نظریه احتمال و کاربردهای آن – به زبان ساده

نظریه احتمال

بخشی از علم ریاضیات به احتمال و توصیف پدیده‌های تصادفی می‌پردازد. هر چند تفسیر و نحوه محاسبه احتمال با توجه به سلیقه‌های مختلف، به شیوه‌های متفاوتی صورت می‌گیرد ولی همگی آن‌ها در اصولی که در این نوشتار به آن‌ها خواهیم پرداخت، صدق می‌کنند. این اصول امکان استفاده از بستر عمیق و گسترده ریاضیات برای محاسبه احتمال و روشن کردن نتایج «آزمایش‌های تصادفی» (Random Experiments) را فراهم می‌سازند.

در نظر گرفتن «فضای احتمال» (Probability Space) که در آن یک «تابع مجموعه‌ای» (Set Function) یا اندازه (Measure) که از این بعد به آن «تابع احتمال» (Probability Function) یا «اندازه احتمال» (Probability Measure) می‌گوییم، به هر یک از پیشامدهای مربوط به «فضای نمونه» (Sample Space)، مقداری در بازه ۰ تا ۱ نسبت می‌دهد، از اصول اولیه برای بررسی احتمال و پیشامدهای تصادفی است.

با توجه به ویژگی تصادفی بودن مقادیر متغیرهای تصادفی، نمی‌توان به طور قطع در مورد هر پیشامد نظر داد و رفتار آن را پیش‌بینی کرد ولی می‌توان برای آن یک برآیند یا میانگین رفتار در نظر گرفت. این ویژگی براساس دو قضیه مهم به نام‌های «قانون اعداد بزرگ» (Law of Large Number) و «قضیه حد مرکزی» (Central Limit Theorem) قابل اثبات و بررسی است. این دو قضیه از پایه‌های مهم تحلیل‌های آماری و احتمالی محسوب می‌شوند.

به عنوان پایه ریاضیاتی برای آمار، تئوری و نظریه احتمال نقش مهمی ایفا می‌کند. بخصوص زمانی که لازم است برای بسیاری از فعالیت‌های انسانی یا طبیعی که شامل تجزیه و تحلیل داده‌های کمی است، مدلی تصادفی ارائه شود. روش‌های نظریه احتمال همچنین در توصیف سیستم‌های پیچیده بسیار کارآمد هستند، بخصوص زمانی که اطلاعات کم و ناقصی از نحوه عملکرد آن‌ها در اختیارمان قرار دارد. مکانیک آماری و مکانیک کوانتومی که از علوم جدید قرن بیستم هستند، مثالی از کاربرد نظریه احتمال در بیان توصیف این گونه پدیده‌های تصادفی و عملکرد سیستم‌های پیچیده محسوب می‌شوند.

با توجه به این‌که مبحث احتمال، یکی از دروس ریاضی نهم نیز به شمار می‌آید، برای آشنایی بیشتر با این درس، مطالعه مطالب زیر پیشنهاد می‌شود.

• تدریس فصل اول ریاضی نهم — راهنمای کامل + منابع رایگان
• فرمول های ریاضی نهم در یک نگاه و با مثال

تاریخچه نظریه احتمال

نظریه احتمال مبتنی بر ریاضیات، ریشه در تلاش برای تحلیل بازی‌های شانس دارد که توسط «گرولامو گردوانو» (Gerolamo Cardano) در قرن شانزدهم و همچنین «پیر فرما» (Pier de Fermat) و «بیلز پاسکال» (Blaise Pascal) در قرن هفدهم مورد کاوش قرار گرفت. «کریستیان هویگنس» (Christian Huygens) در سال 1657 میلادی کتابی با موضوع احتمال منتشر کرد و در قرن 19 نیز «پیر لاپلاس» (Pierre Laplace) آنچه را که امروزه به عنوان تفسیر کلاسیک از احتمال می‌شناسیم، به جهان معرفی کرد.

در بدو امر، نظریه احتمال به طور گسترده‌ای مربوط به وقایع و پدیده‌های تصادفی با مقادیر گسسته یا شمارشی بود و روش‌های به کار رفته برای حل معماهای احتمالی برمبنای ترکیب (Combination) و اصول شمارش (Counting Rules) صورت می‌گرفت. ولی به مرور با به کارگیری ریاضیات، روش‌های تحلیلی برای متغیرهای پیوسته نیز مطرح و توسعه داده شد.

جستجو و تعیین اصول کامل برای تعیین توابع احتمال در ریاضیات مدرن، در مبانی و اصول پایه‌گذاری شده توسط «آندری نیکولاویچ کولموگورف» (Andrey Nikolaevich Kolmogorov) در اوایل قرن بیستم به پایان رسید. کولموگروف در سال 1933، مفهوم فضای نمونه را که توسط «ریچارد فون میزز» (Richard von Mises) معرفی شده بود، با نظریه اندازه ترکیب کرد و اصول و قضیه‌های مهمی را برای تئوری و نظریه احتمال ارائه داد.

