موج ایستاده – به زبان ساده

شاید تا به حال دیده باشید که وقتی یک طناب یا یک سیم را تکان می‌­دهیم، ممکن است روی آن موجی ایجاد شود که فقط در آن مکان به طرف بالا و پایین نوسان کند، اما منتشر نشود. چنین موجی، موج ایستاده (Standing Wave) نامیده می­‌شود. این امواج از برهم‌نهی دو موج رونده یا تعداد بیشتری از آن‌ها تشکیل می‌­شوند.

اگر دو موج با دامنه و طول موج یکسان در خلاف جهت هم حرکت کنند، برایند آن‌ها شبیه موجی به نظر می‌­رسد که در آن مکان متوقف شده است، از این رو، این موج را موج ایستاده می‌­نامند.

دو موج با دامنه و طول موج یکسان را در نظر بگیرید که در خلاف جهت هم حرکت می‌­کنند. معادله موج اول به صورت $$y _ 1 ( x , t ) = A \sin ⁡ ( k x - \omega t )$$ و معادله موج دوم به صورت $$y _ ۲ ( x , t ) = A \sin ⁡ ( k x + \omega t )$$ هستند. اگر این امواج با هم تداخل یابند، موج برایند زیر را تشکیل خواهند داد:

$$\large y ( x , t ) = y _ 1 ( x , t ) + y _ 2 ( x , t ) = A \sin⁡ ( k x - \omega t ) + A \sin ⁡ ( k x + \omega t )$$

با استفاده از اتحاد مثلثاتی $$\sin ⁡ ( \alpha \pm \beta ) = \sin⁡ \alpha \cos⁡\beta \pm \cos⁡\alpha \sin⁡\beta$$ می‌­توان این رابطه را ساده کرد. اگر $$\alpha = k x$$ و $$\beta = \omega t$$ باشد، داریم:

$$\large y ( x ,t ) = A ( \sin⁡ k x \cos \omega ⁡t - \cos⁡ k x \sin⁡\omega t + \sin⁡ k x \cos⁡\omega t + \cos⁡ k x \sin⁡ \omega t ) \\ \Rightarrow y ( x , t ) = 2 A \sin⁡ k x \cos⁡ \omega t$$

موج برایند حاصل، یک موج سینوسی (تابع مکان) است که در یک تابع کسینوسی (تابع زمان) ضرب شده است. در نمودارهای زیر، $$y (x , t )$$ به صورت تابعی از $$x$$ در زمان‌­های مختلف رسم شده است که در آن، موج قرمز در جهت منفی محور $$x$$ و موج آبی در جهت مثبت محور $$x$$ حرکت می­‌کند. موج سیاه نیز برهم­نهی دو موج را نشان می‌­دهد.

در زمان­‌های $$t = 0$$ و $$t = \frac {T} {2}$$، دو موج هم‌فازند و برایند آن‌ها موجی است که دامنه آن دو برابر دامنه هر یک از امواج است. در واقع، این موج‌ها در مضرب صحیحی از نصف دوره تناوب، هم‌فاز هستند:

(هم‌فاز، تداخل سازنده کامل)    $$\large t = n T / 2 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, n = 0 , 1 , 2 , 3 , \ldots$$

در زمان­ های دیگر، دو موج، $$180$$ درجه ( $$\pi$$ رادیان) اختلاف فاز دارند و موج برایند آن‌ها برابر با صفر است. این حالت در زمان‌های زیر اتفاق می­‌افتد:

(غیرهم‌فاز، تداخل ویرانگر کامل)    $$\large t = n T / 4 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, n = 0 , 1 , 3 , 5 , \ldots$$

همان‌گونه که در نمودارها می‌بینیم، به ازای مقادیری از $$x$$ دامنه موج برایند همواره صفر است. این نقاط را «گره» (Node) می‌­نامند. در واقع، در این نقاط موج برایند اصلاً حرکت نمی‌کند. برای به دست آوردن موقعیت گره‌ها، تابع سینوسی موج برایند ($$y ( x , t ) = 2 A \sin ⁡ k x \cos⁡ \omega t$$) را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$\large \sin⁡ k x = 0 \\ \large k x =0 , \pi , 2 \pi , 3 \pi , \ldots \\ \large 2 \pi / \lambda x = 0 , \pi , 2 \pi , 3 \pi , \ldots \\ \large x = 0 , \lambda / 2 , \lambda , 3 \lambda / 2 , \ldots = n \lambda / 2, \,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\, n = 0 , 1 , 2 , 3 , \ldots$$

علاوه بر این، حالت‌­هایی وجود دارد که دامنه موج برایند بیشینه است و $$y$$ بین $$y = \pm A$$ نوسان می­‌کند. این حالت‌­ها را پادگره (Antinode) یا شکم می‌نامند. موقعیت پادگره­‌ها را می‌توان به راحتی و با استفاده از $$\sin kx = \pm 1$$ به دست آورد:

$$\large \sin⁡ k x = \pm 1 \\ \large k x = \frac { \pi }{ 2 } , \frac { 3 \pi }{ 2 } , \frac { 5 \pi }{ 2 } , \ldots \\ \large \frac {2 \pi}{ \lambda} x = \frac { \pi }{ 2 }, \frac { 3 \pi}{2} , \frac { 5 \pi }{2} , \ldots \\ \large x = \frac { \lambda }{ 4 } , \frac { 3 \lambda }{ 4 } , \frac { 5 \lambda }{ 4 } , \ldots = \frac { n \lambda }{ 4 }, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n = 1 , 3 , 5 , \ldots$$

در شکل زیر، تصاویر لحظه‌ای برایند دو موج یکسان که در خلاف جهت هم حرکت می‌­کنند، نشان داده شده است. موج برایند، یک موج سینوسی است که در مضرب صحیحی از نصف طول موج گره‌­ها ظاهر می‌­شوند و پادگره‌­ها نیز به دلیل جمله کسینوسی ($$\cos \omega t$$) بین $$y = \pm 2 A$$ نوسان می‌کنند. گره‌­ها و پادگره‌­ها به ترتیب با نقاط قرمز و آبی مشخص شده‌­اند.

موج ایستاده و تشدید

دستگاهی را در نظر بگیرید که در آن طنابی به یک ارتعاش‌گر وصل شده است و با فرکانس متغیر  نوسان می‌­کند. انتهای دیگر طناب که از روی یک قرقره بدون اصطکاک عبور می­‌کند، به یک جسم معلق متصل است. مقدار نیروی کششی طناب برابر با وزن جسم آویخته‌­شده است.

فیلم آموزش فیزیک پایه ۳ – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

طناب دارای چگالی خطی ثابت $$\mu$$ (جرم بر طول) و تندی موج روی طناب برابر با $$v = \sqrt { \frac { F _ T } { \mu } } = \sqrt { \frac { m g } { \mu } }$$ است. شرایط مرزی متقارن (ایجاد گره در دو طرف طناب به دلیل ثابت بودن هر دو انتهای آن) موجب می‌­شود تا طناب فقط با فرکانس­‌هایی تشدید کند که منجر به تولید امواج ایستاده شود.

با شروع از فرکانس صفر و افزایش تدریجی آن، اولین مُد (Mode) $$n=1$$ به دست می­‌آید. مد اول را مد اصلی یا هماهنگ اول (First Harmonic) می­‌نامند. در این حالت، طول بین گره‌­ها ($$L$$) برابر با نصف طول موج است؛ به عبارتی $$\lambda _1 = 2 L$$. بنابراین، فرکانس اصلی یا فرکانس هماهنگ اول برابر است با:

$$\large f _ 1 = \frac { v } {\lambda _ 1 } =\frac { v }{ 2 L }$$

در اینجا $$v = \sqrt { \frac {F _ T }{ \mu} }$$ تندی موج است. با ثابت نگه داشتن نیروی کششی و افزایش فرکانس می­‌توان هماهنگ دوم یا مد $$n=2$$ را به دست آورد. طول موج این مد $$\lambda _2 = L$$ و فرکانس آن دو برابر فرکانس اصلی است:

$$\large f _2 = v / \lambda _ 2 = v / L = 2 f _ 1 .$$

طول موج‌­های دو مد بعدی یعنی هماهنگ­‌های سوم و چهارم به ترتیب $$λ _ 3 = 2 / 3 L$$ و $$λ _ 4 = 2 / 4 L$$ هستند که توسط فرکانس‌­های $$f _ 3 = 3 v / 2 L = 3 f _ 1$$ و $$f _ 4 = 4 v / 2 L = 4 f _ 1$$ به وجود می­‌آیند. بنابراین، روابط طول موج و فرکانس هماهنگ $$n$$اُم به صورت زیر خواهد بود:

$$\large λ _ n = 2 / n L , \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n = 1 , 2 , 3 , \ldots \\ \large f _ n = n v / 2L = n f _ 1 , \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n = 1 , 2 , 3 ,\ldots$$

این روابط برای هر موقعیت مرزی متقارن معتبر است. بنابراین، اگر در هر دو طرف پادگره داشته باشیم نیز این روابط برقرارند.

مثال ۱

طنابی به طول $$L = 2 \, \mathrm {m}$$ و چگالی جرمی خطی $$μ = 0 . 0 0 6 \, \mathrm { k g / m}$$ را در نظر بگیرید که به یک ارتعاش‌گر با فرکانس متغیر وصل شده است و انتهای دیگر آن از روی یک قرقره بدون اصطکاک عبور می­‌کند. با استفاده از جسمی به جرم $$2 \, \mathrm {kg}$$ در طناب نیروی کششی ایجاد می­‌شود.

(الف) سرعت امواج روی طناب چقدر است؟ (ب) سه مد نخست امواج تشکیل شده روی طناب را رسم کنید و طول موج آن‌ها را به‌دست آورید. (ج) فرکانس­‌هایی که ارتعاش‌گر برای تولید سه مد نخست ایجاد می‌­کند را محاسبه کنید.

حل (الف): با استفاده از نیروی کششی و چگالی خطی طناب می‌­توان سرعت موج ایجاد شده را به دست آورد:

$$\large v = \sqrt { \frac { F _ T } { μ } } = \sqrt { { \frac { m g } { μ } } } = \sqrt { \frac { ( 2 \, \mathrm { k g }) ( 9 . 8 \, \mathrm { m ⁄ s })} { 0 . 0 0 6 \, \mathrm { k g ⁄ m } } } = 5 7 . 1 5 \, \mathrm { m ⁄ s }$$

حل (ب): موقعیت‌­های مرزی به گونه­‌ای است که در دو انتهای طناب باید گره ایجاد شود. بنابراین، مد نخست برابر با نصف طول موج است. دو مد دیگر نیز با اضافه کردن نصف طول موج به دست می­‌آیند:

حل (ج): از آن‌جایی که سرعت موج برابر با طول موج در فرکانس است، فرکانس برابر با $$f = \frac {v } { \lambda }$$ خواهد بود. بنابراین، داریم:

$$\large f _ 1 = v / λ _ 1 = ( 5 7 . 15 \, \mathrm { m ⁄ s })/(4 \, \mathrm { m } ) = 1 4 . 2 9 \, \mathrm { Hz }$$

$$\large f _ 2 = v / λ _ 2 = ( 5 7 . 15 \, \mathrm { m ⁄ s })/( 2 \, \mathrm { m } ) = 28 . 58 \, \mathrm { Hz }$$

$$\large f _ 3 = v / λ _ 3 = ( 5 7 . 15 \, \mathrm { m ⁄ s })/( 1.33 \, \mathrm { m } ) = 42 . 97 \, \mathrm { Hz }$$

امواج ایستاده در لوله­‌های صوتی باز و بسته

در شکل زیر امواج ایستاده تولیدشده در لوله­‌های صوتی باز (دو انتها باز) نشان داده شده است (امواج را به صورت سه­‌بعدی تجسم کنید).

فیلم آموزش امواج و ارتعاشات (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

در هر دو انتهای لوله باز، همان‌گونه که انتظار می­‌رود، پادگره تشکیل می‌­شود.

در این حالت، چون شرایط مرزی متقارن وجود دارد، روابط مربوط به طول موج‌­ها و فرکانس­‌های تشدید مانند روابط به‌دست آمده برای طناب کشیده دو انتها ثابت است. بنابراین، اگر طول لوله برابر با $$L$$ باشد، خواهیم داشت:

$$\large λ _ n = 2 / n L, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n = 1 , 2 , 3 , \ldots \\ \large f _ n = v / λ = n v / 2 L = n f _1, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n=1,2,3, \ldots$$

که در آن، $$v =3 4 3 \, \mathrm { m ⁄ s }$$ سرعت صوت است.

با استفاده از روش نمایش موج روی طناب، در شکل زیر امواج تولیدشده در لوله­‌های بسته (یک انتها باز) رسم شده است (امواج را به صورت سه‌­بعدی در نظر بگیرید). واضح است که در انتهای بسته، گره و در انتهای باز، پادگره تشکیل می‌شود. هما‌ن‌گونه که در شکل می‌­بینیم، ساده‌ترین موج ایستاده‌­ای که می­‌تواند تحت این شرایط تشکیل شود، یک‌­چهارم طول موج است. به عبارت دیگر، اگر طول لوله را برابر با $$L$$ در نظر بگیریم، $$L = \lambda / 4$$ خواهد بود. به همین ترتیب، برای هماهنگ دوم، سوم و چهارم، $$\frac {3 } {4}$$، $$\frac {5}{4}$$ و $$\frac {7} {4}$$ طول موج را داریم.

بنابراین، طول موج هماهنگ $$n$$اُم برابر است با:

$$\large \lambda _ n = 4 L / n, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n = 1 , 3 , 5 , …$$

با استفاده از طول موج، به راحتی می‌توان رابطه مربوط به فرکانس‌های تشدید را به دست آورد:

$$\large f _ n = v / λ = n v / 4 L, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n = 1 , 3 , 5 , \ldots$$

پس در لوله‌های بسته فقط هماهنگ‌های فرد می‌تواند تولید شود.

مثال ۲

دو لوله صوتی بسته $$A$$ و $$B$$ به طول $$L$$ و $$L/3$$ را در نظر بگیرید. فرکانس کدام هماهنگ لوله $$A$$ با فرکانس هماهنگ سوم لوله $$B$$ برابر است؟

حل: با استفاده از رابطه فرکانس تشدید در لوله‌های بسته داریم:

لوله A:

$$\large f _ n = n \frac { v}{ 4 L }$$

لوله B:

$$\large f _3 = 3 \frac { v } { 4 ( L / 3 ) }$$

با برابر قرار دادن این دو رابطه خواهیم داشت:

$$\large n \frac { v } { 4 L } = 3 \frac { v } { 4 ( L / 3 ) } \Rightarrow n = 9$$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• قانون جهانی گرانش نیوتن — به زبان ساده
• تانسور چیست؟ — مفاهیم اصلی

^^