زاویه متقابل به راس چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

به زاویه‌های روبه‌رو در محل برخورد دو خط متقاطع، زاویه متقابل به راس می‌گویند. اندازه زاویه‌های متقابل به راس با هم برابر است. این زاویه‌ها، کاربرد گسترده‌ای در اثبات قضیه‌های هندسی و محاسبه اندازه انواع جفت‌زاویه‌ها دارند. در این مقاله از مجله فرادرس، به معرفی زاویه متقابل به راس و کاربردهای آن در هندسه می‌پردازیم. ازاین‌رو، چندین مثال متنوع را نیز مورد بررسی قرار می‌دهیم.

انواع زاویه چه هستند؟

زاویه‌ها، یکی از شکل‌های پرکاربرد هندسی هستند که انواع مختلفی دارند. بیشتر زاویه‌ها، بر اساس اندازه‌شان شناخته می‌شوند. به‌عنوان‌‌مثال، جدول زیر، انواع زاویه را بر اساس اندازه نمایش می‌دهد.

علاوه بر اندازه، معیارهای دیگری نظیر جهت اندازه‌گیری زاویه‌ها، رابطه بین جفت زاویه‌ها و موقعیت قرارگیری زاویه‌ها نسبت به شکل‌های هندسی نیز به منظور تقسیم‌بندی انواع زاویه‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.

جفت زاویه چیست ؟

دو خط غیرمتقاطع را در نظر بگیرید. اگر خط دیگری این دو خط را قطع کند، در محل برخورد بین خطوط، درمجموع هشت زاویه به وجود می‌آید. تمام این هشت زاویه، به صورت دو به دو، با یکدیگر رابطه دارند. برای رابطه بین هر دو زاویه در شکل زیر، یک نام اختصاص داده می‌شود. این زاویه‌ها می‌توانند متناظر، متبادل خارجی، مجاور داخلی، متبادل خارجی و متقابل به راس باشند.

نوع جفت‌زاویه‌ها، بر اساس رابطه بین اندازه آن‌ها و محل قرارگیری‌شان تعیین می‌شود. به‌عنوان‌مثال، زاویه‌های ۱ و ۵، متناظر هستند؛ در صورتی که زاویه‌های ۱ و ۳، دو زاویه متقابل به راس به شمار می‌روند. به طور کلی، جفت‌زاویه‌ها، یا هم‌اندازه هستند یا با یکدیگر زاویه ۱۸۰ درجه می‌سازند.

زاویه متقابل به راس چیست؟

زاویه های متقابل به راس، یکی از انواع جفت‌زاویه‌ها هستند که در محل تقاطع دو خط به وجود می‌آیند.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، زاویه‌های حاصل از تقاطع دو خط را نمایش می‌دهد. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در صورت عبور دو خط از روی یکدیگر، چهار زاویه در محل برخورد خطوط تشکیل می‌شود. به زاویه‌هایی که روبه‌روی هم قرار می‌گیرند، «زاویه های متقابل به راس» (Vertical Angles) می‌گویند.

در شکل بالا، زاویه‌های ۱ و ۳ و زاویه‌های ۲ و ۴، متقابل به راس هستند.

خواص زاویه های متقابل به راس

از مهم‌ترین ویژگی های دو زاویه متقابل به راس می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• زاویه‌های متقابل به راس، با یکدیگر برابر هستند. به عبارت دیگر، این زاویه‌ها، هم‌نهشت یکدیگر محسوب می‌شوند.
• زاویه‌های متقابل به راس، دارای راس مشترک هستند.
• زاویه‌های متقابل به راس، هیچ ضلع مشترکی ندارند.

مثال ۱: محاسبه زاویه متقابل به راس

اندازه زاویه β را به دست بیاورید.

در شکل بالا، چهار زاویه وجود دارد. این چهار زاویه از برخورد دو خط تشکیل شده‌اند. اندازه یکی از چهار زاویه برابر با ۴۶ درجه است. زاویه β، در مقابل این زاویه قرار دارد. بنابراین، این دو زاویه، متقابل به راس هستند. در نتیجه، اندازه زاویه β نیز برابر با ۴۶ درجه می‌شود.

مثال ۲: محاسبه اندازه زاویه‌های متقابل به راس از روی مجموع آن‌ها

مجموع دو زاویه متقابل به راس برابر با ۱۰۶ درجه است. اندازه هر یک از این زاویه‌ها را حساب کنید.

رابطه جمع دو زاویه مورد سوال، به صورت زیر نوشته می‌شود:

۱۰۶° = زاویه دوم + زاویه اول

بر اساس اطلاعات مسئله، زاویه اول و دوم، متقابل به راس هستند. بنابراین، این دو زاویه، اندازه برابر دارند. به عبارت دیگر، می‌توانیم رابطه بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

۱۰۶° = زاویه متقابل به راس + زاویه متقابل به راس

۱۰۶° = زاویه متقابل به راس × ۲

۲ ÷ ۱۰۶° = زاویه متقابل به راس

۵۳° = زاویه متقابل به راس

در نتیجه، اندازه هر یک از زاویه‌های متقابل به راس برابر با ۵۳ درجه است.

مثال ۳: تشخیص زاویه‌های متقابل به راس

کدام جفت‌زاویه نمایش داده شده در تصویر زیر، متقابل به راس هستند.

در شکل بالا، چهار خط، به گونه‌ای همدیگر را قطع کرده‌اند که باعث ایجاد ۲۰ زاویه شده است. به منظور تشخیص زاویه‌های متقابل به راس، محل برخورد هر دو خط را مورد بررسی قرار می‌هیم. زاویه‌های روبه‌رویی در تقاطع خطوط، متقبل به راس هستند. بنابراین، داریم:

• زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «الف» با خط «ج»
  • زاویه‌های ۱ و ۳
  • زاویه‌های ۲ و ۴
• زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «الف» با خط «د»
  • زاویه‌های ۵ و ۷
  • زاویه‌های ۶ و ۸
• زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «ب» با خط «ج»
  • زاویه‌های ۹ و ۱۱
  • زاویه‌های ۱۰ و ۱۲
• زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «ب» با خط «د»
  • زاویه‌های ۱۳ و ۱۵
  • زاویه‌های ۱۴ و ۱۶
• زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «ج» با خط «د»
  • زاویه‌های ۱۷ و ۱۹
  • زاویه‌های ۱۸ و۲۰

مطالب مرتبط با این مبحث:

• راس زاویه چیست؟
• زاویه محاطی چیست؟
• نیمساز زاویه چیست؟

مقایسه زاویه متقابل به راس با دیگر جفت زاویه ها

زاویه‌های متقابل به راس، از انواع جفت‌زاویه‌های تشکیل شده در محل برخورد دو خط است. بین این زاویه و دیگر جفت‌زاویه‌ها، شباهت‌ها و تفاوت‌هایی وجود دارند که در این بخش به معرفی آن‌ها می‌پردازیم.

تفاوت بین زاویه مجاور و زاویه متقابل به راس

یکی از انواع زاویه‌هایی که ارتباط بسیار نزدیکی با زاویه‌های متقابل به راس دارند، زاویه‌های مجاور هستند. جدول زیر، ویژگی‌های این زاویه‌ها و مقایسه آن‌ها با زاویه‌های متقابل به راس را نمایش می‌دهد.

در تصویر بالا، زاویه‌های ۱ و ۲، زاویه‌های ۲ و ۳، زاویه‌های ۳ و ۴ و تمام زاویه‌هایی که دارای یک ضلع و راس مشترک هستند، به عنوان زاویه‌های مجاور در نظر گرفته می‌شوند.

تفاوت بین زاویه متمم و متقابل به راس

زاویه‌های متمم، به زاویه‌هایی گفته می‌شود که جمع آن‌ها برابر با ۹۰ درجه باشد. این زاویه‌ها می‌توانند مجاور یا غیرمجاور (متقابل به راس، متناظر، متبادل و غیره) باشند.