مبانی نظریه احتمال

فیلم مجموعه آموزش آمار و احتمالات – از دروس دانشگاهی تا کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

به عنوان مثال، پرتاب یک تاس (مکعب شش وجهی) را در نظر بگیرید. فضای نمونه که معمولا با $$\Omega$$ نشان داده می‌شود، برای چنین آزمایش تصادفی به صورت زیر است:

$$\large \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$$

هر یک از این پیشامدها که متعلق به فضای نمونه هستند را «پیشامد ساده» (Simple Event) نامیده و با $$\omega$$ نشان می‌دهیم. واضح است که رابطه زیر همیشه برقرار است.

$$\large \omega \in \Omega$$

فضای پیشامد که مجموعه توانی از $$\Omega$$ محسوب می‌شود، برای پرتاب تاس دارای $$2^6= 64$$ عضو دارد. در ادامه بعضی از اعضای مجموعه توانی یا فضای پیشامد که با $$F$$ نشان داده می‌شود، را برای آزمایش تصادفی تاس مشاهده می‌کنید.

$$\large F =\{ \{1\},\{2\},\{3\},\ldots,\{1,2,3,4,5,6\},\{1,3,5\}\}$$

به این ترتیب اگر $$E$$ یک پیشامد باشد، حتما متعلق به $$F$$ خواهد بود. برای مثال پیشامد مشاهده عدد فرد روی تاس به صورت مجموعه زیر در نظر گرفته می‌شود.

$$\large E=\{1,3,5\} \in F$$

با توجه به تعریف مجموعه $$E$$، اگر مشاهده عدد ۳ نتیجه پرتاب تاس باشد، می‌گوییم پیشامد $$E$$ رخ داده است.

احتمال روشی برای نسبت دادن یک عدد در بازه ۰ تا ۱ به هر یک از پیشامدها یا رویدادهای یک آزمایش تصادفی یا اعضای فضای پیشامد است. این شیوه انتساب مقادیر به پیشامد را به نام «تابع احتمال» (Probability Function) یا «توزیع احتمال» (Probability Distribution) می‌شناسیم. چنین تابعی باید در شرایطی به نام «اصول احتمال» (Probability Axiom) صدق کند.

یکی از روش‌ها محاسبه تابع احتمال، براساس تفسیر «فراوانی نسبی» (Relative Frequency) صورت می‌گیرد. به این معنی که برای هر پیشامد، تعداد اعضای آن شمارش شده و به تعداد اعضای فضای نمونه تقسیم می‌شود. به این ترتیب مقدار احتمال برای پیشامد $$E=\{1,3,5\}$$ به صورت زیر محاسبه خواهد شد.

$$\large P(E) = \dfrac{|E|}{|\Omega|} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

نکته: واضح است که منظور از $$|.|$$ تعداد اعضای مجموعه است.

بر همین اساس مقدار احتمال برای پیشامدهای ساده (مشاهده یک عدد خاص روی تاس) برابر با $$\frac{1}{6}$$ خواهد بود:

$$\large P(\{1\}) = P(\{2\}) = P(\{3\}) = P(\{4\}) = P(\{5\}) = P(\{6\}) = \dfrac{1}{6}$$

هنگام انجام محاسبات با استفاده از فراوانی نسبی نتایج یک آزمایش تصادفی، لازم است که فضای نمونه و تعداد اعضای نتیجه آزمایش قابل شمارش و متناهی باشند.

ولی متاسفانه این کار همیشه میسر نیست. آزمایشی را در نظر بگیرید که در آن بازی شیر یا خط با سکه انجام می‌شود. پرتاب سکه تا زمانی ادامه دارد که اولین شیر مشاهده شود. در این صورت اگر پیشامد شیر را با $$H$$ و خط را با $$T$$ نشان دهیم، فضای نمونه به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large \Omega= \{ H , TH, TTH , \ldots \}$$

در نتیجه به کارگیری فراوانی نسبی برای محاسبه احتمال شکست خواهد خورد و نمی‌توانیم احتمال پیشامد $$E=\{TTTH\}$$ را بر این اساس محاسبه کنیم.

یکی از روش‌های معمول برای محاسبه احتمال این پیشامدها، تبدیل آن‌ها به متغیرهای تصادفی (Random Variable) است. به این ترتیب $$X$$ را به صورت زیر برحسب پیشامدها مشخص می‌کنیم.

$$\large X = \begin{cases}1 & H \text{ is occurred} \\ \large 0 & T \text{ is occurred } \end{cases}$$

در ادامه توزیع احتمال را برحسب اینگونه متغیرهای تصادفی مشخص خواهیم کرد.

توزیع‌های گسسته احتمال

متغیرهای تصادفی گسسته (Discrete Random Variables) در یک فضای «نمونه شمارش‌پذیر» (Countable Sample Space) رخ می‌دهند. برای مثال پرتاب تاس و سکه، قدم زدن‌های تصادفی و انتخاب یک کارت از بین کارت‌های بازی از انواع آزمایش‌های تصادفی با فضای نمونه گسسته (شمارشی) هستند.

اگر فضای نمونه برای چنین آزمایش‌های تصادفی، شمارش‌پذیر متناهی باشد از تعبیر فراوانی نسبی برای محاسبه احتمال می‌توان استفاده کرد ولی زمانی که $$\Omega$$ نامتناهی ولی شمارش‌پذیر باشد، روش‌های دیگری باید به کار گرفته شوند.

در این حالت تابع احتمال $$f(x)$$ برای هر $$x \in \Omega$$ باید شرایط زیر را داشته باشد: