مساحت ربع دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

مساحت ربع دایره برابر یک چهارم مساحت دایره کامل است. مساحت دایره کامل توسط فرمول «شعاع × شعاع × عدد پی» محاسبه می‌شود. در این مطلب، به معرفی فرمول مساحت ربع دایره به همراه حل چندین مثال متنوع و کاربردی می‌پردازیم.

ربع دایره چیست ؟

ربع دایره، یک چهارم دایره کامل است. یک دایره کامل و قطر آن را رسم کنید. سپس، یک قطر دیگر را عمود بر قطر اول بکشید تا شکلی مشابه تصویر زیر ایجاد شود. به این ترتیب، دایره به چهار قسمت مساوی تقسیم می‌شود. این چهار قسمت را از یکدیگر جدا کنید.

هر کدام از شکل‌های جدا شده در تصویر بالا، یک ربع دایره را نمایش می‌دهند. ربع دایره، یکی از قطاع‌های دایره محسوب می‌شود.

مساحت ربع دایره چیست؟

مساحت ربع دایره، اندازه سطح آن است. ربع دایره، از تقسیم دایره کامل به چهار قسمت مساوی ساخته می‌شود.

به همین دلیل، مساحت آن برابر یک چهارم مساحت دایره کامل است.

مساحت ربع دایره، نسبتی از مساحت دایره کامل است. از این‌رو، به منظور محاسبه مساحت ربع دایره، ابتدا باید با نحوه محاسبه مساحت دایره کامل آشنا شوید.

مساحت دایره چگونه بدست می‌آید؟

مساحت دایره، با استفاده از شعاع یا قطر دایره و عدد پی به دست می‌آید. عدد پی، نشان‌دهنده نسبت محیط به قطر دایره و همواره برابر 3/14 است. فرمول مساحت دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت دایره

عبارت جبری مساحت دایره بر اساس شعاع نیز برابر است با:

$$
A = \pi r^2
$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3/14
• r: شعاع دایره

مساحت ربع دایره چگونه بدست می آید ؟

مساحت ربع دایره، یک چهارم مساحت دایره کامل است. در نتیجه، می‌توانیم فرمول این مساحت را به صورت زیر بنویسیم:

4 ÷ مساحت دایره کامل = مساحت ربع دایره

4 ÷ (شعاع × شعاع × شعاع × 3/14) = مساحت ربع دایره

مثال 1: محاسبه مساحت طاقچه شیشه ای

تصویر زیر، یک طاقچه شیشه‌ای به شکل ربع دایره را نمایش می‌دهد. اگر اندازه ضلع این طاقچه برابر 20 سانتی‌متر باشد، اندازه سطح آن چقدر است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

اندازه ضلع طاقچه بالا، همان شعاع ربع دایره است. برای محاسبه اندازه سطح، رابطه مساحت ربع دایره را می‌نویسیم:

4 ÷ مساحت دایره کامل = مساحت ربع دایره

مساحت دایره کامل به شعاع 20 سانتی‌متر از فرمول زیر به دست می‌آید:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

20 × 20 × 3 = مساحت دایره

1200 = مساحت دایره

مساحت دایره کامل برابر 1200 سانتی‌متر مربع است. بنابراین مساحت ربع دایره برابر است با:

4 ÷ 1200 = مساحت ربع دایره

300 = مساحت ربع دایره

در نتیجه، مساحت طاقچه شیشه‌ای برابر 300 سانتی‌متر مربع است.

فرمول مساحت ربع دایره چیست ؟

بر اساس فرمول ریاضی مساحت دایره، فرمول ریاضی مساحت ربع دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A_q = \frac {1} {4} \times \pi r^2
$$

• A_q: مساحت ربع دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3/14
• r: شعاع ربع دایره

ربع دایره از یک کمان و دو شعاع تشکیل می‌شود. به همین دلیل، برخلاف نیم دایره، فرمول آن بر حسب قطر نوشته نمی‌شود. با این وجود، در صورت داشتن اندازه قطر دایره کامل، می‌توان فرمول بالا را با قطر (d) نیز نوشت.

مثال 2: محاسبه مساحت ربع دایره با شعاع

مساحت ربع دایره‌ای به شعاع 4 سانتی‌متر را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

به منظور محاسبه مساحت ربع دایره، فرمول مخصوص آن را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم آن را مشخص می‌کنیم:

$$
A_q = \frac {1} {4} \times \pi r^2
$$

• A_q: مساحت ربع دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3 (بر اساس فرض مسئه)
• r: شعاع ربع دایره برابر 4 سانتی‌متر

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$
A_q = \frac {1} {4} \times 3 \times 4 \times 4
$$

$$
A_q = \frac {1} {4} \times 3 \times 4 \times 4
$$

$$
A_q = 12
$$

در نتیجه، مساحت ربع دایره برابر 12 سانتی‌متر مربع است.

حل تمرین و مثال مساحت ربع دایره

در این بخش، به حل چند تمرین و مثال در رابطه با مساحت ربع دایره می‌پردازیم.

مثال 3: مساحت ربع دایره درون نقاله

تصویر زیر، یک نقاله به قطر 6 سانتی‌متر را نمایش می‌دهد. اگر این نقاله را در راستای خط 90 درجه، به دو قسمت تقسیم کنیم، مساحت هر بخش چقدر خواهد بود؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

نقاله بالا، به شکل یک نیم دایره است. اگر این نقاله را در راستای خط 90 درجه به دو قسمت تقسیم کنیم، هر قسمت به شکل یک ربع دایره با شعاع 3 سانتی‌متر خواهد بود. مساحت این ربع دایره از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

4 ÷ مساحت دایره = مساحت ربع دایره

مساحت دایره کامل برابر است با:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع نقاله و عدد پی (عدد 3 بر اساس فرض مسئله) را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

3 × 3 × 3 = مساحت دایره

27 = مساحت دایره

مساحت یک دایره کامل به شعاع 3 سانتی‌متر، برابر 27 سانتی مربع است. با تقسیم این عدد بر عدد 4، مساحت ربع دایره به دست می‌آید:

4 ÷ 27 = مساحت ربع دایره

6/75 = مساحت ربع دایره

مساحت نصف نقاله برابر 6/75 سانتی‌متر مربع است.

مثال 4: مساحت مربع ترکیب شده با ربع دایره

تصویر زیر، مربعی به ضلع 10 را نمایش می‌دهد که بر روی هر ضلع آن، یک ربع دایره قرار دارد. مساحت این شکل را پیدا کنید.

مساحت شکل بالا برابر است با:

مساحت 4 ربع دایره + مساحت مربع = مساحت شکل

مساحت مربع از فرمول زیر به دست می‌آید:

خودش × اندازه یک ضلع = مساحت مربع

چهار ربع دایره، یک دایره کامل را تشکیل می‌دهند. بنابراین، مساحت 4 ربع دایره به صورت زیر محاسبه می‌شود:

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت دایره کامل

این فرمول‌ها را درون رابطه مساحت شکل قرار می‌دهیم:

(شعاع × شعاع × 3/14) + (خودش × اندازه یک ضلع) = مساحت شکل

اندازه یک ضلع مربع برابر 10 است. شعاع ربع دایره نیز بر روی ضلع قرار دارد. در نتیجه، اندازه شعاع ربع دایره نیز برابر 10 است. این اندازه‌ها را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

(10 × 10 × 3/14) + (10 × 10) = مساحت شکل

(314) + (100) = مساحت شکل

414 = مساحت شکل

در نتیجه، مساحت شکل برابر 414 است.

مثال 5: مساحت ربع دایره در مربع

مساحت قسمت رنگی شکل زیر را پیدا کنید.

اگر به شکل بالا دقت کنید، متوجه می‌شوید این شکل از روی هم قرار گرفتن دو ربع دایره تشکیل شده است. تصویر زیر، این ترکیب را به خوبی نشان می‌دهد.

