رسم نمودار نیروی برشی و گشتاور خمشی – مثال های طبقه بندی شده

در مبحث «نمودار نیروی برشی و گشتاور خمشی»، نحوه رسم و تفسیر نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی برای سه حالت بارگذاری (یک بار متمرکز، یک بار گسترده یکنواخت و چندین بار متمرکز) را مورد بررسی قرار دادیم. در بخش دوم این مبحث، به منظور آشنایی بیشتر و بهتر با روش‌های تحلیل نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی در شرایط مختلف، به تشریح چندین مثال متنوع و طبقه‌بندی شده (از شرایط ساده تا پیچیده) خواهیم پرداخت.

مثال 1

شکل زیر، تیر ساده‌ای را نمایش می‌دهد که در معرض یک بار گسترده یکنواخت با شدت q قرار دارد. این بار گسترده فقط به بخشی از تیر اعمال می‌شود.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به پیکربندی تیر و اطلاعات مسئله، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را رسم کنید.

تحلیل این مثال را با تعیین عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی تیر شروع می‌کنیم. به این منظور نمودار جسم آزاد کل تیر را در نظر بگیرید.

با توجه به نمودار جسم آزاد کل تیر، روابط مورد نیاز برای تعیین عکس‌العمل‌های R_A و R_B به صورت زیر خواهند بود:

نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی

به منظور تعیین نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی برای کل تیر باید تیر را به سه بخش مجزا تقسیم کنیم. به این ترتیب، باید ایجاد یک برش برای هر بخش، نیروی برشی V و گشتاور خمشی M درون تیر مشخص می‌شود. در مرحله بعد، با در نظر گرفتن V و M به عنوان مجهولات مسئله، نمودار جسم آزاد آن بخش تیر را رسم می‌کنیم (به عنوان نمونه، نمودار جسم آزاد بخش میانی تیر در شکل زیر نمایش داده شده است).

در مرحله آخر، با جمع نیروهای موجود در راستای عمودی، روابط نیروی برشی و با جمع گشتاورهای حول سطح مقطع ایجاد شده، روابط گشتاور خمشی در هر بخش را به دست می‌آوریم:

روابط بالا برای محاسبه نیروی برشی و گشتاور خمشی در تمام مقاطع تیر مورد استفاده قرار می‌گیرند. تمام عبارت‌های موجود در این روابط با در نظر گرفتن قاعده علامت‌گذاری تغییر شکل بیان شده‌اند. با توجه به مطالب ارائه شده در مبحث «روابط بین بار، نیروی برشی و گشتاور خمشی در تیرها»، مشتق dV/dx=-q و مشتق dM/dx=V است. با از استفاده از این نکته و مشتق گرفتن از روابط بالا می‌توانیم صحت آن‌ها را مورد بررسی قرار دهیم.

نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی

در این مرحله، با استفاده از روابط به دست آمده در بخش قبل، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را مطابق شکل‌های زیر رسم می‌کنیم.

فیلم آموزش مقاومت مصالح 1 و 2 – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

نمودار نیروی برشی دارای خطوط افقی در نواحی بدون بارگذاری و یک خط شیب‌دار مستقیم (با شیب منفی) در ناحیه بارگذاری است.

نمودار گشتاور خمشی نیز دو خط شیب‌دار مستقیم در نواحی بدون بارگذاری و یک منحنی سهمی‌وار در ناحیه بارگذاری را نمایش می‌دهد. شیب خطوط مستقیم به ترتیب برابر با R_A و R_B- است. علاوه بر این، این خطوط شیب‌دار در نقطه برخورد با منحنی سهمی‌وار بر آن مماس هستند. توجه داشته باشید که بر اساس قاعده علامت‌گذاری تغییر شکل، نمودار گشتاور خمشی ناحیه تحت فشار تیر را نمایش می‌دهد. به این ترتیب، تمام سطح بالایی تیر در معرض فشار قرار دارد. این موضوع با توجه به پیکربندی تیر و نحوه اعمال نیرو قابل پیش‌بینی بود.

گشتاور خمشی ماکسیمم

گشتاور خمشی ماکسیمم در محلی رخ می‌دهد که نیروی برشی در آن صفر باشد. اگر روابط به دست آمده برای V (رابطه بخش دوم در این مثال) را برابر با صفر قرار دهیم، محل رخ دادن گشتاور خمشی ماکسیمم مشخص می‌شود:

با جایگذاری x₁ در رابطه M (رابطه بخش دوم در این مثال)، رابطه گشتاور خمشی ماکسیمم نیز به دست می‌آید:

گشتاور خمشی ماکسیمم همیشه در بین ناحیه اعمال بار گسترده رخ می‌دهد. در یک حالت خاص، اگر بار گسترده به صورت متقارن بر روی تیر اعمال شود (a=c)، روابط بالا به صورت زیر ساده خواهند شد:

در صورت اعمال بار گسترده بر روی تمام طول تیر، M_max=qL²/8 خواهد بود.

مثال 2

شکل زیر، تیر یکسر گیرداری را نمایش می‌دهد که در معرض دو بار متمرکز قرار دارد.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به پیکربندی تیر و اطلاعات مسئله، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را رسم کنید.

عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی

با توجه به نمودار جسم آزاد کل تیر (شکل بالا)، عکس‌العمل عمودی R_B و گشتاور عکس‌العمل M_B قابل محاسبه خواهند بود:

توجه: جهت رو به بالا برای نیروی عکس‌العمل عمودی و چرخش پادساعت‌گرد برای گشتاور عکس‌العمل به عنوان جهت‌های مثبت در نظر گرفته می‌شوند.

نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی