عدد منفی زیر رادیکال چگونه محاسبه می شود؟ – به زبان ساده

مسائل شامل عدد منفی زیر رادیکال، با توجه به فرجه رادیکال حل می‌شوند. برخی تصور می‌کنند که عدد منفی زیر رادیکال نمی‌رود. این تصور، تنها برای رادیکال با فرجه زوج درست است. به عبارت دیگر، عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال با فرجه فرد برود. در این حالت، جواب رادیکال، یک عدد منفی و حقیقی خواهد بود. با وجود تعریف نشده بودن رادیکال عدد منفی با فرجه زوج در مجموعه اعداد حقیقی، این رادیکال در مبحث اعداد موهومی دارای جواب است. در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی تاثیر عدد منفی زیر رادیکال در حاصل عبارت‌های رادیکالی می‌پردازیم و چندین مثال و تمرین متنوع را حل می‌کنیم.

در ادامه، شرایط قرارگیری و عدم قرارگیری عدد منفی زیر رادیکال را مورد بررسی قرار می‌دهیم. سپس، ضمن توضیح در رابطه با ویژگی‌های عدد منفی زیر رادیکال با فرجه زوج و فرد، در مورد علامت منفی پشت رادیکال و به توان رسیدن رادیکال عدد منفی صحبت می‌کنیم. در انتها نیز سطح یادگیری شما را با یک آزمون (به همراه پاسخ تشریحی) محک می‌زنیم.

آیا عدد منفی زیر رادیکال می رود؟

عدد منفی زیر رادیکال می‌رود. البته، قرارگیری عدد منفی زیر رادیکال، شرایط خاصی دارد. برای درک این شرایط، تعریف رادیکال و ویژگی‌های آن را مرور می‌کنیم. رادیکال، یک مفهوم پرکاربرد در ریاضیات است که عکس عمل به توان رساندن اعداد را نمایش می‌دهد.

به عنوان مثال، اگر عددی مانند $$۲$$ را به توان $$۲$$ برسانیم، خواهیم داشت:

$$۲ ^ ۲ = ۴$$

به عبارت دیگر، مربع یا توان دوم عدد $$۲$$ برابر با $$۴$$ است. در مفهوم رادیکال، عملیات بالا برعکس می‌شود. به عبارت دیگر، می‌گوییم رادیکال عدد $$۴$$ با $$۲$$ برابری می‌کند. این جمله را با عبارت جبری زیر نشان می‌دهیم:

$$\sqrt [ ۲ ] { ۴ } = ۲$$

عددی که پشت رادیکال مشاهده می‌کنید (عدد $$۲$$)، فرجه رادیکال نام دارد. البته در صورت عدم نمایش این عدد، فرجه رادیکال برابر با $$۲$$ در نظر گرفته می‌شود:

$$\sqrt [ ۲ ] { ۴ } = \sqrt { ۴ } = ۲$$

به رادیکال با فرجه دو، ریشه دوم یا جذر نیز گفته می‌شود. عبارت بالا به ما می‌گوید که رادیکال چهار با فرجه دو (ریشه دوم یا جذر عدد چهار) برابر با دو است. به نظر شما، آیا عددی وجود دارد که توان دو آن برابر با یک عدد منفی شود. به عنوان مثال، عدد $$- ۲$$ را به توان $$۳$$ برسانید. حاصل این عدد توان‌دار برابر است با:

$$( - ۲ ) ^ ۲ = ( - ۲ ) \times ( - ۲ ) = ۴$$

توان دوم $$( - ۲ )$$ برابر با عدد $$( + ۴ )$$ است. حاصل توان دوم تمام اعداد حقیقی برابر با یک عدد مثبت می‌شود. با توجه به این موضوع و توضیحات قبلی، راجع به درستی عبارت جبری زیر فکر کنید:

$$\sqrt { - ۴ } = - ۲ \ \ \ \ ?$$

عبارت جبری بالا درست نیست؛ زیر اگر عدد $$( - ۲ )$$ را به توان $$۲$$‌ برسانیم، حاصل آن برابر با $$( + ۴ )$$ می‌شود.

$$\sqrt { - ۴ } = - ۲ \ \ \ \ \large \times$$

 اکنون، یک مثال دیگر را در نظر بگیرید. اگر عدد $$- ۲$$ را به توان عدد $$۳$$ برسانیم، خواهیم داشت:

$$( - ۲ ) ^ ۳ = ( -۲ ) \times ( -۲ ) \times ( -۲ ) = ۴ \times ( - ۲ ) = - ۸$$

با توجه به مفهوم رادیکال، در مورد درستی عبارت جبری زیر فکر کنید:

$$\sqrt [ ۳ ] { - ۸ } = - ۲$$

عبارت بالا به ما می‌گوید که رادیکال منفی هشت با فرجه سه (ریشه سوم عدد منفی هشت) برابر با منفی دو است. این عبارت، کاملا درست است؛ زیرا اگر عدد $$( - ۲ )$$ را سه بار در خودش ضرب کنیم، به عدد $$( - ۸ )$$ می‌رسیم. در این مثال دیدیم که یک عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال برود اما این موضوع به فرجه رادیکال بستگی دارد. در بخش‌های بعدی، بیشتر راجع به عدد منفی زیر رادیکال با فرجه‌های زوج و فرد صحبت می‌کنیم و به حل چند مثال و تمرین مرتبط با این موضوع می‌پردازیم تا به خوبی بر روی مسائل رادیکال تسلط پیدا کنید.

مثال ۱: تعیین درستی عددهای منفی زیر رادیکال

 

چگونه در مورد قوانین رادیکال و عدد منفی زیر رادیکال یاد بگیریم؟

رادیکال، از مهم‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم ریاضی به شمار می‌رود. دانش‌آموزان دوره‌های اول و دوم متوسطه و همچنین دانشجویان رشته‌های مختلف، مخصوصا رشته‌های مهندسی و علوم پایه، با این مفهوم و روش‌های حل مسائل مرتبط با آن سر و کار دارند. تعریف رادیکال، در پایه هفتم ارائه می‌شود. در پایه‌های هشتم و نهم، مفاهیم و مسائل تکمیلی رادیکال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرند. بنابراین، بهترین راه برای شروع یادگیری مبحث رادیکال و حل مسائل مرتبط با آن، آشنایی با مطالب کتاب ریاضی هفتم، هشتم و نهم به همراه حل مثال‌ها و تمرین‌های متعدد در این زمینه است. فرادرس، چند فیلم آموزشی جامع و مفید را تهیه کرده است که می‌توانند به شما در تسلط بر روی حل مسائل ریاضی هفتم، هشتم و نهم کمک کنند. لینک مشاهده این فیلم‌ها، در ادامه آورده شده است:

• فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
• مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس

عدد منفی زیر رادیکال با فرجه فرد

عدد منفی می‌تواند زیر رادیکال با فرجه فرد برود. به عبارت دیگر، حاصل رادیکال یک عدد حقیقی منفی با فرجه فرد، یک عدد حقیقی خواهد بود. این ویژگی در مفهوم فرجه رادیکال و خاصیت نهفته است.

به عنوان مثال، عبارت رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

$$\sqrt [ ۳ ] { - ۶۴ }$$

برای به دست آوردن جواب رادیکال بالا، ابتدا به فرجه آن نگاه می‌کنیم. این فرجه برابر با $$۳$$ است. در مرحله بعد، به دنبال عددی می‌گردیم که توان سوم آن (عدد مورد نظر به توان فرجه رادیکال)، برابر با عدد زیر رادیکال شود.

$$? ^ ۳ = - ۶۴$$

به منظور ساده‌سازی محاسبات، علامت منفی را نادیده بگیرید. اکنون به دنبال عددی بگردید که اگر آن را به توان سه برسانیم، جوابش برابر با $$۶۴$$ شود. این عدد $$۴$$ است:

$$۴ ^ ۳ = ۴ \times ۴ \times ۴ = ۶۴$$

به جای $$۴$$، توان سوم $$-۴$$ را به دست بیاورید:

$$( - ۴ ) ^ ۳ = ( - ۴ ) \times ( - ۴ ) \times ( - ۴ )$$

نکته بسیار مهم در توان فرد اعداد، این است که علامت اولیه در آن حفظ می‌شود. به عبارت دیگر، اگر علامت عددی مثبت باشد، علامت حاصل توان فرد آن نیز مثبت بوده و اگر علامت عددی منفی باشد، علامت حاصل توان فرد آن نیز منفی خواهد بود. بنابراین، هنگامی که $$- ۴$$ را به توان سه برسانیم، جواب آن منفی $$- ۶۴$$ می‌شود:

$$( - ۴ ) ^ ۳ = ( - ۴ ) \times ( - ۴ ) \times ( - ۴ ) = - ۶۴$$

به این ترتیب، با رساندن $$-۴$$ به توان $$۳$$، به عدد زیر رادیکال $$\sqrt [ ۳ ] { - ۶۴ }$$ رسیدیم. در نتیجه:

$$\sqrt [ ۳ ] { - ۶۴ } = - ۴$$

روش محاسبه عدد منفی زیر رادیکال با فرجه فرد

اگر فرجه رادیکال فرد بوده و عدد زیر رادیکال عضوی از مجموعه اعداد حقیقی باشد،‌ خروجی رادیکال نیز یک عدد حقیقی و هم‌علامت با عدد زیر رادیکال خواهد بود. به این ترتیب، در صورت مشاهده رادیکال منفی یک عدد با فرجه فرد، علامت منفی را به پشت رادیکال ببرید و محاسبات خود را به صورت عادی انجام دهید. این روش حل مسائل رادیکالی را با حل مثال توضیح می‌دهیم.

مثال ۲: محاسبه رادیکال یک عدد منفی با فرجه ۵

 

مثال ۳: محاسبه رادیکال یک عدد منفی با فرجه ۳ به ضرب عدد در رادیکال

 

دانش‌آموزان، در کتاب ریاضی هفتم با رادیکال و حل مسائل مرتبط با آن آشنا می‌شوند. فرادرس، یک فیلم آموزشی مفید با عنوان «فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس» را تهیه کرده است که با ارائه توضیحات تئوری و حل چندین مثال، شما را در یادگیری دروس کتاب ریاضی هفتم و آمادگی برای امتحانات ریاضی کمک می‌کند. لینک مشاهده این فیلم آموزشی، در ادامه آورده شده است.

عدد منفی زیر رادیکال با فرجه زوج

عدد منفی نمی‌تواند زیر رادیکال با فرجه زوج برود. به عبارت دیگر،‌ حاصل رادیکال یک عدد حقیقی منفی با فرجه زوج، «تعریف نشده» است.

رادیکال زیر را در نظر بگیرید:

$$\sqrt { ۹ }$$

عدد زیر رادیکال $$( ۹ )$$، عضو مجموعه اعداد حقیقی است و یک جواب حقیقی برای رادیکال بالا، وجود دارد. این جواب، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\sqrt { ۹ } = ۳$$

رادیکال $$۹$$ با فرجه $$۲$$ برابر با $$۳$$ است. زیرا اگر $$۳$$ را به توان $$۲$$ برسانیم، به عدد $$۹$$ می‌رسیم:

$$۳ ^ ۲ = ۹$$

اکنون رادیکال $$-۹$$ را در نظر بگیرید:

$$\sqrt { - ۹ } = \large \times$$

برای رادیکال بالا، جواب حقیقی وجود ندارد؛ زیرا هیچ عدد حقیقی را نمی‌توانیم پیدا کنیم که توان دوم یا به طور کلی، توان زوج آن برابر با یک عدد منفی شود. به عبارت «حقیقی» در این تعریف دقت کنید. رادیکال با فرجه زوج، در مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده است. بنابراین، اگر بخواهیم رادیکال یک عدد منفی با فرجه زوج را به دست بیاوریم، باید از مجموعه اعداد حقیقی فراتر برویم. در دوره متوسطه دوم و مقاطع بالاتر، با مفهومی آشنا می‌شوید که انجام این محاسبات را امکان‌پذیر می‌کند. در ادامه، به طور خلاصه به معرفی این مفهوم و نحوه محاسبه رادیکال عدد منفی با فرجه زوج می‌پردازیم.

روش محاسبه عدد منفی زیر رادیکال با فرجه زوج

محاسبه رادیکال عدد منفی با فرجه زوج، با استفاده از مفهوم اعداد موهومی صورت می‌گیرد. عدد موهومی، عددی است که ریشه دوم منفی یک عدد حقیقی را نمایش می‌دهد. این عدد، با واحد $$i$$ نشان داده می‌شود. $$i$$ برابر است با:

$$i \sqrt { - ۱ }$$

با تعریف $$i$$، می‌توانیم رادیکال با فرجه زوج یا ریشه زوج اعداد منفی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، $$\sqrt { - ۹ }$$ را در نظر بگیرید. بر اساس قوانین رادیکال، این عبارت را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\sqrt { - ۹ } = \sqrt { -۱ \times ۹ }$$

$$\sqrt { - ۹ } = \sqrt { -۱ } \times \sqrt { ۳ ^ ۲ }$$

$$\sqrt { - ۹ } = \sqrt { -۱ } \times ۳$$

$$\sqrt { - ۹ } = ۳ i$$

به این ترتیب، حاصل $$\sqrt { - ۹ }$$، برابر با عدد موهومی $$۳ i$$ شد؛ زیرا اگر $$۳ i$$ را به توان دو برسانیم، به عدد $$- ۹$$ می‌رسیم:

$$( ۳ i ) ^ ۲ = ( ۳ ^ ۲ ) \times ( \sqrt { - ۱ } ) ^ ۲ = ( ۹ ) \times ( - ۱ ) = - ۹$$

به خاطر داشته باشید، جوابی که طی فرآیندهای بالا به دست آوردیم، در مجموعه اعداد حقیقی صدق نمی‌کند و عضو مجموعه اعداد موهومی است. اعداد حقیقی و موهومی، عضو مجموعه اعداد بزرگ‌تری با عنوان مجموعه اعداد مختلط هستند.

مثال ۴: محاسبه رادیکال یک عدد منفی با فرجه ۲

 

در مطلب «فرجه رادیکال چیست؟ – به زبان ساده با مثال و تمرین»، راجع به یکی از اجزای اصلی رادیکال و نحوه حل مسائل مربوط به رادیکال‌ها بر اساس فرجه صحبت کردیم. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، تاثیر علامت منفی پشت رادیکال بر روی محاسبه مقدار رادیکال را بررسی می‌کنیم.

علامت منفی پشت رادیکال با فرجه زوج یا فرد

یکی از مسائلی که برخی از دانش‌آموزان آن را با عدد منفی زیر رادیکال اشتباه می‌گیرند، وجود علامت منفی در پشت رادیکال است. این اشتباه، معمولا به دلیل آشنایی با یکی از ویژگی‌های رادیکال با فرجه فرد به وجود می‌آید. اگر فرجه رادیکال فرد بوده و عدد زیر آن منفی باشد، می‌توانیم علامت منفی را از زیر رادیکال به پشت آن یا از پشت آن به زیر رادیکال منتقل کنیم. به هر حال، جواب رادیکال، یک مقدار منفی خواهد بود.

در صورت زوج بودن فرجه، امکان جابجایی علامت منفی از پشت رادیکال به زیر رادیکال وجود ندارد. بنابراین، باید ابتدا جواب رادیکال (یک مقدار مثبت) را به دست بیاوریم و سپس علامت را پشت مقدار به دست آمده قرار دهیم. این موضوع را با حل یک مثال تشریح می‌کنیم.

مثال ۵: محاسبه منفی رادیکال با فرجه ۵

 

مثال ۶: محاسبه منفی رادیکال با فرجه ۴

 

عدد منفی زیر رادیکال به توان ۲ یا بالاتر

یکی از مسائل مرتبط با مبحث عدد منفی زیر رادیکال، تاثیر توان بر محاسبه رادیکال است. در صورت به توان رساندن رادیکال، علامت منفی زیر آن تغییر نمی‌کند.

تفاوتی ندارد که توان رادیکال، یک عدد زوج یا فرد باشد. ماهیت رادیکال با مقدار منفی (حقیقی یا موهومی بودن جواب رادیکال)، به فرجه آن وابسته است. به عنوان مثال، رادیکال زیر را در نظر بگیرید:

$$\sqrt { - ۱ }$$

در بخش‌های قبلی دیدیم که هیچ جواب حقیقی برای رادیکال بالا وجود ندارد. اگر این رادیکال را به توان $$۲$$ برسانیم، خواهیم داشت:

$$\left ( \sqrt { - ۱ } \right ) ^ ۲ = - ۱$$

با وجود به دست آمدن یک عدد حقیقی $$( - ۱ )$$، جواب رادیکال حقیقی نیست؛ زیرا ما یک عدد موهومی $$i = \sqrt { - ۱ }$$ را به توان دو رساندیم. توان زوج در اینجا، ماهیت موهومی رادیکال را تغییر نمی‌دهد. با این توضیحات، رادیکال زیر را در نظر بگیرید:

$$\left ( \sqrt { x } \right ) ^ ۲$$

اگر مقدار متغیر زیر رادیکال را برابر با $$- ۱$$ قرار دهیم $$( x = - ۱ )$$، شرایط فرق خواهد کرد. در این صورت، داریم:

$$\left ( \sqrt { x } \right ) ^ ۲ = x ^ { { \frac { ۱ } { ۲ } } ^ ۲ }$$

$$\left ( \sqrt { x } \right ) ^ ۲ = x ^ { \frac { ۲ } { ۲ } }$$

$$\left ( \sqrt { x } \right ) ^ ۲ = | x |$$

$$\left ( \sqrt { - ۱ } \right ) ^ ۲ = | - ۱ |$$

$$\left ( \sqrt { - ۱ } \right ) ^ ۲ = + ۱$$

عدد $$+ ۱$$ در محاسبات بالا، یک مقدار حقیقی است. اکنون، عبارت رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

$$\sqrt [ ۳ ] { - ۱ }$$

جواب این عبارت، عضوی از مجموعه اعداد حقیقی است. بنابراین، اگر آن را به توان دو یا هر عدد زوج برسانیم، خواهیم داشت:

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { - ۱ } \right ) ^ ۲ = + ۱$$

به این ترتیب، به یک عدد حقیقی مثبت می‌رسیم.

مثال ۷: عدد منفی به توان دو زیر رادیکال

 

در ادامه و آخرین بخش از این مطلب از مجله فرادرس، به حل چندین تمرین متنوع می‌پردازیم.

آزمون سنجش یادگیری عدد منفی زیر رادیکال

در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث عدد منفی زیر رادیکال را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.