اصل خوش ترتیبی در نظریه اعداد — به زبان ساده

در «نظریه اعداد» (Number Theory) «اصل خوش ترتیبی» (Well-Ordering Principle)، به عنوان یک قانون برای مجموعه اعداد طبیعی (Natural Numbers) در نظر گرفته می‌شود. این اصل کارگشای بسیاری از قضیه‌ها و حل مسائلی است که در نظریه اعداد و مجموعه‌ها (مانند مجموعه‌ها متناهی و نامتناهی) به کار گرفته می‌شوند.

در این نوشتار قصد داریم در مورد اصل خوش‌ترتیبی و همچنین «قضیه خوش‌ترتیبی» (Well-Ordered Theorem) و تفاوت‌های آن‌ها، نکاتی را شرح دهیم.

به منظور آشنایی بیشتر با اصطلاحات به کار رفته در این نوشتار بهتر است مطالب اعداد طبیعی — به زبان ساده و نظریه اعداد و کاربردهای آن — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن مطالب مجموعه متناهی و نامتناهی --- به زبان ساده و الگوها و دنباله های متداول عددی – به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

اصل خوش ترتیبی در نظریه اعداد

در ریاضیات، اصل خوش ترتیبی (Well-Ordering Principle) مربوط به مجموعه اعداد طبیعی است. این اصل بیان می‌کند که برای هر زیر مجموعه ناتهی از اعداد طبیعی (صحیح مثبت) حتما یک عضو کوچکتر از اعضای دیگر یافت می‌شود.

فیلم آموزش مبانی منطق و نظریه مجموعه ها در فرادرس

کلیک کنید

به بیان دیگر این اصل مشخص می‌کند که یک رابطه ترتیبی بین مقادیر اعداد طبیعی وجود دارد. بنابراین اگر $$x$$ و $$y$$ دو عدد طبیعی باشند حتما یکی از رابطه‌های زیر برایشان صادق است.

$$\large \forall x  , y \in N , \;\; x = y, \;\; x y$$

به این ترتیب می‌توان $$x < y$$، حتما می‌توان $$y$$ را از جمع $$x$$ با بعضی از مقادیر دیگر از اعداد طبیعی بدست آورد.

برای مثال اگر $$x$$ برابر با ۱ باشد، آنگاه $$y$$‌ می‌تواند همه مقادیر بزرگتر را اختیار کند.

نکته: گاهی اصل خوش ترتیبی را براساس مجموعه اعداد صحیح (Integer Numbers) مشخص می‌کنند و می‌گویند، مجموعه اعداد صحیح، شامل یک زیرمجموعه خوش ترتیب است که اعداد طبیعی نامیده می‌شود، زیرا هر زیرمجموعه غیرتهی از آن دارای کوچکترین عضو است.

اصل خوش ترتیبی و کاربردهای آن

با توجه به حوزه مختلف علوم ریاضی، گاهی وجود کوچکترین عضو در مجموعه اعداد طبیعی، به صورت یک اصل و گاهی به صورت یک قضیه معرفی می‌شود.

• در «حساب پیانو» (Peano Arithmetic) و سیستم‌های وابسته، اصلی خوش‌ترتیبی از طریق «اصل استقرا» (Mathematical Induction) ریاضی اثبات می‌شود. واضح است که در این حالت اصل خوش‌ترتیبی، یک قضیه محسوب خواهد شد.
• اعداد طبیعی را به عنوان یک زیرمجموعه از اعداد حقیقی در نظر بگیرید. اگر قبول کنیم که مجموعه اعداد حقیقی، کامل (Complete) هستند، آنگاه مشخص می‌شود که هر مجموعه کراندار (از پایین) اعداد حقیقی، دارای یک نقطه به عنوان بزرگترین کران پایین (Infimum) است. به این ترتیب هر زیرمجموعه از اعداد طبیعی مثل $$A$$ دارای چنین کرانی خواهد بود که آن را $$a^*$$ می‌نامیم. به این ترتیب می‌توانیم برای هر $$a^*$$ یک $$n^*$$ پیدا کنیم که بازه $$(n^* -1 , n^*]$$ که شامل $$a^*$$ باشد. در نهایت با قرار دادن $$n^*=a^*$$ ثابت می‌شود که $$n^*$$‌ در مجموعه $$A$$‌ است. بنابراین قضیه خوش ترتیبی اثبات خواهد شد.

نکته: «اصل موضوع کمال» (Completeness Axiom) که گاهی به آن کامل بودن نیز گفته می‌شود، بیان می‌دارد که یک مجموعه، زمانی کامل است که دارای بزرگترین کران پایین (Infimum) باشد.

• در رویکرد اصول‌گرای نظریه مجموعه‌ها، مجموعه اعداد طبیعی به عنوان کوچکترین مجموعه استقرایی در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب اصل خوش‌ترتیبی را به کمک استقرا می‌توان اثبات کرد. زیرا طبق استقرا، خوش‌ترتیبی مجموعه $$\{0,1,\ldots, n\}$$، فرض شده، سپس این خاصیت به مجموعه اعداد طبیعی نسبت داده می‌شود.

قضیه خوش ترتیبی در نظریه اعداد

در ریاضیات و بخصوص نظریه اعداد، «قضیه زرملو» (Zermelo's Theorem) یا همان «قضیه خوش‌ترتیبی» (Well-ordering Theorem)، بیان می‌کند که هر مجموعه را می‌توان به کمک یک رابطه ترتیبی، خوش‌ترتیب (Well-ordered) کرد.

فیلم آموزش مقدماتی نظریه اعداد – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

قضیه خوش‌ترتیبی: مجموعه $$X$$ را خوش‌ترتیب براساس یک رابطه «ترتیب کلی اکید» (Strict Total Order) -در مقابل «ترتیب جزئی» (Partial Ordered)- گویند اگر هر زیر مجموعه ناتهی از $$X$$ دارای کوچکترین عضو باشد.

قضیه خوش‌ترتیبی یکی از قضیه‌های پایه در ریاضیات محسوب شده که هم‌ارز با «اصل موضوع انتخاب» (Axiom of Choice) است که به اختصار AC‌ خوانده می‌شود.

ریاضی‌دان آلمانی، «فردریش زرملو» (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo)، اولین بار اصل موضوع انتخاب (AC) را به عنوان یک «اصل غیرقابل اغماض» (Unobjectionable Logical Principle) برای اثبات قضیه خوش‌ترتیبی معرفی کرد. بر این اساس می‌توان نشان داد که برای هر مجموعه‌ای، امکان استفاده از «استقرا ترامتناهی» (Transfinite Induction) وجود دارد.

نکته: استقرایی ترامتناهی، حالت تعمیم یافته استقرای ریاضی است که برای مجموعه‌های خوش‌ترتیب به کار می‌رود.

«جورج کانتور» (George Cantor) یا به قولی «گئورگ کانتور» قضیه خوش‌ترتیبی را به عنوان اصل پایه‌ای تفکر و اندیشه ریاضی دانسته است. هر چند نمایش تصویری و تصویر خوش‌ترتیب بودن مجموعه اعداد حقیقی، بسیار سخت و مشکل است ولی می‌توان آن را به کمک اصل موضوع انتخاب نشان داد. در سال ۱۹۰۴ دانشمند و ریاضیدان مجارستانی «گیولا کونیگ» (Gyula Konig) نشان داد که بدون اصل موضوع انتخاب نمی‌توان قضیه خوش‌ترتیبی را اثبات کرد و همچنین بدون اصل خوش‌ترتیبی، اصل موضوع انتخاب نیز قابل اثبات نیست.

از طرفی «فلیکس هاسدورف» (Felix Hausdorff) بیان کرد که قضیه خوش‌ترتیبی، معادل و هم ارز اصل موضوع انتخاب است. به این ترتیب به کمک اصول «زرملو-فرانکل» (Zermelo-Fraenkel Axioms)، می‌توان یکی را برحسب دیگری بدست آورد.

توجه داشته باشید که قضیه خوش‌ترتیبی از اصل موضوع انتخاب قوی‌تر است به این معنی که بدون اصول «زرملو-فرانکل» می‌توان از قضیه خوش‌ترتیبی به اصل موضوع انتخاب رسید ولی بدون آن امکان استنتاج قضیه خوش‌ترتیبی از اصل موضوع انتخاب وجود ندارد.

اثبات اصل موضوع انتخاب بوسیله قضیه خوش ترتیبی

در این قسمت اصل موضوع انتخاب را به کمک قضیه خوش‌ترتیبی اثبات می‌کنیم.

برای ایجاد یک «تابع انتخاب» (Choice Function) از یک کلاس از مجموعه‌های ناتهی مثل $$E$$ استفاده کرده و اجتماع مجموعه‌های درون $$E$$ را $$X$$ می‌نامیم. فرض کنید که مجموعه $$X$$ خوش‌ترتیب است. رابطه ترتیبی را در اینجا $$r$$ در نظر بگیرید.

تابعی که به هر یک از اعضای مجموعه $$E$$ مثل $$S$$، کمترین مقدار $$S$$ را نسبت می‌دهد به عنوان $$r$$ در نظر بگیرید. به این ترتیب چنین تابعی را به عنوان تابع انتخاب روی مجموعه $$E$$‌ محسوب می‌کنیم.

نکته اصلی در این اثبات، آن است که فقط یک انتخاب دلخواه، به نام $$r$$ را ارائه می‌دهد و نمی‌تواند برای هر عضوی از $$E$$ مثل $$S$$ طبق قضیه خوش‌ترتیبی یک رابطه را مشخص کند. به این ترتیب قضیه خوش‌ترتیبی، فقط وجود یک رابطه ترتیبی را تعیین کرده ولی باید به یاد داشت که انتخاب یک ترتیب برای هر یک از اعضای مجموعه $$E$$ به راحتی میسر نیست.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با اصل خوش ترتیبی و همچنین قضیه خوش ترتیبی در نظریه اعداد آشنا شدیم و نشان دادیم که پایه و اساس بسیاری از قضیه‌ها، اصل خوش ترتیبی است. همانطور که در این متن خواندید، این اصل و قضیه همراه آن در تعریف و حتی اثبات بسیاری از قضیه‌های پایه و اساسی ریاضیات نقش مهمی دارند و کاربردهای بسیاری نیز در علوم دیگر برای آن‌ها می‌توان متصور شد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالبی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• آموزش ریاضیات مهندسی
• تقسیم عدد صحیح — به زبان ساده
• الگوریتم تقسیم اعداد — از صفر تا صد
• قواعد بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده

^^