ارتعاشات مکانیکی — بخش اول: اصول و مفاهیم

دینامیک شاخه‌ای از علم فیزیک است که حرکت مواد تحت نیروی وارد شده به آن‌ها را مورد بررسی قرار می‌دهد. ارتعاشات یا نواسانات به شاخه‌ای از دینامیک اشاره دارد که در آن یک سیستم، تحت نیرویی نوسانی، حرکتی دوره‌ای حول یک نقطه تعادل را (Periodic) تجربه می‌کند. چنین سیستمی از بخش‌های مختلفی تشکیل شده، به نحوی که فعالیت این اجزا با یکدیگر، حرکتی دوره‌ای را ایجاد می‌کنند. نیروی نوسانی می‌تواند ناشی از خاصیت الاستیسیته یا گرانش باشد.

با استفاده از این مبحث می‌توان به تحلیل و بررسی امواج صوتی، ارتعاشات، نحوه انتشار موج و تاثیر این امواج روی دستگاه‌های مختلف پرداخت. هم‌چنین، این شاخه از دینامیک، کاربردهای عملی بیشتری در ریاضیات، دستگاه‌های الکتریکی و حتی دستگاه‌های پردازش دیجیتالی دارد. جالب است بدانید که دستگاه تنفسی انسان نیز مبتنی بر اصول بیان شده در دینامیک ارتعاشات فعالیت می‌کند.

پدیده ارتعاشات می‌تواند ابزارهای مختلف، بدن انسان و حتی یک پل را به نحوی تحت تاثیر قرار دهد که منجر به آسیب‌های جدی شود.

ارتعاش آزاد

«ارتعاش آزاد» (Free Vibration) به پدیده‌ای گفته می‌شود که در آن، یک سیستم بدون تاثیر‌پذیری از نیروی خارجی متغیر، نوسان کند.

فیلم آموزش فیزیک 1 دانشگاهی با رویکرد حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

در این نوع از ارتعاش، نیروی ذخیره شده در سیستم، جابجایی اولیه‌ای را در آن ایجاد می‌کند. مثلا جرم و فنری را در نظر بگیرید که در محیطی بدون اصطکاک قرار گرفته است. با جابجا کردن سیستم به میزانی اندک و سپس رها کردن آن، جرم شروع به نوسان خواهد کرد.

اگر دقت داشته باشید، در سیستم جرم و فنر فقط نیروی گرانش است که حرکت جرم را رقم می‌زند؛ به همین دلیل، نوسان مذکور به عنوان ارتعاش آزاد در نظر گرفته می‌شود. در یک سیستم الاستیک، ارتعاش آزاد به سه دسته تقسیم‌بندی می‌شود:

1. ارتعاش طولی: زمانی که ذرات سیستم، موازی با محور جسم نوسان کنند.
2. ارتعاش عرضی: به ارتعاشی گفته می‌شود که ذرات جسم، عمود بر محور آن نوسان کنند.
3. ارتعاش پیچشی: نوعی از ارتعاش است که در آن ذرات جسم، حول محورش (روی یک دایره) نوسان کنند.

ارتعاش اجباری

به ارتعاشی اتلاق می‌شود که در آن سیستم، تحت یک نیروی متغیر خارجی، نوسان می‌کند. مثالی که در ادامه آمده، توضیح بیشتری از این مفهوم را ارائه می‌دهد. زمانی که یک پاندول تحت نیروی گرانش نوسان می‌کند هیچ نیروی خارجی متغیری به آن وارد نمی‌شود. اما اگر در هر نوسان سیستم، ضربه‌ای به آن بزنیم، ارتعاش مد نظر از نوع اجباری خواهد بود.

اجزاء تشکیل‌دهنده یک سیستم ارتعاشی

یک سیستم ارتعاشی شامل بخش‌های مختلفی می‌شود. این اجزا، با چهار مولفه اصلی نیرو، جابجایی، سرعت و شتاب در ارتباط هستند.

فیلم آموزش ارتعاشات مکانیکی – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

با به‌کارگیریِ سیستم جرم و فنر، ارتباط بین نیرو و جابجایی مدل‌سازی می‌شود. البته توجه داشته باشید که در حالت کلی می‌توان با استفاده از قانون دوم نیوتن یا معادله اویلر لاگرانژ، معادلات توصیف کننده سیستم‌های دینامیکی را بدست آورد. در یک فنر خطی، نیروی F_S با ازدیاد طول آن و به صورت خطی تغییر می‌کند. بنابراین با فرض اینکه ازدیاد طول فنری برابر δ=x₂-x₁ باشد، نیروی ناشی از این تغییر طول، معادل با مقدار زیر خواهد بود.

در این معادله، k برابر با سختی فنر و x₁ و x₂ طول اولیه و نهایی فنر هستند.

میراگر (دمپر) ویسکوز

میراگر، جزئی از سیستم است که میان نیرو و سرعت ارتباط برقرار می‌کند. این اِلمان از استوانه‌ای تشکیل شده که در آن مایعی قرار گرفته است؛ پیستون درون این مایع جابجا شده و باعث می‌شود هنگام نوسان، نیرویی را در خلاف جهت حرکت، به سیستم وارد کند. رابطه میان نیروی میراگر و سرعت پیستون نسبت به استوانه، به صورت زیر است.

در این معادله، c به عنوان «ضریب میرایی ویسکوز» (Viscous Damping Coefficient) در نظر گرفته می‌شود. مقدار 'x'₂-x₁، اختلاف سرعت در حالت اولیه و نهایی پیستون را نشان می‌دهد. هم‌چنین رابطه بین شتاب پیستون و نیروی وارد شده به آن را می‌توان با استفاده از قانون دوم نیوتن، به صورت زیر محاسبه کرد.

در این معادله، m برابر با جرم فنر در نظر گرفته شده است. در شکل زیر می‌توانید اجزاء تشکیل دهنده دو سیستم ارتعاشی را ملاحظه کنید.

دقت کنید که در شکل بالا جرمِ فنر و دمپر ناچیز در نظر گرفته شده است.

سختی معادل فنر

فنرها همچون مقاومت‌های الکتریکی، در یک سیستم ارتعاشی می‌توانند به صورت موازی و یا متوالی مورد استفاده قرار گیرند. هم‌چنین هر سیستم ارتعاشیِ الاستیک را می‌توان به صورت یک فنر در نظر گرفت. با این فرض، می‌توان عددی تحت عنوان ثابت معادل فنر (K_eq) را به سیستم ارتعاشی مذکور اختصاص داد. در جدول زیر چند سیستم ارتعاشی به همراه ثابت معادل آن‌ها ارائه شده است.

تمامی سیستم‌های نشان داده شده در بالا را می‌توان با یک جرم و فنر معادل‌سازی کرد. در حالت پیچشی نیز این معادل‌سازی امکان‌پذیر است. در چنین سیستمی، گشتاور، معادل با نیرو و زاویه پیچش، معادل با جابجایی خطی در نظر گرفته می‌شوند.

معادله حرکت

اکثر سیستم‌های مکانیکی را می‌توان با تقریب بسیار خوبی با سیستم جرم-فنر-دمپر، مدل‌سازی کرد.

فیلم آموزش ارتعاشات مکانیکی – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مطابق با شکل زیر نیروهای وارد شده به جرم، در چنین سیستمی را می‌توان با استفاده از قانون دوم نیوتن، به شکل زیر نشان داد.

این معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت.

رابطه مذکور، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است. همان‌طور که در مطالب گذشته نیز اشاره کردیم، چنین معادلاتی را می‌توان با استفاده از روش ترکیب خطی پاسخ خصوصی و عمومی محاسبه کرد. شرایط اولیه این معادله را می‌توان به صورت x₀ و ₀'x در نظر گرفت. این مقادیر به ترتیب جابجایی و سرعت در زمان صفر هستند. به منظور حل این معادله در ابتدا فرض کنید که با سیستمی سروکار داریم که نیروی خارجی و دمپر در آن وجود ندارد. بنابراین در معادله ذکر شده در بالا عبارات (F(t و c، صفر هستند. در نتیجه این معادله به صورت زیر خواهد بود.

با مرتب کردن، این معادله به شکل زیر خواهد شد.

در این معادله w_n²=k/m در نظر گرفته شده است. به منظور حل آن، پاسخ (x(t را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

بنابراین معادله مشخصه مرتبط، به شکل زیر است.

احتمالاً از ریاضیات به خاطر دارید، که ریشه‌های این معادله به صورت مختلط و برابر با s=±iw_n خواهند بود. ریشه مختلط یعنی این‌که پاسخ معادله به صورت نوسانی است. با توجه به ریشه‌های یافت شده، پاسخ معادله دیفرانسیل به شکل زیر در نظر گرفته می‌شود.

ثوابت A و Φ را می‌توان با استفاده از شرایط اولیه سرعت و جابجایی محاسبه کرد.

توجه داشته باشید که از نظر دسته‌بندی، این ارتعاش از نوع آزاد است، چراکه در آن عامل اولیه باعث نوسان شده و نیروی خارجی متغیری به سیستم وارد نمی‌شود. در این سیستم w_n، Φ و A به‌ترتیب اختلاف فاز، فرکانس طبیعی و دامنه نوسان نامیده می‌شوند. زمان لازم برای یک نوسان کامل را «دوره» (Period) می‌نامند که برابر با T=2π/w_n است؛ همچنین معکوس دوره تحت عنوان «فرکانس طبیعی» (Natural Frequency) شناخته می‌شود و آن را با F_n نشان می‌دهند.

نوسان آزاد سیستم‌های میرا

در این قسمت قصد داریم تا در مورد نوسان سیستم‌های میرا بحث کنیم. نیروی خارجی وارد شده در معادله اصلی برابر با صفر در نظر گرفته می‌شود.

فیلم آموزش ارتعاشات مکانیکی همراه با حل مثال در متلب MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

در نتیجه این معادله را برای یک سیستم میرا می‌توان به صورت زیر نوشت. در حالت کلی هرچه اجزای تشکیل دهنده یک سیستم ارتعاشی افزایش یابند، معادلات حاکم بر سیستم نیز پیچیده‌تر می‌شود؛ از این رو پیشنهاد می‌شود ترجیحا با استفاده از معادله اویلر لاگرانژ معادلات حرکت یک سیستم را بیابید.

در این معادله، ξ ضریب میرایی و نشان‌دهنده میزان میرایی سیستم با گذشت زمان است. مهم‌ترین حالت میرایی، زمانی است که این ضریب بین صفر و یک قرار داشته باشد. این حالت از ارتعاش میرا را «زیر میرایی» (Under Damped) می‌نامند. با توجه به فرضیات انجام شده، معادله کلی به صورت زیر در می‌آید.

در این معادله، w_d را «دوره میرایی» (Period of Damped Oscillation) می‌نامند که برابر با w_d=2π/T است.

همان‌طور که در انیمیشن و شکل بالا نیز مشاهده می‌شود، در حالت زیر میرایی، سیستم پس از چند نوسان به حالت تعادل خود می‌رسد. حالت ξ=1، شرایط ویژه‌ای در میرایی است که تحت عنوان «میرایی بحرانی» (Critical Damping) شناخته می‌شود. این حالت هنگامی است که سیستم پس از چندین نوسان به حالت تعادل خود می‌رسد. در طراحی سیستم‌های تعلیق، تلاش بر این است تا این نوع از میرایی در سیستم ایجاد شود.

به حالت دیگری از میرایی که در آن ضریب ξ بیشتر از 1 در نظر گرفته می‌شود، «فرامیرایی» (Overdamped) گفته می‌شود. در این حالت ریشه‌های معادله مشخصه به صورت حقیقی هستند. بنابراین فرآیند میرایی به صورت نمایی و با سرعت بیشتری اتفاق می‌افتد.

در بخش آینده ارتعاش اجباری سیستم جرم و فنر را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

اگر به مباحث مرتبط در زمینه کنترل، مکانیک و ارتعاشات علاقه‌مند هستید، احتمالا آموزش‌های زیر می‌توانند برایتان مفید باشند:

• معادله اویلر لاگرانژ -- به زبان ساده
•  مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی مکانیک
• آموزش کاربردهای پردازش سیگنال های صدا و ارتعاشات در سامانه های مکانیکی و زیستی در متلب

^^