تیرهای نامتقارن — به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد محور خنثی و هم‌چنین میزان تنش‌های کششی و فشاری ایجاد شده در تیر‌های متقارن بحث شد. اما همان‌طور که می‌دانید محور خنثی برای تیرهای نامتقارن الزاما در وسط قرار نمی‌گیرند. این امر باعث می‌شود توزیع تنش به صورت متقارن نسبت به محور خنثی قرار نداشته باشد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نحوه بدست آوردن تنش‌های فشاری و کششی را در یک تیر نامتقارن، در قالب مثال توضیح دهیم.

تیرهای نامتقارن

پیش‌تر، بیان کردیم که مقاومت خمشی یک تیر به صورت خطی نسبت به فاصله از محور خنثی تیر تغییر می‌کند. بنابراین برای یک تیر متقارن، میزان تنش‌های کششی و فشاری در آن برابر هستند. با این حال تیر‌هایی نیز وجود دارند سطح مقطع آن‌ها متقارن نیستند.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

این عدم تقارن در  شکل هندسی تیرهای نامتقارن منجر به عدم تقارن در خواص مکانیکی آن نیز می‌شود. این تیر‌ها را می‌توان به نحوی طراحی کرد که بر حسب نیاز بخش زیادی از آن تنش کششی یا تنش فشاری را تحمل کند. در ادامه سه نمونه‌ از تیر‌های نامتقارن نشان داده شده‌اند.

در مثال‌هایی که در ادامه ذکر شده با نحوه تحلیل تنش در این تیر‌ها بیشتر آشنا خواهید شد. توجه داشته باشید که نماد‌های به کار گرفته شده، مفاهیم زیر را نشان می‌دهند.

• $$f _ { b t }$$: مقاومت خمشی در کشش
• $$f _ { b c }$$: مقاومت خمشی در فشار
• $$N . A$$: تار خنثی
• $$y _ t$$: فاصله مقطع قرار گرفته در کشش از تار خنثی
• $$y _ c$$: فاصله مقطع قرار گرفته در فشار از تار خنثی
• $$M _ r$$: لنگر مقاوم
• $$M _ c$$: لنگر مقاوم در فشار
• $$M _ t$$: لنگر مقاوم در کشش

مثال ۱

تیری با مقطع نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. فرض کنید بیشترین تنش در دو سمت مقطع این تیر به ترتیب برابر با $$ + 1 .0 \text { Pl b ·f t} $$

در گشتاور $$M = + 1 . 0 \ P l b · f t$$، سطح بالای تار خنثی، به صورت فشاری بوده و سطح پایینی آن نیز به صورت کششی است. در حقیقت ذرات قرار گرفته در بالای تار خنثی به سمت داخل و ذرات قرار گرفته پایین تار خنثی به سمت بیرون از صفحه حرکت می‌کنند. از طرفی رابطه گشتاور را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\large M = M _ r$$
$$\large M = \dfrac { f _ b I } { y }$$

در نتیجه اندازه گشتاور در بخش فشاری برابر است با:

$$\large M_ c = \dfrac { 10 ( 192 ) ( 1000 ) } { 2. 5 }$$
$$\large 1 . 0 P = 768\,000 \, \text{lb} \cdot \text {in}$$
$$\large 1.0 P = 64000 \ l b ⋅ f t$$
$$\large P = 64000 \ l b$$

به این ترتیب در کشش نیز می‌توان رابطه زیر را بیان کرد:

$$\large \begin {align*} M _ t & = \dfrac { 4 ( 192 ) ( 1000 ) } { 4 } \large \\\\ 1.0 P & = 192000 l b ⋅ i n \\\\ 1.0 P & = 16000 l b ⋅ f t \\\\ P & =16000 l b \end {align*}$$

در حالتِ $$M = -1.5 P \ l b · f t$$، سطح بالا در کشش و سطح پایین در فشار قرار می‌گیرد. از این رو در این حالت نیز نیروی قابل قبول برابر است با:

$$\large M _ c = \dfrac { 10 ( 192 ) ( 1000 ) } { 4 }$$
$$\large 1.5P=480000 \ l b ⋅ i n \\\\ \large 1.5 P = 40000lb⋅ft \ \\\\ \large P = 26666 . 6 7 l b$$

در بخش کششی نیز مقدار نیرو برابر می‌شود با:

$$\large M _ t = \dfrac { 4 ( 192 ) ( 1 0 0 0) } { 2 . 5 }$$
$$\large 1.5 P = 307200 \ lb ⋅ i n \\ \large 1.5 P = 25600 l b⋅ f t \\ \large P = 17066.67 l b$$

در بین پاسخ‌های فوق، کمترین عدد به عنوان پاسخ نهایی در نظر گرفته می‌شود. بنابراین مقدار $$P = 16 000 \ l b$$، برابر با پاسخ درست است.

مثال ۲

بیشترین تنش کششی و فشاری ایجاد شده در تیر زیر را بیابید.

در ابتدا گشتاور را حول تکیه‌گاه غلتکی بدست می‌آوریم. با محاسبه این گشتاور، مقدار نیروی $$R _ 1$$ برابر است با:

$$\large Σ M R _ 2 = 0 \\ 15 R _ 1 + 4500 = 1500 ( 9 ) \\ R _ 1 = 600 \ \ l b$$

همین گشتاور‌گیری را می‌توان برای سمت چپ تیر نیز انجام داد، در نتیجه مقدار $$R _ 2$$ برابر می‌شود با:

$$\large Σ M R _ 1 = 0 \\ \large 15 R _ 2 = 1500 ( 6 ) + 4500 \\ \large R _ 2 = 900 l b$$

در قدم بعدی باید نمودار نیروی برشی و گشتاور خمشی را بدست آورد. این نمودار در ادامه بدست آمده است.

حال با فرض این‌که $$y$$، نشان‌دهنده فاصله از تار خنثی باشد، اندازه تنش در فاصله $$y$$ از آن برابر می‌شود با:

$$\large fb = \dfrac { M y } { I }$$

نماد $$b$$ نشان‌دهنده تنش ناشی از خمش است. بنابراین در مقطعِ با گشتاور $$M = +3600 l b · f t$$، اندازه تنش برابر است با:

$$\large f _ { b c } = \dfrac { 3600 ( 2 . 5 ) ( 1 2 ) } { 96 . 0 }$$

بخش بالای تار خنثی :$$\large f _ { b c } = 1800 \, \text {psi}$$

به همین صورت برای بخش قرار گرفته در زیر تار خنثی داریم:

$$\large f _ { b t } = \dfrac { 3600 ( 8.0 ) ( 12 ) } { 96.0 }$$

بخش پایین تار خنثی :$$\large f _ { b t } = 3600 \, \ \ \text{psi}$$

در مقطعی که گشتاور $$ M = -1800 \text {lb·ft} $$

$$\large f _ { b c } = \dfrac { 3600 ( 8 . 0 ) ( 12 ) } { 96.0 }$$

بخش پایین تار خنثی :$$\large f _ { b c } = 1800 \, \text{psi}$$

به همین صورت برای بخش بالای مقطع نیز داریم:

$$\large f _ { b t } = \dfrac { 3600 ( 2.5 ) ( 12 ) } { 96.0 }$$

بخش بالای تار خنثی :$$\large f _{ b t } = 562.5 \, \text{psi} \,$$

بنابراین بیشترین مقادیر تنش در هر قسمت برابر است با:

$$\large f _ { b c } = 1800 \, \text{psi} \,\, \,$$

$$\large f _ { b t } = 3600 \, \text{psi} \,\, \,$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک و عمران، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تحلیل تنش و تغییر شکل در تیرها — بخش دوم: فرمول‌های متداول
• معادله خمش تیر — از صفر تا صد

^^