تیرهای نامتقارن – به زبان ساده

۸۵۹ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۳۰ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵ دقیقه
دانلود PDF مقاله
تیرهای نامتقارن – به زبان سادهتیرهای نامتقارن – به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد محور خنثی و هم‌چنین میزان تنش‌های کششی و فشاری ایجاد شده در تیر‌های متقارن بحث شد. اما همان‌طور که می‌دانید محور خنثی برای تیرهای نامتقارن الزاما در وسط قرار نمی‌گیرند. این امر باعث می‌شود توزیع تنش به صورت متقارن نسبت به محور خنثی قرار نداشته باشد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نحوه بدست آوردن تنش‌های فشاری و کششی را در یک تیر نامتقارن، در قالب مثال توضیح دهیم.

فهرست مطالب این نوشته
997696

تیرهای نامتقارن

پیش‌تر، بیان کردیم که مقاومت خمشی یک تیر به صورت خطی نسبت به فاصله از محور خنثی تیر تغییر می‌کند. بنابراین برای یک تیر متقارن، میزان تنش‌های کششی و فشاری در آن برابر هستند. با این حال تیر‌هایی نیز وجود دارند سطح مقطع آن‌ها متقارن نیستند.

این عدم تقارن در  شکل هندسی تیرهای نامتقارن منجر به عدم تقارن در خواص مکانیکی آن نیز می‌شود. این تیر‌ها را می‌توان به نحوی طراحی کرد که بر حسب نیاز بخش زیادی از آن تنش کششی یا تنش فشاری را تحمل کند. در ادامه سه نمونه‌ از تیر‌های نامتقارن نشان داده شده‌اند.

unsymmetrical-beams

در مثال‌هایی که در ادامه ذکر شده با نحوه تحلیل تنش در این تیر‌ها بیشتر آشنا خواهید شد. توجه داشته باشید که نماد‌های به کار گرفته شده، مفاهیم زیر را نشان می‌دهند.

  • fbt f _ { b t }: مقاومت خمشی در کشش
  • fbc f _ { b c }: مقاومت خمشی در فشار
  • N.A N . A: تار خنثی
  • yt y _ t: فاصله مقطع قرار گرفته در کشش از تار خنثی
  • yc y _ c: فاصله مقطع قرار گرفته در فشار از تار خنثی
  • Mr M _ r: لنگر مقاوم
  • Mc M _ c: لنگر مقاوم در فشار
  • Mt M _ t: لنگر مقاوم در کشش

مثال ۱

تیری با مقطع نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. فرض کنید بیشترین تنش در دو سمت مقطع این تیر به ترتیب برابر با +1.0 Pl b ·f t

beam

در گشتاور M=+1.0 Plbft M = + 1 . 0 \ P l b · f t، سطح بالای تار خنثی، به صورت فشاری بوده و سطح پایینی آن نیز به صورت کششی است. در حقیقت ذرات قرار گرفته در بالای تار خنثی به سمت داخل و ذرات قرار گرفته پایین تار خنثی به سمت بیرون از صفحه حرکت می‌کنند. از طرفی رابطه گشتاور را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

M=Mr \large M = M _ r
M=fbIy \large M = \dfrac { f _ b I } { y }

در نتیجه اندازه گشتاور در بخش فشاری برابر است با:

Mc=10(192)(1000)2.5 \large M_ c = \dfrac { 10 ( 192 ) ( 1000 ) } { 2. 5 }
1.0P=768000lbin \large 1 . 0 P = 768\,000 \, \text{lb} \cdot \text {in}
1.0P=64000 lbft \large 1.0 P = 64000 \ l b ⋅ f t
P=64000 lb \large P = 64000 \ l b

به این ترتیب در کشش نیز می‌توان رابطه زیر را بیان کرد:

Mt=4(192)(1000)41.0P=192000lbin1.0P=16000lbftP=16000lb \large \begin {align*} M _ t & = \dfrac { 4 ( 192 ) ( 1000 ) } { 4 } \large \\\\ 1.0 P & = 192000 l b ⋅ i n \\\\ 1.0 P & = 16000 l b ⋅ f t \\\\ P & =16000 l b \end {align*}

در حالتِ M=1.5P lbft M = -1.5 P \ l b · f t، سطح بالا در کشش و سطح پایین در فشار قرار می‌گیرد. از این رو در این حالت نیز نیروی قابل قبول برابر است با:

Mc=10(192)(1000)4 \large M _ c = \dfrac { 10 ( 192 ) ( 1000 ) } { 4 }
1.5P=480000 lbin1.5P=40000lbft P=26666.67lb \large 1.5P=480000 \ l b ⋅ i n \\\\ \large 1.5 P = 40000lb⋅ft \ \\\\ \large P = 26666 . 6 7 l b

در بخش کششی نیز مقدار نیرو برابر می‌شود با:

Mt=4(192)(1000)2.5 \large M _ t = \dfrac { 4 ( 192 ) ( 1 0 0 0) } { 2 . 5 }
1.5P=307200 lbin1.5P=25600lbftP=17066.67lb \large 1.5 P = 307200 \ lb ⋅ i n \\ \large 1.5 P = 25600 l b⋅ f t \\ \large P = 17066.67 l b

در بین پاسخ‌های فوق، کمترین عدد به عنوان پاسخ نهایی در نظر گرفته می‌شود. بنابراین مقدار P=16000 lb P = 16 000 \ l b، برابر با پاسخ درست است.

مثال ۲

بیشترین تنش کششی و فشاری ایجاد شده در تیر زیر را بیابید.

تیرهای نامتقارن

در ابتدا گشتاور را حول تکیه‌گاه غلتکی بدست می‌آوریم. با محاسبه این گشتاور، مقدار نیروی R1 R _ 1 برابر است با:

ΣMR2=015R1+4500=1500(9)R1=600  lb \large Σ M R _ 2 = 0 \\ 15 R _ 1 + 4500 = 1500 ( 9 ) \\ R _ 1 = 600 \ \ l b

همین گشتاور‌گیری را می‌توان برای سمت چپ تیر نیز انجام داد، در نتیجه مقدار R2 R _ 2 برابر می‌شود با:

ΣMR1=015R2=1500(6)+4500R2=900lb \large Σ M R _ 1 = 0 \\ \large 15 R _ 2 = 1500 ( 6 ) + 4500 \\ \large R _ 2 = 900 l b

در قدم بعدی باید نمودار نیروی برشی و گشتاور خمشی را بدست آورد. این نمودار در ادامه بدست آمده است.

تیرهای نامتقارن

حال با فرض این‌که y y، نشان‌دهنده فاصله از تار خنثی باشد، اندازه تنش در فاصله y y از آن برابر می‌شود با:

fb=MyI \large fb = \dfrac { M y } { I }

نماد b b نشان‌دهنده تنش ناشی از خمش است. بنابراین در مقطعِ با گشتاور M=+3600lbft M = +3600 l b · f t، اندازه تنش برابر است با:

fbc=3600(2.5)(12)96.0 \large f _ { b c } = \dfrac { 3600 ( 2 . 5 ) ( 1 2 ) } { 96 . 0 }

بخش بالای تار خنثی :fbc=1800psi \large f _ { b c } = 1800 \, \text {psi}

به همین صورت برای بخش قرار گرفته در زیر تار خنثی داریم:

fbt=3600(8.0)(12)96.0 \large f _ { b t } = \dfrac { 3600 ( 8.0 ) ( 12 ) } { 96.0 }

بخش پایین تار خنثی :fbt=3600  psi \large f _ { b t } = 3600 \, \ \ \text{psi}

در مقطعی که گشتاور M=1800lb·ft

fbc=3600(8.0)(12)96.0 \large f _ { b c } = \dfrac { 3600 ( 8 . 0 ) ( 12 ) } { 96.0 }

بخش پایین تار خنثی :fbc=1800psi \large f _ { b c } = 1800 \, \text{psi}

به همین صورت برای بخش بالای مقطع نیز داریم:

fbt=3600(2.5)(12)96.0 \large f _ { b t } = \dfrac { 3600 ( 2.5 ) ( 12 ) } { 96.0 }

بخش بالای تار خنثی :fbt=562.5psi \large f _{ b t } = 562.5 \, \text{psi} \,

بنابراین بیشترین مقادیر تنش در هر قسمت برابر است با:

fbc=1800psi \large f _ { b c } = 1800 \, \text{psi} \,\, \,

fbt=3600psi \large f _ { b t } = 3600 \, \text{psi} \,\, \,

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک و عمران، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathalino
دانلود PDF مقاله
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *