تحلیل تنش برشی در تیرهای بال پهن – به زبان ساده
در مبحث «تعیین تنش برشی در تیرهای جدار نازک با مقطع باز» با فرآیند تعیین تنشهای برشی موجود در تیرهای جدار نازک باز و در مبحث «مرکز برش و کاربرد آن در تحلیل تیرها» با یکی از مهمترین مفاهیم مورد نیاز برای تحلیل تنشهای برشی موجود در تیرها آشنا شدیم. در این مقاله قصد داریم از مفاهیم و معادلات ارائه شده در مطالب مذکور برای ارزیابی تنشهای برشی موجود در تیرهای بال پهن (یکی از انواع تیرهای جدار نازک باز) استفاده کنیم.
مقدمه
به منظور شروع تحلیل، تیر بال پهن زیر را در نظر بگیرید. بار P به صفحه دربرگیرنده جانِ تیر اعمال میشود. راستای اعمال این بار از مرکز برش و مرکز هندسی سطح مقطع میگذرد.
در شکل زیر، ابعاد سطح مقطع تیر از جمله عرض بال (b)، ارتفاع بین محور بالها (h)، ضخامت بال (tf) و ضخامت جان (tw) نمایش داده شده است.
تنشهای موجود در بال بالایی
برای شروع تحلیل، تنشهای برشی موجود در مقطع bb در قسمت سمت راست بال بالایی را نظر بگیرید. از آنجایی که مبدأ خط s در لبه سطح مقطع (نقطه a) قرار دارد، مساحت بین نقطه a تا مقطع bb برابر با s*tf خواهد بود.
علاوه بر این، فاصله مرکز هندسی این سطح تا محور خنثی نیز با h/2 برابری میکند. در نتیجه، تنش برشی τf اعمال شده بر بال در مقطع bb از رابطه زیر به دست میآید:
اگر المان A را مطابق شکل زیر از فاصله بین نقطه a تا مقطع bb جدا کنیم و آن را مورد بررسی قرار دهیم، جهتگیری تنش برشی τf مشخص میشود.
شکل زیر، المان A را در یک مقیاس بزرگتر نمایش میدهد. این شکل به ما کمک میکند تا نیروها و گشتاورهای اعمال شده بر المان مذکور را به خوبی مشاهده کنیم. توجه داشته باشید که به دلیل بزرگتر بودن گشتاور خمشی در بخش پشتی المان نسبت به بخش جلویی آن، نیروی کششی F1 بزرگتر از نیروی F2 خواهد بود. با توجه به این موضوع، تنش برشی موجود در صفحه سمت راست المان A باید به سمت بیرون صفحه (سمت شما) اعمال شده باشد تا حالت تعادل در آن برقرار شود. بر این اساس، جهتگیری تنشهای برشی موجود بر روی صفحه جلویی به سمت چپ است.
به این ترتیب، مقدار و جهتگیری تنش برشی اعمال شده بر مقطع bb را تعیین کردیم. بر اساس تحلیلهای بالا، تنشهای برشی موجود در قسمت سمت راست بال به صورت افقی و رو به چپ اعمال میشوند. به علاوه، مقدار آنها از رابطه τf به دست میآید. با توجه به این رابطه، مقدار تنشهای برشی با افزایش فاصله s به طور خطی افزایش مییابد. توجه داشته باشید که تنش برشی τf میتواند در هر موقعیتی بین نقطه a و تقاطع بال بالایی با جان تیر قرار گیرد.
شکل زیر، منحنی تغییرات تنشهای موجود در بال بالایی را نمایش میدهد. همان طور که مشاهده میکنید؛ مقدار تنشهای برشی از مقدار صفر در نقطه a (با فاصله s=0) تا مقدار ماکسیمم τ1 در فاصله s=b/2 تغییر میکند:
رابطه جریان برش برای تنش برشی τ1 عبارت است از:
توجه داشته باشید که تنش برشی و جریان برش در محل تقاطع محور بال با جان تیر و تنها با به کارگیری ابعاد محور سطح مقطع در محاسبات به دست آمدند. به علاوه، این روند تخمینی باعث سادهسازی محاسبات میشود و کاربرد خوبی برای مقاطع تیرهای جدار نازک دارد.
اگر تحلیل بالا را دوباره و این بار از سمت نقطه c بر روی قسمت چپ بال بالایی شروع کنیم و مقدار s را از چپ به راست مورد اندازهگیری قرار دهیم، مقدار و جهتگیری تنشهای برشی با حالت قبل تفاوتی نخواهد داشت. اگرچه، با در نظر گرفتن المان B (در شکل بالا) و فرض تعادل آن، تنشهای برشی موجود در سطح مقطع رو به چپ اعمال خواهند شد.
تنشهای موجود در جانِ تیر
در این بخش، قصد داریم تنشهای برشی اعمال شده بر جان تیر را تعیین کنیم. به این منظور باید محل تقاطع بال با جان را توسط یک صفحه افقی برش دهیم.
به این ترتیب، گشتاور اول حول محور خنثی از رابطه Qz=btfh/2 و تنش برشی از رابطه زیر به دست میآید:
جریان برش مربوط به این تنش برابر است با:
با توجه به رابطه بالا میتوان مشاهده کرد که جریان برش f2 دو برابر جریان برش f1 است. این نتیجه برای ما قابل پیشبینی بود؛ چراکه جریانهای برش دو قسمت راست و چپ بال بالایی در محل تقاطع بال با جان با هم ترکیب میشوند و جریان برش بالای جان را ایجاد میکنند.
جهت اعمال تنشهای برشی موجود در جان تیر رو به پایین است. مقدار این تنشها تا رسیدن به محور خنثی افزایش مییابد. در مقطع dd که در فاصله r از محور خنثی قرار دارد (شکل بالا)، تنش برشی اعمال شده بر جان تیر (τw) به صورت زیر محاسبه میشود:
در فاصله r=h/2، معادله بالا به رابطه τ2 و در فاصله r=0، به رابطه تنش برشی ماکسیمم (رابطه زیر) تبدیل میشود:
دوباره اشاره میکنیم که این محاسبات بر اساس ابعاد محور سطح مقطع تیر صورت گرفته است. به همین دلیل، احتمال مشاهده اختلاف کوچک بین تنشهای برشی به دست آمده از روابط بالا با مقادیر به دست آمده از روشهای دقیقتر وجود دارد.
با توجه به نمودار بالا، تنشهای برشی موجود در جان به صورت سهمیوار (تابع درجه دوم) تغییر میکنند. اگرچه، میزان این تغییرات زیاد نیست. نسبت τmax به τ2 برابر است با:
به عنوان مثال، اگر h=2b و tf=2tw باشد، نسبت τmax/τ2 برابر با 1.25 خواهد بود.
تنشهای برشی موجود در بال پایینی
در مرحله آخر تحلیل، تنشهای برشی موجود در بال پایینی تیر را با استفاده از روشهای به کار گرفته شده برای بال بالایی به دست میآوریم. مقدار این تنشها با مقدار تنشهای موجود در بال بالایی یکسان اما جهتگیری آن مطابق شکل زیر خواهد بود.
نکات تکمیلی
با توجه به نمودار توزیع تنشهای برشی بر روی سطح مقطع تیر بال پهن میتوان مشاهده کرد که این تنشها در ابتدا از دورترین نقطه لبههای بال بالایی به سمت تقاطع بال با جان و سپس از درون جان به سمت لبههای بال پایینی جریان مییابند. به دلیل پیوسته بودن این جریان در تمام مقاطع سازهای، ارزیابی آن میتواند به عنوان یک روش ساده برای تعیین جهتگیری تنشهای برشی مورد استفاده قرار گیرد.
به عنوان مثال، اگر جهت اعمال نیروی برشی رو به پایین باشد، جریان برش در جان تیر نیز رو به پایین خواهد بود. با مشخص بودن جهت جریان برش در جان، جهتگیری آن در بالاهای تیر نیز مشخص خواهد شد. به کارگیری این روش از تصور جهتگیری نیروهای اعمال شده بر المانهایی نظیر المان A سادهتر است.
از آنجایی که تنشهای افقی موجود در بالهای تیر هیچ برآیندی ندارد (مجموع این تنشها برابر صفر میشود)، برآیند تمام تنشهای برشی اعمال شده بر روی سطح مقطع به صورت عمودی خواهد بود. با انتگرالگیری از تنشهای برشی بر روی ارتفاع جان تیر، برآیند این تنشها در محدوده مذکور به دست میآید:
اگر این رابطه بالا را در رابطه τw جایگذاری کنیم، خواهیم داشت:
ممان اینرسی Iz با استفاده از رابطه زیر تعیین میشود:
عبارت اول در رابطه بالا، ممان اینرسی جان تیر و عبارت دوم، ممان اینرسی بالهای تیر است. با جایگذاری عبارتهای Iz در رابطه قبلی، به تساوی R=P میرسیم. این تساوی نشان میدهد که برآیند تنشهای برشی اعمال شده بر سطح مقطع با بار برابر است. علاوه بر این، خط اثر این برآیند در صفحه دربرگیرنده جان قرار دارد. بنابراین، برآیند تنشهای برشی از مرکز برش عبور میکند.
تحلیل ارائه شده در این مقاله، درک بهتر و پیچیدهتری از نحوه اعمال تنشهای برشی در تیرهای بال پهن یا I شکل را فراهم میکند. به علاوه، این تحلیل روشهای کلی تعیین تنشهای برشی در تیرهای جدار نازک باز را نیز نمایش میدهد. در مباحث بعدی، تنشهای برشی موجود در مقاطع ناودانی و نبشی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. مشخص کردن مقدار این تنشها، یکی از مراحل تعیین محل قرارگیری مرکز برش تیر است که در مباحث آتی به تشریح آنها خواهیم پرداخت.
^^
سلام عالی بود خسته نباشید