 و 105.

همان‌طور که می‌بینیم، مقسوم علیه‌های مشترک، اعداد 1، 3، 5 و 15 هستند و بزرگترین آن ها ۱۵ است.

کاربرد مقسوم علیه مشترک چیست؟

اگر به مثال قبل دقت کنیم، می‌بینیم که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 15، 30 و 105، عدد 15 است. اما کاربرد این عدد چیست؟ یکی از مهمترین کاربردهای بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک، ساده کردن کسر است.

برای مثال، کسر $$\frac{12}{30}$$ را در نظر بگیرید. چگونه می‌توانیم این کسر را ساده کنیم؟ قبلاً مقسوم‌ علیه‌های دو عدد 12 و 30 را به‌دست آوردیم که اعداد 1، 2، 3 و ۶ بودند و گفتیم که بزرگترین مقسوم‌ علیه مشترک دو عدد، 6 است.

بنابراین، بزرگترین عددی که می‌توانیم هر دو عدد 12 و 30 را بر آن تقسیم کنیم، 6 خواهد بود:

همان‌طور که می‌بینیم، کسر $$\frac {12} {30}$$ به کسر $$\frac {2}{5}$$ ساده می‌شود.

محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک

برای محاسبه ب م م دو راه وجود دارد.

روش اول

• همه مقسوم علیه‌های دو عدد مورد نظر را به‌ دست می‌آوریم.
• پس از آن، مقسوم علیه‌های مشترک را انتخاب می‌کنیم.
• در نهایت بزرگترین مقسوم علیه مشترک را تعیین می‌کنیم.

با یک مثال شروع می‌کنیم. می‌خواهیم بزرگترین مقسوم‌ علیه مشترک دو عدد ۱۲ و ۱۶ را بنویسیم.

ابتدا عوامل یا همان مقسوم‌علیه‌های هر عدد را به‌ دست می‌آوریم. پس از آن، دور عوامل مشترک یک دایره می‌کشیم. در نهایت، از بین عوامل مشخص‌ شده، بزرگترین را انتخاب می‌کنیم.

جداول زیر، مثال‌هایی از این روش را برای اعداد ۹ و ۱۲ و نیز اعداد ۶ و ۱۶ نشان می‌دهد.

روش دوم

می‌توانیم اعداد را به عوامل اول تجزیه کرده و مشترکات آن‌ها را با هم ترکیب کنیم. جدول زیر، استفاده از این روش را نشان می‌دهد.