ترکیب دو ربع دایره، مربعی به ضلع 10 شده است. در واقع، اگر به نحو دیگری به شکل بالا نگاه کنیم، جمع یک مربع با قسمت رنگی را می‌بینیم:

بر اساس دو تصویر بالا داریم:

ربع دایره + ربع دایره = شکل + مربع

بنابراین:

مساحت دو ربع دایره = مساحت شکل + مساحت مربع

مساحت مربع - مساحت دو ربع دایره = مساحت شکل

دو ربع دایره، یک نیم دایره را تشکیل می‌دهند. مساحت نیم برابر است با:

2 ÷ مساحت نیم دایره = مساحت دایره

مساحت دایره به صورت زیر محاسبه می‌شود:

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت دایره

10 × 10 × 3/14 = مساحت دایره

314 = مساحت دایره

به این ترتیب، مساحت نیم دایره برابر است با:

2 ÷ مساحت دایره = مساحت نیمه دایره

157 = مساحت نیمه دایره

مساحت مربع نیز از رابطه زیر به دست می‌آید:

خودش × اندازه یک ضلع = مساحت مربع

10 × 10 = مساحت مربع

100 = مساحت مربع

به این ترتیب، مساحت بخش رنگی به صورت زیر تعیین می‌شود:

مساحت مربع - مساحت دو ربع دایره = مساحت شکل

مساحت مربع - مساحت نیم دایره = مساحت شکل

100 - 157 = مساحت شکل

57 = مساحت شکل

مساحت قسمت رنگی برابر با 57 است.

مثال 6: سه ربع دایره در مربع

در سه گوشه یک مربع، سه ربع دایره رسم کرده‌ایم. مساحت قسمت رنگی مربع را به دست بیاورید.

مساحت قسمت رنگی شکل بالا، از اختلاف مساحت مربع با مجموع مساحت سه ربع دایره به دست می‌آید:

مجموع مساحت سه ربع دایره - مساحت مربع = مساحت قسمت رنگی

به منظور تعیین مساحت مربع، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

خودش × اندازه یک ضلع = مساحت مربع

10 × 10 = مساحت مربع

100 = مساحت مربع

مساحت هر ربع دایره برابر است با:

4 ÷ مساحت دایره کامل = مساحت ربع دایره

4 ÷ (شعاع × شعاع × 3/14) = مساحت ربع دایره

شعاع ربع دایره، برابر نصف ضلع مربع، یعنی 5 است. این عدد را در رابطه بالا قراار می‌دهیم:

4 ÷ (5 × 5 × 3/14) = مساحت ربع دایره

4 ÷ (25 × 3/14) = مساحت ربع دایره

4 ÷ (78/5) = مساحت ربع دایره

19/625 = مساحت ربع دایره

برای به دست آوردن مساحت قسمت رنگی، به مجموع مساحت سه ربع دایره نیاز داریم:

19/625 + 19/625 +19/625 = مساحت سه ربع دایره

58/875 = مساحت سه ربع دایره

اکنون عدد بالا را به همراه مساحت مربع در رابطه مساحت قسمت رنگی قرار می‌دهیم:

58/875 - 100 = مساحت قسمت رنگی

41/125 = مساحت قسمت رنگی

در نتیجه، مساحت قسمت رنگی برابر 41/125 است.

سوالات متداول در رابطه با مساحت ربع دایره

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با مساحت ربع دایره و فرمول‌های محاسبه آن پاسخ می‌دهیم.

تعریف ربع دایره چیست؟

ربع دایره، شکلی است که از تقسیم دایره به چهار قسمت مساوی ایجاد می‌شود.

مساحت ربع دایره چگونه محاسبه می‌شود؟

مساحت ربع دایره از تقسیم مساحت دایره کامل بر عدد 4 به دست می‌آید.

فرمول مساحت ربع دایره چیست؟

فرمول مساحت ربع دایره با شعاع به صورت (4÷شعاع×شعاع×3/14) نوشته می‌شود.